1、考研数学（数学三）模拟试卷 406 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f（x）=x 3 一 3x+k 只有一个零点，则 k 的取值范围为（A）|k|2（B） |k|1（C） |k|1（D）|k|22 设正数列a n满足（A）e（B） 1（C） 0（D）3 在反常积分中收敛的是（A），（B） ，（C） ，（D），4 设 f（ x）在 一 ， 有定义，且 f（0）=f（0） =0，f“ （0）=a0，又 收敛，则 p 的取值范围是（A）（B）（C） (1，+)（D）1 ，+00) 5 a=一 5 是齐次方程组 有非零解的（A）充分必要条件（B）充分
2、条件，但不是必要条件（C）必要条件，但不是充分条件（D）既不是必要条件又不是充分条件6 n 维向量 =（12，0，0，12） T，A=E 一 T，= （1，1，1） T，则 A 的长度为（A）（B）（C） n（D）n 27 袋中有 2 个白球和 1 个红球现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白球，这样一直进行下去，则第 n 次取到白球的概率为8 设随机变量 X1，X 2，X n，相互独立，Y n= 则当 n时 Yn 以正态分布为极限分布，只要 X1，X n，（A）服从同一离散型分布（B）服从同一连续型分布（C）服从同参数的超几何分布（D）满足切比雪夫大数定律二、填空题9 数列极限10 设 y
3、（x）是由 x2+xy+y=tan（x 一 y）确定的隐函数，且 y（0）=0 ，则 y“（0）=_11 曲线 的斜渐近线方程为_12 反常积分13 已知 的任意两个特征向量都线性相关，则 a=_14 设二维随机变量（X，Y）服从正态分布 N（，； 2， 2；0），则Emin（X，Y）=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 b 为常数（）求曲线 的斜渐近线 l 的方程；（）设 L与 l 从 x=1 延伸到 x+之间的图形的面积 A 为有限值，求 b 及 A 的值16 设 z=z（x，y）是由 9x254xy+90y26yzz2+18=0 确定的函数， （）求z=z（x，
4、y）一阶偏导数与驻点； （）求 z=z（x，y）的极值点和极值17 18 设某企业生产一种产品，其成本 C（Q）= 一 16Q2+100Q+1000，平均收益=a 一 （a0，0b24），当边际收益 MR=44,需求价格弹性 Ep= 时获得最大利润，求获得最大利润时产品的产量及常数 a 与 b 的值19 证明导函数的中间值定理（达布定理）：设函数 f（x）在区间a，b上可导（注意：不要求导函数 f（x）在区间a ，b上连续! ），则对于任何满足minf（A），f （B）maxf（A），f（B）的常数 ，存在 a，b 使得f（ ）=20 设 A=（ 1， 2， 3， 4）是 4 阶矩阵，A *为
5、 A 的伴随矩阵，齐次方程组 Ax=0的通解为 c（ 1，0，一 3， 2） T，证明 2， 3， 4 是 A*x=0 的基础解系21 已知 判断 A 与 B 是否相似?要说明理由22 设随机变量 X 与 y 同分布， （1）已知事件 A=Xa和事件 B=ya独立，且 PAB= ，求常数 a23 进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是p（0P1）现进行 10 批试验，其各批试验次数分别为5，4，8，3，4，7，3，1，2，3求：（）试验成功率 P 的矩估计值；（）试验失败率 q 的最大似然估计值考研数学（数学三）模拟试卷 406 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个
6、选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)为三次多项式，至少有一个零点，y=f(x)只有以下三种情形2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设选项可知，这 4 个反常积分中有两个收敛，两个发散方法1找出其中两个收敛的知收敛因此选(B)4 【正确答案】 B【试题解析】 由因此，的取值范围是 应选(B)5 【正确答案】 B【试题解析】 根据克拉默法则，当齐次方程组的系数矩阵是方阵时，它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式值为 0于是 a=一 5 是() 有非零解的充分条件，但不是必要条件6 【正确答案】 B【试题解析】 A=(E
7、 一 4T)= 一 4(T)= 一 4=(一 1，1，1，一 1)T，|A|=7 【正确答案】 D【试题解析】 设 Ai 表示第 i 次取到白球，i=1，2， ，n，则 由乘法公式可得所以应选(D)8 【正确答案】 C【试题解析】 根据林德伯格列维中心极限定理，如果 X1，X 2，X n，相互独立同分布且期望、方差都存在，只有(C)满足该定理条件，因此应选 (C)二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 将方程看成关于变量 x 的恒等式，两端同时对变量 x 求导数可得在(*)式中令 x=0，又 y(0)=0，则有 y(0)=1 一 y(0)，于是 y(0)=
8、 将(*)式看成关于变量 x 的恒等式，两端同时对变量 x 求导数又可得在(*)式中令 x=0，又 y(0)=0，y(0)= ，即得 2+2y(0)+y“(0)=一 y“(0)，于是11 【正确答案】 y=x 【试题解析】 因为同理因此斜渐近线方程为 y=x12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 一 2【试题解析】 因为属于不同特征值的特征向量一定线性无关，所以条件说明 A 的三个特征值都相等，即 A 有一个 3 重特征值 3=tr(A)=3，于是 =1有|EA|=( 一 1)3 =+1+a(a+2)+(一 1)(22 一 85a)=a2+(a+1)+2a+1+( 一 1)(22
9、+195a)=( 一 1)3+(a+1)+a2+2a+1 一( 一 1)(5a+9)=( 一 1)3 一(8+4a)+a 2+7a+10则 8+4a=0 并且a2+7a+10=0，得 a=一 214 【正确答案】 【试题解析】 由题设 X，y 独立，则有 Z=XYN(0，2 2)，于是三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 如果 2b+15+10，即如果 b一 8，无论 b一 8 还是 b一 8，均有 lnt(t+2)22b+15=，从而与 A 为有限值矛盾当 b=一 8 时有故此时所求的面积16 【正确答案】 () 利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得
10、18xdx 一54(ydx+xdy)+180ydy 一 6zdy 一 6ydz 一 2zdz=0，即(18x 一 54y)dc+(180y 一 54x 一6z)dy 一(6y+2z)dz=0从而为求隐函数 z=z(x，y)的驻点，应解方程组可化简为 x=3)，由可得 z=30y 一 9x=3y，代入可解得两个驻点 x=3，y=1，z=3与 x=一 3，y=一 1，z= 一 3()z=z(x ，y)的极值点必是它的驻点为判定z=z(x，y) 在两个驻点处是否取得极值，还需求 z=2(x，y) 在这两点的二阶偏导数注意，在驻点 P=(3，1，3)，Q=( 一 3，一 1，一 3)处，在驻点 P，Q
11、 处再由 在驻点 P，Q处 于是可得出在 P 点处因故在点(3，1)处 z=z(x，y)取得极小值z(3， 1)=3在 Q 点处 因故在点(一 3，一 1)处 z=z(x，y)取得极大值 z(一 3，一 1)=一 317 【正确答案】 这是 x2+y2 在某区域 D 上的二重积分的累次积分从题设的累次积分知，积分区域 D如图所示 由被积函数和区域 D 可以看出，本题宜采用极坐标而 的极坐标方程分别为 r=2 和 r=2cosD的极坐标表示：18 【正确答案】 收益函数 当取得最大利润时，边际收益等于边际成本，即 MR=MC又 MR=R=a 一 6Q，于是 44=C(Q)=2Q232Q+100，
12、即 Q2 一 16q+28=0。解得 Q1=14，Q 2=2故当Q=14 时， 企业利润取极大值由于 MR=R(Q)=又 R(Q)=p，于是，当 Q=14 时，有当 Q=2 时，得 b=38，不满足 0b24 的条件，故舍去所以当产量 Q=14 时，企业利润取极大值，也是最大值19 【正确答案】 若 f(A)=f(B)，则取 =a 或 =b 即可若 f(A)f(B)，为了确定起见，无妨设 f(A)f(B)(对 f(A)f(B)的情形可类似证明)当 =f(A)或 =f(B)时相应取 =a 或 =b 即可从而只需证明 介于 f(A)与 f(B)之间的情形定理的结论也成立引入辅助函数 F(x)=f(
13、x)一 (x 一 a)，则 F(A)=f(A)一 0，由导数的定义即得 从而存在 x1(a，b)使得 于是 F(x1)F(A)，这表明 F(A)不是 F(x)在a ，b上的最大值此外还有 F(B)=f(B)一 0，同样由导数定义得 从而存在 x2(x1，b)使得于是 F(x2)F(B)，这表明 F(6)也不是 F(x)在a，b上的最大值综上所述即知必存在 (a，b)使得 F()是 F(x)在a，b上的最大值，由 F(x)的可导性必有 F()=0 即 f()=类似可证，在相反的情形下必存在 (a，b) 使得F()是 F(x)在a，b上的最小值，由 F(x)的可导性也有 F()=0 即 f()=
14、成立20 【正确答案】 Ax=0 的通解为 c(1，0，一 3，2) T 表明了： 4 一 r(A)=1，即r(A)=3，于是 r(A*)=1，A *x=0 的基础解系应该由 3 个线性无关的解构成 1 一33+24=0r(A)=3，则|A|=0，得 A*A=0于是 1， 2， 3， 4 都是 A*x=0 的解因为 1 一 33+24=0，所以 1 可以用 3， 4 线性表示于是 r(2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4)=r(A)=3， 2， 3， 4 是 A*x=0 的 3 个线性无关的解，构成A*x=0 的基础解系21 【正确答案】 关于两个矩阵相似的有关性质是：相似的必要条件是特
15、征值相同；如果它们都相似于对角矩阵，则特征值相同是相似的充分必要条件因此本题应该从计算特征值下手A 的特征值为一 1，一 1，3B 的特征值也是一 1，一 1，3再看它们是否相似于对角矩阵只用看对于 2 重特征值一 1 有没有两个线性无关的特征向量，也就是看 r(A+E)和 r(B+E)是否为 1r(A+E)=1，因此 A 有属于特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，A 相似于对角矩阵 r(B+E)=2，因此 B 没有两个属于特征值一 1 的线性无关的特征向量，B 不相似于对角矩阵由相似关系的传递性，A 与 B 不相似22 【正确答案】 (1)由于 X，X 同分布，且 A 与 B 独立故有 P，(A)=P(B)，P(AB)=P(A)P(B) (2)根据随机变量函数的期公式，有23 【正确答案】 依题意，试验总体 X 服从参数为 p 的几何分布，即 Px=m=pq 一1，其中 m=1，2，q=1 一 p题中数据就是从总体 X 中取出的样本值，样本容量 n=10其未知参数 p 的矩估值与 q 的最大似然估计值待求试验成功率 p 的矩估计量 ()最大似然函数L(x1，x 10；p)，简记为 L，则于是试验成功率 p 的最大似然估计值 根据最大似然估计的不变性，其试验失败率 g 的最大似然估计值为
