1、考研数学（数学三）模拟试卷 412 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 在点 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导2 判别级数的敛散性：（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）无从判断3 已知某商品的需求量 Q 对价格的弹性为 pln3，假设该商品的最大需求量为1200，则需求量 Q 关于价格 p 的函数关系是( )（A）Q=12003 一 p（B） Q=12003e 一 p（C） Q=1200e 一 3p（D）Q=12003 p4 设 I= |xy|dxdy，其中 D 是以 a 为半径、以原
2、点为圆心的圆，则 I 的值为( )（A）a 4/4（B） a4/3（C） a4/2（D）a 45 已知 n 阶矩阵 A，B，C，其中 B，C 均可逆，且 2A=AB 一 1+C，则 A=( )（A）C(2E 一 B)（B）（C） B(2B 一 E)一 1C（D）C(2B 一 E)一 1B6 A 是 mn 矩阵，线性方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）m 一 n 且|A|0（B）导出组 AX=0 有且仅有零解（C） A 的列向量组 1 ， 2 ， n 与 1 ， 2 ， ， n ，b 等价（D）r(A)=n，且 b 可由 A 的列向量组线性表出7 设随机变量 X 与 Y 都服
3、从 0 一 1 分布，且 X，Y 相互独立，P(X=0，Y=0)=1/6 ，P(X=1，Y=0)=1/12 ，P(X=0，Y=1)=a，P(X=1，Y=1)=b ，则( )（A）a=1/15 9b=25/36（B） a=25/36，b=1/18（C） a=1/2，b=1/4（D）a=1/6，b=1/128 设总体 XN(0， 2)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则 2 的无偏估计量为( ) 二、填空题9 若 则 f(x)=_10 设 a，b 是某两个常数，且 =b，则 a，b 分别等于_11 12 对数螺线 =e在点(， )= 处的切线的直角坐标方程为_13 已知
4、二次型 f(x1 ，x 2 ，x 3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3 经正交变换化为标准形 f(x1 ，x 2 ， x3)=y22+2y32 ，则 a，b 取值为_14 设 A，B，C 是三个随机事件， ，P(A B)=072，PcAC BC)=032 ，则 P(C)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 证明方程 xe2x 一 2x 一 COSX+x2/2=0 有且仅有两个根16 设函数 f(x)在0，1上连续且非负，证明：在 (0，1) 内存在一点 ，线 f()=1f(x)dx17 求微分方程 y“一 3y一 4y=(10x 一 7)e
5、 一 x+34sinx 的通解18 已知函数 z=u(x，y)e ax+by ，且 =0，试确定常数 a，b，使函数 z=z(x，y)能满足方程19 设随机变量 X 服从几何分布，其分布列为 P(X=k)=(1 一 p)k 一 1p=pqk 一 1 ，0q1，q=1 一 p，k=1，2，求 E(X)与 D(X)20 设 问方程组什么时候有解？什么时候无解？有解时，求出其相应的解21 设二次型 f(x1 ，x 2 ，x 3)=XTAX=x1 ，x 2 ，x 3 满足(1)用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换；(2)求该二次型22 设钢管内径 X 服从正态分布 N(， 2)，规定内径在
6、98 到 102 之间的为合格品；超过 102 的为废品，不是 98 的为次品已知该批产品的次品率为 159%，内径超过 101 的产品在总产品中占 228%，求整批产品的合格率23 已知总体 X 的概率密度函数为 现抽取 n=6 的样本，样本观察值分别为 02，03，09，07，08，07试用矩估计法和极大似然估计法求出 的估计值考研数学（数学三）模拟试卷 412 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 分段函数在分段点处的连续性和可导性通常用连续和可导的定义来讨论 显然上述极限不存在，故 f(x)在 x=0 处不可导，但这是
7、因为 1 一 为无穷小量(x0)，而 为有界变量因而 f(x)在 x=0 处连续，但不可导，仅(C) 入选2 【正确答案】 A【试题解析】 将被积函数放大，使之积分后产生收敛的比较级数因为而收敛，由比较判别法知 收敛，且为正项级数，故必定绝对收敛，仅(A)入选3 【正确答案】 A【试题解析】 利用弹性定义建立微分方程解之，也可逐个检验四个选项中的结果是否符合题目的要求，从而确定选项根据需求弹性的定义与题设可知，由此即得 解此微分方程，有 Q=Ce 一 pln3=C3 一p ，其中 C 为待定常数再由最大需求量为 1200 的假定，即知 Q(0)=C3 一0=1200，故 C=12 00，则 Q
8、=12003 一 p ，所以(A)是正确的，仅(A)入选4 【正确答案】 C【试题解析】 被积函数关于 x，y 都是偶函数，且积分区域关于坐标轴、坐标原点都对称，故所求积分等于第一象限积分区域上的 4 倍以此简化计算设D1=(x，y)|x 2+y2a2 ，x0，y0，则5 【正确答案】 D【试题解析】 解矩阵方程常先作恒等变形，其次要正确运用矩阵的运算法则，将待求矩阵化为因子矩阵做乘法时，要说清楚是左乘还是右乘，特别要注意(AB)一 1 A 一 1 B 一 1 由于 2A=AB 一 1+C，有 2A 一 AB 一 1=C，且 A(2E 一 B 一 1 )=C，又 C 可逆，则 A(2EB 一
9、1 )C 一 1=E，故 A 可逆，且得 A=(2E 一 B 一 1 )C 一 1 一 1=C(2B 一 1 BB 一 1 )一 1=CB 一 1 (2B 一 E)一 1=C(2B 一 E)一 1 B仅(D) 入选注意 化简(2EB 一 1 )一 1 时常见下述错误：(2E 一 B 一 1 )一 1=(2E)一 1 一(B 一 1 )一1= E 一 B，或 (2E 一 B 一 1 )一 1=2E 一 B这是把可逆的性质与矩阵转置的性质相混淆造成的，一定要防止这种错误！6 【正确答案】 D【试题解析】 利用 A=b 有唯一解的充分必要条件是 r(A)=r(A|b)=n 去判别当m=n 时，必有
10、因而必有解又|A|0 ，即 m=n=r(A)，则AX=b 必有唯一解，这也可由克拉默法则得知但并不必要，当 mn 时，方程组也可能有唯一解例如 AX=b 有唯一解(C) 是 AX=b 有唯一解的必要条件，并非充分条件，即两个向量组 1 ， 2 ， n 与 1 ， 2 ， n ，b 等价是方程组 AX=b 有解的充要条件，是有唯一解的必要条件，例如 AX=b 有解，但解不唯一(B)是 AX=b 有唯一解的必要条件，并非充分条件因这时不能保证 r(A)=r(A|b)如 AX=0 有非零解，则 AX=b 必没有唯一解，它可能有无穷多解，亦可能无解，当 AX=0 只有零解时， AX=b 可能有唯一解，
11、也可能无解，并不能保证必有唯一解例如 AX=0 仅有零解，而 AX=b 并无解(D)秩 r(A)=n 表明 A 的列向量组线性无关，因而如 AX=b有解，则解必唯一仅 r(A)=n 还不能保证 ，因而不能保证 AX=b 有解( 参见(B)中反例)，b 可由 A 的列向量组线性表出是 AX=b 有解的充要条件，这两个条件结合才能保证 因而它们才是 AX=b 有唯一解的充要条件，仅(D) 入选。注意 (B)、(C) 均是必要条件，前者不能保证 r(A)=，因而不能保证 AX=b 必有解，后者不能保证 AX=b 的解唯一A 的列向量线性相关，AX=b 绝对没有唯一解，列向量组线性无关最多有唯一解7
12、【正确答案】 C【试题解析】 由 X 与 Y 的独立性及边缘分布的归一性建立 a 与 b 的两个方程求之由题设得到(X，Y) 的联合分布律如下表：因 X，Y 相互独立，故 P(X=0，Y=0)=P(X=0)P(Y=0)(1/6+a) (3/12)=1/6，解得 a=1/2由分布的归一性得到3/12+a+b=1，故 b=1/4仅(C) 入选8 【正确答案】 B【试题解析】 按照无偏估计量的定义，只需证明哪个统计量的期望等于 2E(Xi2)=E(Xi2)=D(Xi2)+E2(Xi)=2+0=2仅(B)入选。二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 两分段函数的分段点相同，且仅有一个分段点常用分段代
13、入法求其复合函数，且常将内层函数的表达式代入，然后将外层函数的表达式代入，常简称“先内后外法”。当 0x1 时，1(x)=2 x2，故 f(x)一 f(2x)=ln2x=xln2当x=1 时， (x)=1，f(x)=1当 1x2 时，0(x)=x 一 11，则 f(x)=f(x 一1)=1 一(x 一 1)=2 一 x综上，可得10 【正确答案】 【试题解析】 由所给极限与 ex =+，得到 事实上，如 dt+a 的极限不等于 0，那么所给极限必不等于常数，与题设即可求得 a 的值，再用洛必达法则即可求得 b11 【正确答案】 10ln3【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 只需将点
14、 化为直角坐标，曲线 在点 处的切线斜率用直角坐标表示即可。对数螺线 =e的参数方程为13 【正确答案】 0【试题解析】 由标准形即知二次型矩阵 A 的特征值，将其代入特征多项式可得a，b 满足的两个方程，解之即得 a，b 对应二次型矩阵 A= ，其特征值为 0，1，2，将 =0，1 代入特征方程|E 一 A|=0，得|0E 一 A|=一(a 一 b)2=0，及 |E 一 A|=一 2ab=0，解得 a 一 b=014 【正确答案】 06【试题解析】 利用和事件概率的计算公式求之因未给出 P(AC)与 P(BC)，仅给出 P(ACBC)，需将三事件之和 ABC 看成两事件 AB 与 C 之和，
15、利用两事件之和的概率公式计算。因为 所以 ABC=，P(A BC)=1又 P(ABC)=P(AB) UC=P(AB)+P(C)一 P(AB)C)，故 P(C)=P(AB C)一P(AB)+P(ACBC)=1 一 072+032=0 6三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 f(x)=xe2x 一 2x 一 cosx+x2/2，则 f(x)为连续函数，且 f(一 1)=一e 一 2+2 一 cos1+1/2 =1 一 e 一 2+1 一 cos1+1/20， f(0)=一 10， f(1)=e 2 一 2 一cos1+1/20 根据零点定理知， f(x)=0 在
16、(一 1，1)内有两个实根 下证 f(x)=0 在(一 1， 1)内不可能有三个根事实上，如果 f(x)在 (一 1，1) 内有三个实根，不妨设为 x1 ，x 2 ，x 3 ，则 f(x 1)=f(x2)=f(x3)=0 由于 f(x)二阶可导，故存在 (x1 ，x 3)使f“()=0，但这是不可能的这是因为 f(x)=e 2x(1+2x)一 2+sinx+x， f“(x)=4e 2x(1+x)+cosx+l0， x(一 1，1) 此外当 x一 1 时，f(x)0，当 x1 时，f(x)0，而f(一 1)0，f(1)0，故函数 f (x)在区间(一 ，一 1)内单调减少且 f(x)0；在(1，
17、+) 内 f(x)单调增加，且 f(x)0，故在(一，一 1)内及在(1，+)内 f(x)不可能有根，因而 f(x)=0 仅有两根【试题解析】 为证题设方程有两个根，需在两个区间利用零点定理，为此要找出三点，函数 f(x)=xe2x 一 2x 一 cosx+x2/2 在此三点相继反号为证 f(x)=0 仅有两根，还要利用 f(x)的单调性16 【正确答案】 由题设知，显然 F(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导且 F(0)=0，F(1)=0 ，则 F(x)在 0，1上满足罗尔定理的诸条件由该定理知，存在一点0， 1，故 F()=0，即 F()=x x1f(t)dt |x=1x f(t)d
18、t|x=+xf(x)|x= =1xf(t)dt+f()=0， 亦即 f()=一 1xf(t)dt=1xf(x)dx 注意若按照一般辅助函数 F(x)的作法，自然想到令 F(x)=xf(x)一 1xf(t)dt，但此时得不到 F(x)在0，1区间端点处严格异号，因而不能直接使用罗尔定理【试题解析】 将待证等式改写为 xf(x)=f (t)dt，即 xf(x)一 x1f(t)dt=0亦即 xf(x)+x1f(t)dt=xx1f(t)dt=0，因而作辅助函数 F(x)=x1xf(t)dt，下只需证明 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件即可17 【正确答案】 设 y1*(x)与 y2*(x)分别是方
19、程 y“+p(x)y+q(x)y=f 1(x)与 y“+p(x) y+q(x)y=f2(x) 的特解，则 y*(x)=y1*(x)+y2*(x) 是方程 y“+p(x) y+q(x) y=f 1(x)+f2(x)的特解 解齐次方程 y“一 3y一 4y=0 的特征方程为 2 一 3一 4=0， 由此求得特征根 1=4， 2=一 1对应齐次方程的通解为 y=C 1e4x+Ce 一 x 则 f1(x)=(10x 一 7)e 一 x的特解形式为 y 1*=x(A+Bx)e 一 x=(Ax+Bx2)e 一 x ，f 2(x)=34sinx 的特解形式为 y2=Csinx+Dcosx 于是由叠加原理知，
20、非齐次方程的特解为 y*=y1*+y2*=(Ax+Bx2)e一 x+Csinx+Dcosx， 则 (y *)=(A+2Bx 一 Ax 一 Bx2)e 一 x+Ccosx 一 Dsinx， (y *)“=(2B一 2A 一 4Bx+Ax+Bx2)e 一 x 一 Ccosx 一 Dsinx， 代入原方程，求得 A=1，B=一1，C=一 5， D=3，从而 y *=x(1 一 x)e 一 x 一 5sinx+3cosx 于是原方程的通解为 y=Y+y*=C1A4x+(C2+x 一 x2)e 一 x 一 5 sinx+3cosx【试题解析】 利用二阶非齐次线性方程解的叠加原理求之18 【正确答案】 按
21、二元复合函数的求导法则，先求出 再代入所给的方程，为使方程等于 0 确定常数 a，b代入方程的左边得到为使方程即(b 一 1)+(ab 一 a 一 b+1)u=0 成立，由此可确定 a=1，b=119 【正确答案】 由期望的定义及公式 D(X)=E(X2)一E(X) 2 求之求时要注意正确求出几类幂级数的和函数20 【正确答案】 使用初等行变换将其增广矩阵化为行阶梯形矩阵，分别讨论 k 取何值时， =r(A)3有解时，再求其解当|A|=(1+k) (4 一 k)0即 k一 1，4 时，=r(A)=3，方程组有唯一解，且由克拉默法则易求得唯一解为当 k=一 1 时，方程组为当 k=4 时，方程组
22、为因 =r(A)=2n=3，故方程组有解，且有无穷多解由基础解系和特解的简便求法即得基础解系为 =一 3，一 1，1 T ，特解为 =0，4，0 T ，故所求通解为+k=0，4，0 T+k一 3，一 1，1 T ，k 为任意常数21 【正确答案】 (1)由 AB=0 即知 B 中兰个列向量均为 A 的属于零特征值的特征向量。事实上，设 B=1 ， 2 ， 3，则 Ai=0 (1=1，2，3)显然 1 ， 2 线性无关，且 3=1+2 ，故 1=0 至少是二重特征值，又因 故1=2=0， 3=2设对应于 3=2 的特征向量为 3=x1 ，x 2 ，x 3T ，则 1 与 3 ， 2与 3 正交，
23、于是有 由 知，该方程组的基础解系为一 1/2，一 1/2，1 T为方便计，取 3=1，1，一 2T注意到 1 ， 2 ， 3 两两正交，只需单位化则 Q=1 ， 2 ， 3为正交矩阵，作正交变换 X=QY，则 f=XTAX=(QY)TA(QY)=YT(QTAQ)Y(2)由 Q TAQ=Q 一 1AQ= ，得到f(x1 ，x 2 ，x 3)=【试题解析】 为解决问题(1)与(2) 需先求出 A 的特征值、特征向量因 A 为抽象矩阵，故只能由定义及其性质求之22 【正确答案】 要求产品合格率，即要计算 P(98X102)，而计算正态分布随机变量取值的概率，需要已知分布参数 和 2 ，为此，应先根
24、据条件确定 和 2 的值。依题意知根据式与式 ，查正态分布表可得关于 和 的二元方程组：于是 P(98X102)=(102 一 99)一 (98一 99)=(3)一 (一 1)=083995【试题解析】 求正态分布随机变量满足一定条件的概率，一般都应先标准化，利用标准正态分布求概率或建立未知参数的函数关系，这是常用的方法与技巧，要计算 P(98X102)，必标准化，要标准化必须知道参数 和 2 ，为此，先利用题设条件求出 和 2 的值。23 【正确答案】 先求出 E(X)及样本均值 ，再用 代替 E(X)，解出参数 即可求出 的矩估计值按极大似然估计的一般求法求出 ，再用观察值代替表达式中的xi(i=1，2，6)即可故 的矩估计值为 (2)极大似然函数为
