1、考研数学（数学三）模拟试卷 464 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在区间(一，+)内连续，下述 4 个命题不正确的是 ( )（A）如果对于任意的常数 a，总有 -aaf(x)dx=0，则 f(x)必是奇函数（B）如果对于任意的常数 a，总有 -aaf(x)dx=20af(x)dx，则 f(x)必是偶函数（C）如果对于任意的常数 a 及某正常数 w，总有 aa+wf(x)dx 与以无关，则 f(x)有周期 w（D）如果存在某常数 w0，使 0wf(x)dx=0，则 0xf(t)dt 有周期 w2 设 F(x)= 01sin(xt)2dt
2、，则当 x0 时，F(x) ( )（A）不是无穷小（B）与 x 为同阶但不是等价无穷小（C）与 x 为等价无穷小（D）是 x 的高阶无穷小3 下列积分发散的是 ( )（A） 0+x dx（B） 01x2(ln x)2dx（C） （D） 4 设在 x0 处，f(x)连续且严格单调增，并设 F(x)=0x(2tx)f(t)dt，则 F(x)在 x0时 ( )（A）没有驻点（B）有唯一驻点且为极大值点（C）有唯一驻点且为极小值点（D）有唯一驻点但不是极值点5 设齐次线性方程组 Ax=0 有解 1=(1，2，1，3) T， 2=(1，1，一 1，1)T， 3=(1，3，3，5) T， 4=(4，5，一
3、 2，6) T其余 Ax=0 的解向量均可由1， 2， 3， 4 线性表出，则 Ax=0 的基础解系为 ( )（A） 1， 2（B） 1， 2， 3（C） 2， 3， 4（D） 1， 2， 3， 46 设 A 是 n 阶正定矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，则矩阵 AB2 是对称阵， 反对称阵，可逆阵， 正定阵，四个结论中，正确的个数是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 将一枚均匀硬币连续抛 n 次，以 A 表示“正面最多出现一次”，以 B 表示“ 正面和反面各至少出现一次” ，则 ( )（A）当 n=2 时，A 与 B 相互独立（B）当 n=2 时，A B（C）当 n=2 时，A
4、与 B 互不相容（D）当 n=3 时，A 与 B 相互独立8 设总体 XN(0， 2)(2 已知)，X 1，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则下列正确的是 ( )二、填空题9 设平面区域 D(t)=(x，y)0xy ，0ty1 ，f(t)= =_10 设函数 f 与 g 可微，z=f(xy，g(xy)+ln x)，则 =_11 微分方程 y=(1 一 y2)Tan x 满足 y(0)=2 的特解为 y=_12 已知 存在且不为零，其充要条件是常数p=_，此时该极限值=_ 13 设 A 是 n 阶实对称矩阵，B，C 为 n 阶矩阵，满足条件 (A+2E)B=O，(A
5、一 3E)C=O， 且 r(B)=r(0r n) ，r(B)+r(C)=n 则二次型 f(x1，x 2，x n)=XTAX 的规范形为_14 设(X，Y)的联合分布律如下，且 X 和 Y 相互独立，则 E(XY)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 ()设 0 x+ ，证明存在 ，01，使 ()求 关于 x 的函数关系的具体表达式 =(x)，并求出当 0x+时函数 (x)的值域16 求 ，要求写出详细的推导过程17 设曲线 y=ax2(x0，常数 a0)与曲线 y=1 一 x2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形 D求 ()D 绕
6、 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； ()a 为何值时，V(a)取到最大值?18 求由方程 2x2+2y2+z2+8xz 一 z+8=0 所确定的函数 z(x，y)的极值，并指出是极大值还是极小值19 设微分方程及初始条件为 ()求满足上述微分方程及初始条件的特解；()是否存在常数 y1，使对应解 y=y(x)存在斜渐近线，请求出此 y1 及相应的斜渐近线方程20 设 3 阶矩阵 A= () T 为何值时，矩阵 A，B 等价?说明理由；() T 为何值时，矩阵 A，C 相似?说明理由21 设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行第 j 列元素 aij=ij(i，j=1 ，2，n)B
7、是 n 阶矩阵，B 的第 i 行第 j 列元素 bij=i(i=1，2，n) 证明：A 相似于 B22 设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 p 的几何分布(0p1)，令Z=X+Y，求：()Z 的概率分布；()X 与 Z 的相关系数23 设总体 X 的概率密度 f(x)= 其中 0， 为未知参数，X1，X 2，X n 为取自 X 的简单随机样本()用原点矩求 ， 的矩估计量；()求 ， 的最大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 464 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 法一 证明(A)，(B)，(C) 都正确对
8、于(A)，将 a 看成变量， -aaf(x)dx=0 两边分别对 a 求导数，有 f(a)一一 f(一 a)=0，f(a)= 一 f(一 a)由 a 的任意性，故知 f(x)为奇函数A 正确类似可证 (B)也正确对于(C) ，设对任意 a， aa+wf(x)dx 与 a 无关，于是 (aa+wf(x)dx)a=f(a+w)一 f(a)=0，即对任意 a，f(a+w)=f(a)成立即 f(x+w)=f(x)，所以 f(x)具有周期 w(C)正确(A)，(B)，(C)都正确，根据排除法，选 D法二 举例说明存在某 w0，有 0wf(x)dx=0，但 0x(t)dt 不具有周期叫如：f(x)=1 一
9、 x， 02f(x)dx=02(1 一 x)dx=(x ) 02=0，但 f(t)dt=x 一 不是周期函数2 【正确答案】 B【试题解析】 选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 对于(A) ，可直接计算： 对于(B)，由于 x2(ln x)2=0，故 01x2(ln x)2dx 不是反常积分 (收敛)所以(D)发散选 D4 【正确答案】 A【试题解析】 由题可得，F(x)= 0x(2tx)f(t)dt=20xtf(t)dt 一 x0xf(t)dt，因此 F(x)=2xf(x)一 xf(x)一 0xf(t)dt=xf(x)一 0xf(t)dt =xf(x)一 xf()=xf(x)一 f()，
10、0 x 由于 f(x)严格单调增加，可知 f(x)f()，所以 F(x)0，故 F(x)在 x0 时无驻点，故应选 A5 【正确答案】 A【试题解析】 向量组 1， 2， 3， 4 的极大线性无关组为 Ax=0 的基础解系因为( 1， 2， 3， 4)= ，显然， 1， 2 是1， 2， 3， 4 的极大无关组故选 A6 【正确答案】 C【试题解析】 因 (AB T)T=AT+(一 B)BT=AT+(BTB)T =AT+BTB=AB2， 故 ABT 是对称阵 又任给 x0，则有 x T(AB2)x=xTAxxT(一 B)TBx=xTAx+(Bx)TBx， A 正定，x TAx0，(Bx) T(
11、Bx)0则 xT(AB2)x0，故 AB2 是正定阵 AB2 是正定阵，则 AB2 是可逆阵，故结论， ，正确，应选(C)7 【正确答案】 D【试题解析】 当 n=2 时， 由P(AB)P(A)P(B)知，A 与 B 不独立又 P(A)P(B) ，知 A ，所以 A 与 B 不互斥当 n=3 时， 可知 P(AB)=P(A)P(B)，因此 A 与 B 相互独立故应选 D8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 XN(0， 2)，所以 XiN(0， 2)(i=1，n) ，二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 f 2【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 分离变量，两
12、边积分，得改写任意常数并化简，得 y= 由初始条件 y(0)=2，得 C1= 。所以特解为 y= 12 【正确答案】 【试题解析】 作积分变量代换，令 =u，从而上述极限存在且不为零的充要条件是 p= 13 【正确答案】 y 12+y22+yn2 一 ynr+12 一一 yn2【试题解析】 因(A+2E)B=O，r(B)=r ，则 B 中列向量组的极大线性无关组向量个数为 r，且该极大线性无关组是(A+2E)X=0 的解，设为 1， 2， 3，也是 A 的对应于特征值 =一 2 的线性无关的特征向量 又(A 一 3E)C=O，因 r(C)=n 一 r(B)=n一 r，故 C 中列向量组的极大线
13、性无关组向量个数为 n 一 r，且该极大线性无关组是(A 一 3E)X=0 的解，也是 A 的对应于特征值 =3 的线性无关的特征向量，记为1， 2， ， nr，故 XTAX 的正惯性指数为 n 一 r，负惯性指数为 r 故知f(x1，x 2， xn)=XTAX 的规范形为 y 12+y22+yn2 一 ynr+12 一一 yn214 【正确答案】 【试题解析】 求 a，b 的值有两种方法法一 利用独立性定义，有因为 PX=2，Y=1=PX=2PY=1，故有 ；法二 由联合概率矩阵 的秩等于 1，可知矩阵任两行(或两列)成比例，由第 2 列知第 1 行是第 2 行的 倍，所以 由第 1 行知第
14、 3 列是第 2 列的 2倍，所以 b= 故(X，Y)的联合分布律为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 取 f(x)= ，由拉格朗日中值定理有 f(x+1)一 f(x)=f()(x+1 一x)，即 其中 xx+1，=x+ ，0 1()解 所以 (x)在区间(0 ，+) 上严格单调增加又16 【正确答案】 将题给积分拆成两项并将第 1 项交换积分次序：于是可以用洛必达法则计算下面极限：17 【正确答案】 y=ax 2 与 y=1 一 x2 的交点为当 a0 时，得V(a)的唯一驻点 a=4当 0a4 时，V(a)0；当 a4 时，V(a)0故 a=4 为V
15、(a)的唯一极大值点，即为最大值点18 【正确答案】 令 F(x，y)=2x 2+2y2+z2+8xz 一 z+8，且解得 y=0，4x+8z=0，再与 2x2+2y2+z2+8xzz+8=0联立解得两组解： (x，y，z) 1=(一 2，0，1)；(x，y，z) 2=( )再求二阶导数并将两组解分别代入，得所以在第一组点处，B 2 一AC0，A= 0，故 z=1 为极小值；在第二组点处，B 2 一 AC0，A=一为极大值19 【正确答案】 () 改写所给方程为 y一(2x )y=x2， 由一阶线性微分方程通解公式得通解 由初始条件y(1)=y1，得 C=(y1+1)e-1，得初值问题的特解为
16、 ()若 y1一 1，则 =，无斜渐近线若 y1=一 1，则20 【正确答案】 () 因为 ABr(A)=r(B) 由 B=，知 r(B)=2显然，当 t=0 时，有r(A)=r(B)=2，AB()EC= =( 一 2)( 一 2)2 一 1=( 一 2)( 一 3)( 一 1)，则 C 有三个不同的特征值 1=1， 2=2， 3=3，且存在可逆矩阵 P，使得 P-1CP= E 一 A= =(t)(一 2)21=( 一 t)( 一 3)( 一 1)当 t=2 时，A 有与 C 一样的三个不同的特征值故知，当 t=2 时，有可逆矩阵 Q，使得 Q -1AQ= =P-1CP从而有 (QP -1)-
17、1A(QP-1)=C，即 AC21 【正确答案】 由题设条件知 A 各行元素成比例，故 r(A)=1，=0 是 A 的 n 一 1 重特征值；A 的非零特征值为 n=，且 A 是实对称矩阵，故 B 各行元素成比例，故 r(B)=1，=0 是 B 的 n 一 1 重特征值，B 的非零特征值为 n= B 对应于 =0 有 n 一 1 个线性无关特征向量，故知存在可逆矩阵 P，使得 P-1P=故 BA由相似关系的传递性，得证 A B，即AB22 【正确答案】 ()X 与 Y 相互独立且都服从参数为 p 的几何分布，PX=k=p(1一 p)k1，k=1，2， 故 Z=X+Y 的取值为 2，3，则=(z 一 1)p2(1 一 p)z2，z=2 ，3，( )X 与 Y 相互独立，有 D(X+Y)=DX+DY，Cov(X ，Y)=0则23 【正确答案】 ()()因为似然函数为于是当xi，i=1，n 时，ln L= nln 一 ，由于 可知 ln L关于 单调增加，即 L(x1，x n；，)关于 单调增加，又因为 (一， xi，故 的最大似然估计量为解得 的最大似然估计量为
