1、考研数学（数学三）模拟试卷 475 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=cosx+xsinx 在 (一 2，2)内零点的个数为（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个2 设 m 与 n 是正整数，则 01xm(lnx)ndx=3 设 f(x)在a ，b上可导，f(x)+f(x) 2 一 axf(t)dt=0，且 abf(t)dt=0，则 axf(t)dt 在(a， b)内必定（A）恒为正（B）恒为负（C）恒为零（D）变号4 设 D 是以点 A(1，1) ，B(一 1，1)，C(一 1，一 1)为顶点的三角形区域，则=_（A）
2、2（B） 5（C） 8（D）65 设 1， 2， 3 为 3 个 n 维向量，AX=0 是 n 元齐次方程组。则( )正确（A）如果 1， 2， 3 都是 AX=0 的解，并且线性无关，则 1， 2， 3 为 AX=0 的一个基础解系（B）如果 1， 2， 3 都是 AX=0 的解，并且 r(A)=n 一 3，则 1， 2， 3 为 AX=0的一个基础解系（C）如果 1， 2， 3 等价于 AX=0 的一个基础解系则它也是 AX=0 的基础解系（D）如果 r(A)=n 一 3，并且 AX=0 每个解都可以用 1， 2， 3 线性表示，则1， 2， 3 为 AX=0 的一个基础解系6 下列矩阵中
3、不相似于对角矩阵的是7 在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次设事件 A=“考核合格 ”，B=“ 最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为 p(0p1) ，则（A）AB 与 C 独立（B） BC 与 A 独立（C） AC 与 B 独立（D）A，B，C 相互独立8 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立且都服从标准正态分布 N(0，1)，已知对给定的 (01) ，数 y 满足 Py y=，则有（A）y y1-=1（B）（C）（D）二、填空题9 曲线 的斜渐近线方程为_10 设函数 则 f(10)(1)=_11 设 f(x)= g(x)在
4、x=0 连续且满足 g(x)=1+2x+(x)(x0)又 F(x)=fg(x)，则 F(0)=_12 已知当 x0 与 y0 时 则函数 f(x，y)在点(x，y)=(1，1) 处的全微分 df|(1,1)=_13 已知 矩阵 A 相似于 B.A*为 A 的伴随矩阵，则|A*+3E|=_14 设试验的成功率 P=20，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 次和 32 次之间的概率 =_(1)=08413，(3)=09987)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 b 为常数(I)求曲线 L： 的斜渐近线 l 的方程；()设 L 与 l从 x=1
5、延伸到 x+之间的图形的面积 A 为有限值，求 b 及 A 的值16 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内连续，且有 (I)求 f(1)及 ( )求 f(1)，若又设 f”(1)存在，求 f”(1)17 求 f(x，y， z)=2x+2yz2+5 在区域 ：x 2+y2+z22 上的最大值与最小值18 设曲线 y=y(x)上任意一点的切线在 y 轴上的截距与法线在 x 轴上的截距之比为3，求 y(x)19 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，试证：20 已知四元齐次方程组(I) 的解都满足方程式()x1+x2+x3=0求 a 的值求方程组(I)的通解21 已知 A 是 3 阶矩阵， 1，
6、2， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1=一 1一 3233， A2=41+42+3，A 3=一 21+33 求 A 的特征值 求 A 的特征向量 求 A*一 6E 的秩22 设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数 X 服从参数为 的泊松分布，且每一顾客购买 A 类商品的概率为 p假定各顾客是否购买 A 类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买 A 类商品的人数 Y 的概率分布及 Y 的期望 EY23 历史上科学家皮尔逊进行抛掷一枚匀称硬币的试验，他当时掷了 12000 次，正面出现 6019 次，现在我们若重复他的试验，试求：(I)抛掷 12000 次正面出现频率与概率之差的
7、绝对值不超过当年皮尔逊试验偏差的概率；()要想使我们试验正面出现的频率与概率之差的绝对值不超过皮尔逊试验偏差的概率小于 20，现在我们应最多试验多少次?考研数学（数学三）模拟试卷 475 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)为偶函数，f(0)=1 ，故只需讨论(0，2)内零点的个数由此可知，f(x)在均单调且端点函数值异号因而各有唯一零点，所以 f(x)在一 2，2 内共有 4 个零点2 【正确答案】 B【试题解析】 用分部积分法计算这里积分下限 0 是瑕点，从而在积分下限处都理解为求极限继续进行分部积分可得 故应选
8、(B) 3 【正确答案】 C【试题解析】 设 F(x)=axf(t)dt，若 F(x)在(a，b)内可取正值，由于 F(a)=F(b)=0，故 F(x)在(a，b)内存在最大值且为正，从而知 F(x)必在(a，b)内存在正的极大值，记该极大值点为 x0，于是 F(x0)=0，F(x 0)0即 f(x0)=0， 代入原方程，得 这表明 F(x0)应是极小值，导致矛盾同理可知F(x)在(a，b)内也不可能取到负值故选(C) 4 【正确答案】 C【试题解析】 D 如图所示，连 将 D 分成 D=D1D2，D 1，D 2 分别关于 x，y 轴对称 选(C)5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 缺少
9、 nr(A)=3 的条件 (B) 缺少 1， 2， 3 线性无关的条件 (C)例如 1， 2 是基础解系 1+2=3，则 1， 2， 3 和 1， 2 等价，但是1， 2， 3 不是基础解系 要说明(D)的正确性，就要证明 1， 2， 3 都是 AX=0的解，并且线性无关方法如下： 设 1， 2， 3 是 AX=0 的一个基础解系，则由条件， 1， 2， 3 可以用 1， 2， 3 线性表示，于是 3r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3,1， 2， 3)r(1， 2， 3)=3， 则 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=3， 于是 1， 2
10、， 3 线性无关，并且和1， 2， 3 等价，从而都是 AX=0 的解6 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 矩阵的 3 个特征值两两不同，(D)是实对称矩阵，因此它们都相似于对角矩阵(C)矩阵的秩为 1，它的特征值都为 0，其重数 3 3 一(C) 矩阵的秩因此(C)不相似于对角矩阵(B)矩阵的秩也为 1，它的特征值为 0，0，6，0 的重数 2=3 一(B) 矩阵的秩因此相似于对角矩阵7 【正确答案】 A【试题解析】 依题意 A 与 B 为对立事件，因此 AB= ，BC=B，而不可能事件与任何事件相互独立，故应选(A) 若进一步分析， P(ABC)=0，而 P(A)，P(B)，P(C)
11、， P(AC)，P(BC)均不为 0，因此(B) 、(C) 、(D)均不正确8 【正确答案】 A【试题解析】 依题意可知，X 12+X22 与 X32+X42 相互独立且都服从自由度为 2 的 2分布，因此 Y= 因为 PYy =，即 y=F(2，2)，又 1=1 一 PYy =PYy=PYy = 而由 =PYy 可知 y1-= 即 yy1-=1故应选(A)二、填空题9 【正确答案】 y=x 【试题解析】 因为因此斜渐近线方程为 y=x10 【正确答案】 一 10!210【试题解析】 11 【正确答案】 4e 【试题解析】 由 g(x)在点 x=0 处连续及 g(x)=1+2c+o(x)(x0
12、)由复合函数求导法及变限积分求导法12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 27【试题解析】 A 相似于 B，则 A*+3E 相似于 B*+3E，于是|A*+3E|=|B*+3E| 14 【正确答案】 084【试题解析】 以 X 表示“100 次独立重复试验成功的次数 ”，则 X 服从参数为n=100，p=0 20 的二项分布，且 根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理可知随机变量 近似服从分布 N(0，1) ，于是 =P16X32= (3)一 (一 1)=(3)一1 一 (1)=09987 01587=084，其中 (n)是标准正态分布函数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
13、骤。15 【正确答案】 (I)求 的斜渐近线由于所以斜渐近线方程为 y=2x 一 4如果 2b+15+10，即如果 b一 8，无论 b一 8 还是 b一 8，均有 Int(t+2)2b+15=，从而与 A 为有限值矛盾当 b=一 8 时有16 【正确答案】 (I)由条件知 f(x+1)+1+3sin2x=0 f(x+1)+3sin2x=f(1)+0=0 f(1)=0又在 x=0 的某空心邻域内 f(x+1)+3sin2x0，现利用等价无穷小因子替换:当 x0 时， ln1+f(x+1)+3sin 2x一 f(x+1)+3sin2x，17 【正确答案】 f(x，y，z) 在有界闭区域 上连续，一
14、定存在最大、最小值 第一步，先求 f(x，y，z) 在 内的驻点由 知 f(x，y，z)在 内无驻点，因此f(x，y，z)在 的最大、最小值都只能在 的边界上达到 第二步，求 f(x，y，z)在 的边界 x2+y2+z2=2 上的最大、最小值，即求 f(x，y，z)在条件 x2+y2+z22=0下的最大、最小值 令 F(x，y，z，)=2x+2y z2+5+(x2+y2+z22)，解方程组由，知 x=y，由知 z=0 或 =1由 x=y，z=0 代入知 x=y=1，z=0 当 =1时由，也得 x=y=一 1，z=0因此得驻点 P1(一 1，一 1，0)与P2(1，1，0)计算得知 f(P1)=
15、1，f(P 2)=9 因此，f(x，y，z)在 的最大值为 9，最小值为 118 【正确答案】 1)先求截距并列方程 曲线 y=y(x)在 点(x，y(x) 处的切线方程是 Y 一 y(x)=y(x)(X 一 x) 令 X=0，得 y 轴上截距 Y=y(x)一 xy(x) 相应的法线方程是 令 Y=0，得 x 轴上截距 X=x+y(x)y(x)2)求解方程19 【正确答案】 引进辅助函数，把证明常数不等式转化为证明函数不等式(可用单调性方法)F(x)单调不减，故 F(x)F(a)=0(xa，b) 特别有 F(b)0，即20 【正确答案】 条件即 (I)和()的联立方程组和(I)同解，也就是矩阵
16、 B=和 的秩相等 对 B 用初等行变换化阶梯形矩阵，并注意过程中不能用第 4 行改变上面 3 行，以保证化得阶梯形矩阵的上面 3 行是由 A 变来的显然 a=0 时 r(A)=1，r(B)=2，因此 a0因为 a0，所以 r(A)=3要使得 r(B)=3，a=1 2得(I)的通解：c(一 1，一1，2，2) T，c 任意21 【正确答案】 记 P=(1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 是线性无关，所以 P 是可逆矩阵 AP=(A 1，A 2， A3)=(一 1 一 3233，4 1+42+3，一 21+33)=(1， 2， 3) 记 B= 则 AP=PB，即 P-1AP=B，A 与 B相
17、似，特征值一样求 B 的特征多项式|EB|= =( 一 1)(一 2)( 一 3) 得 A 的特征值为 1，2，3 先求 B 的特征向量，用 P 左乘之得到 A 的特征向量(如果 B=，则 P-1AP=，即 A(P)=(P) 对于特征值1： B 的属于特征值 1 的特征向量(即(BE)x=0 的非零解) 为 c(1，1，1) T，c0则 A 的属于特征值 1 的特征向量为c(1+2+3)T， c0 对于特征值 2： B 的属于特征值 2 的特征向量(即(B 一 2E)x=0 的非零解)为 c(2，3，3) T，c0 则 A 的属于特征值 2 的特征向量为 c(21+32+33)T，c0 对于特
18、征值 3：B 的属于特征值 3 的特征向量(即(B 一3E)x=0 的非零解) 为 c(1，3，4) T，c0则 A 的属于特征值 3 的特征向量为c(1+32+43)T，c0 由 A 的特征值为 1，2，3，|A|=6 于是 A*的特征值为6，3，2，A*一 6E 的特征值为 0，一 3，一 422 【正确答案】 由题设知，PX=m= m=0，1，2，；0购买 A 类商品的人数 Y，在进入超市的人数 X=m 的条件下服从二项分布 B(m，P) ，即 PY=k|X=m=Cmkpkqm-k， k=0，1，2，m；q=1 一 p由全概率公式有又因为当 mk 时，PY=k|X=m=0，所以由此可知，Y 服从参数为 p 的泊松分布，故 EY=p23 【正确答案】 (I)设 X 表示试验中正面出现的次数，则 XB(12000，05)，且EX=np=6000。DX=npq=3000由于 n=12000 相当大，因此 近似服从正态分布 N(0，1)，于是()设至多试验 n 次，Y 为 n 次中正面出现的次数，显然 YB(n，05)，EY=05n，DY=0 25n，于是 故最多试验 6232 次即可
