1、考研数学（数学二）模拟试卷 279 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若函数 y=f(x)有 f(x0)=1/2，则当 x0 时，该函数在 x=x0 点外的微分 dy 是( )（A）与x 等价的无穷小（B）与 x 同阶的无穷小（C）比 x 低阶的无穷小（D）比高阶的无穷小2 设 ，则存在函数 u=u(x)，使( )（A）I 1=I2+x（B） I1=I2-x（C） I2=-I1（D）I 2=I13 =( )（A）1（B） 0（C） a（D）不存在4 设 ，其中 f 为连续的奇函数，D 是由 y=-xI3，x=1，y=1 所围成的平面闭域，则 k 等于
2、( )（A）0（B） 2/3（C） -(2/3)（D）25 已知 f(x)= ，设 F(x)=1xf(t)dt(0x2)，则 F(x)为( ) 6 设函数 f(u)可导，y=f(x 2)当自变量 x 在 x=-1 处取得增量x=-01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)=( )（A）-1（B） 01（C） 1（D）057 A 是 n 阶矩阵，且 A3=0，则( )（A）A 不可逆，E-A 也不可逆（B） A 可逆，E+A 也可逆（C） A2-A+E 与 A2+A+E 均可逆（D）A 不可逆，且 A2 必为 08 已知 A=(aij)，B=(b ij)mn 且有关系 bij=
3、aij+ aijbik(i，j=1，2，n)则下列关系式正确的是( ) （A）A(B+E)=B（B） (B+E)A=B（C） B(A-E)=A（D）(E-A)B=A二、填空题9 设常数 =_10 设 z=xyf(y/x)，f(u)可导，则 xzx+yzy=_11 微分方程 y+y=-2x 的通解为_12 =_13 在曲线 y=(x-1)2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为_14 设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，其中 A= ，层为单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则 B：_三、解答
4、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 证明：当 0a b 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a17 假设(*)在 a，+)上连续，f (x)在(a ，+)内存在且大于零，记 F(x)=，证明：F(x)在(a，+)内单调增加18 设函数 f(x)在0，上连续，且 试证明：在(0，) 内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=0.19 已知抛物线 y=px2+qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S ( )问 p 和 q 何值时，S 达到最大值? ()求出此最大值20 设 y+
5、f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求 d2y/dx221 设区域 D=(x，y) x 2+y21，x0 ，计算二重积分22 设 A 为 n 阶实对称矩阵，f(A)=n，A ij 是 A=(aij)nm 中元素 aij(i，j=1 ，2，n)的代数余子式，二次型 f(x1，x 2，x n)= () 记X=(x1，x 2，x n)T，把 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式，并证明二次型 f(x)的矩阵为 A-1； ( )二次型 g(X)=XTAX 与 f(X)的规范形是否相同? 说明理由23 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1=1， 22， 3=3，其对应的线性
6、无关的特征向量分别为 ，求 An考研数学（数学二）模拟试卷 279 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由导数与微分的关系 dy/dx=f(x0)=1/2 1/2(当x=dx0)，dy 是与x 同阶且 不等价的无穷小应选 (B)2 【正确答案】 D【试题解析】 故应选(D)3 【正确答案】 B【试题解析】 答案为(B)由函数性质， x0，使当 xX0 时，有应用夹逼定理得4 【正确答案】 B【试题解析】 如图：加一条曲线 y=x3，将 D 分为 D1 和 D2，因为 f 为奇函数，所以f(-xy)=-f(xy)，而 D1，D
7、 2 分别对称 y 轴和 x 轴，故有从而原积分故应选(B)5 【正确答案】 D【试题解析】 当 0x1 时， 当 1x2时，F(x)= 故应选(D) 6 【正确答案】 D【试题解析】 由于增量的线性主部等于函数的微分，因此由题设 y=f(x 2)=2xf(x2)x+0(x)， 将 x=-1，x=-01 代入得 y x=-1=-2f(1)x+0(x)=02f (1)+D(x)=01+o( x)， 所以 02f (1)=01，f (1)=1/2，选(D) 7 【正确答案】 C【试题解析】 由行列式性质A 3=A 3=0，可知 A 必不可逆，但从 (E-A)(E+A+A2)=E-A3=E，(E+A
8、)(E-A+A 2)=E+A3=E，知 E-A ，E+A，E+A+A 2，E-A+A 2均可逆 当 A3=O 时，A 2 是否为 0 是不能确定的，例如：A 1=，有 A13=0， 但 A120，A 23=0，且 A22=0，故选(C)8 【正确答案】 B【试题解析】 由关系 得B=A+BA，从而得 B=(E+B)A故应选(B)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由题设，原式=10 【正确答案】 【试题解析】 利用复合函数求偏导的方法，得11 【正确答案】 c 1cosx+c2sinx-2x【试题解析】 特征方程 2+1=0，=i ， 于是齐次方程通解为 设特解为 y*=Ax，代入方程得
9、 y*=-2x，所以 y=c1cosx+c2sinx-2x12 【正确答案】 2/3【试题解析】 13 【正确答案】 13/15【试题解析】 过曲线 y=(x-1)2 上点(2，1) 的法线方程为 y=-(1/2)x+2，该法线与 x 轴的交点为(4 ，0) ，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为14 【正确答案】 【试题解析】 由已知 A= ，则A=-20，由公式 AA*=A*A=AE化简矩阵方程 A*BA=2BA-8E即分别以 A 左乘该方程，以 A-1 右乘该方程得-2B=2AB-8E从而 2(A+E)B=8E，即(A+E)B=4E ，因此
10、B=4(A+E)-1，其中 A+E=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 原式16 【正确答案】 设函数 F(x)=xsinx+2cosx+x，则 F(x)在0，有连续的二阶导数，且 F (x)=xcosx-sinx+，F ()=0， F (x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx0 (x(0，) 所以F(x)在 0， 单调减少，从而 F(x)F()=0(x(0，) 于是 F(x)在0，单调增加，因此当 0a b 时，F(b)F(a) 即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a17 【正确答案】 令 (x)=f(x)(x-a)-f(x)+
11、f(a)(xa)，由于 (x)=f(x)(x-a)0，因此 (x)在(a，+) 内单调增加，有 (x)(a)=0，故 F(x)=，所以 F(x)单调增加18 【正确答案】 引入辅助函数 F(x)=0f(t)dt，0x，则 F(0)=0，F()=0又由因此必存在一点 (0，)，使得 F()sin=0，否则 F(x)sinx 在(0，)内恒正(或负)，均与 (x)sinxdx=0 矛盾当 (0，)时，sin0 ，因此 F()=0综上知 F(0)=F()=F()=0，0 ，在区间0 ， ， 上分别用罗尔定理，则至少存在1(0， )， 2(，)使得 F(1)=F(1)=0，即 f(1)=f(2)=01
12、9 【正确答案】 由题设，抛物线与直线的位置关系如图所示抛物线 Y=pxx+qx 与 x 轴的交点为(0，0)及 面积又知抛物线与直线相切，因此二者的公共点唯一，从而方程组 有唯一解，可推知 px2+(q+1)x-5=0 的根的判别式为 0，即=(q+1) 2+20p=0，可解得 p=-(1/20)(1+q)2由此，则当 0q3 时，S (q)0；当 q3 时，S 2(q)0， 所以 q=3 时，S(g)取极大值，也即最大值，此时，p=-(4/5)，S max=225/3220 【正确答案】 等式两边同时对 x 求导，得 y=f(x+y)(1+y)，于是再对 x 求导，得21 【正确答案】 依
13、题意，如图所示， D 为右半单位圆，且关于x 轴对称，所以 所以令 x=rcos，y=rsin0，作极坐标变换则有 D1：0/2，0r1，从而22 【正确答案】 () 由题设，已知 A 为 n 阶实对称矩阵，从而上式两边可转置，即已知r(A)=n，从而A0 ，A 可逆，且 A-1= ，则由(1)式知 f(x1，x 2，x n)=xTA-1X 且(A -1)T=(AT)-1=A-1，故 f(x1，x 2，x n)=xTA-1X 是 f(X)的矩阵表示，且相应矩阵为 A-1，证毕()由于(A -1)TAA-1=(AT)-1E=A-1，则 A-1 与 A 合同，于是g(X)=XTAX 与 f(X)有相同规范形，得证23 【正确答案】 令 则
