1、考研数学（数学二）模拟试卷 288 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知函数 f(x)在区间(1-，1+)内具有二阶导数，f (x)0，且(1)=f (1)=1，则( )（A）在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)x（B）在 (1-，1)和(1 ，1+)内均有 f(x)x（C）在 (1-，1)内 f(x)x，在(1，1+6) 内 f(x)x（D）在(1-，1)内 f(x) x，在(1，1+)内 f(x)x2 设 f(x)=ex+sinx-1，则当 x0 时( )（A）f(x)是 x 等价无穷小（B） f(x)与 x 是同阶但非等价无穷小（C）
2、 f(x)比 x 更高阶的无穷小（D）f(x)是比 x 较低阶的无穷小3 设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 ，则 f(x)在 x=0处( )（A）可导，且 f(0)=0（B）可导，且 f(0)=-1（C）可导，且 f(0)=2（D）不可导4 已知函数y=y(x)在任意点 x 处的增量 ，其中 a 是比 x(x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则 y(1)=( )（A）e /2（B） 2（C） （D）e /2 5 设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(a-，a+)时，必有 ( )6 曲线 y=(1/x)+ln(1+ex)
3、，渐近线的条数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）37 如果向量 可以由向量组 a1，a 2，a s 线性表示，则 ( )（A）存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s 使 =k1a1+k2a2+ksas 成立（B）存在一组全为零的数 k1，k 2，k s 使 =k1a1+k2a2+ksas 成立（C）存在一组数 k1，k 2，k s 使 =k1a1+k2a2+ksas 成立（D）对 的线性表达式唯一8 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值，a 1，a 2 分别是 A 的属于 1， 2 的特征向量，则( )（A） 1=2 时，a 1 与 a2 必成比例（B） A。=A2 时，a
4、1 与 a2 必不成比例（C） 12 时，a 1 与 a2 必成比例（D） 122 时，a 1 与 a2 必不成比例二、填空题9 已知 f(x)是微分方程 xf(x)-f(x)= 满足 f(1)=0 的特解，则10 设 f(x)连续， ，则 f(0)=_11 =_12 设 f(u，v)是二元可微函数 =_13 微分方程 ydx+(x2-4x)dy=0 的通解为_14 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 的秩为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 设 z=(x2+y2)earctan(y/x)，求 dz 与17
5、 设 A 从原点出发，以固定速度 v0 沿 y 轴正向行驶， B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 v1，朝 A 追去，求 B 的轨迹方程18 设 f(x)在区间0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1，试证： ()存在 (1/2，1)，使 f()=； ()对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()-f()-=119 计算二重积分 ，其中 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 以及曲线所围成的平面区域20 设 f(x)在(-，+) 上有定义，且对任意的 x，y(- ，+)有f(x)-f(y)x-y证明：21 设 z=f(
6、x2+y2，xy，x)，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求22 设 A 为 3 阶矩阵，a 1，a 2 为 A 的分别属于特征值-1、1 的特征向量，向量 a3 满足 Aa 3=a2+a3， () 证明 a1，a 2，a 3 线性无关； ()令 P=(a1，a 2，a 3，求 P-1AP23 已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 Ak=0，试证明矩阵 E-A 可逆，并求出逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位矩阵)考研数学（数学二）模拟试卷 288 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 设 (x)=f(x)-x，则
7、 (x)=f(x)-1， (x)=f(x)， 由 f(x)0 得 (x)0，故 (x)单调减少， 则当 x1 时， (x) (1)=f(1)-1=0，当 x1 时， (x) (1)=0， 则 (x)在 x=1 处取得极大值， 当 x(1-，1) (1，1+)时 (x)(1)=f(1)-1=0，即 f(x)x选 (A)2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以应选(B)3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 由题设， ，且 a 是比x( x0) 高阶的无穷小从而此为可分离变量的微分方程，则，两边积分得 lny=arcsinx+C 由已知 y(0)=，代入上式解得C
8、=ln，于是 y=earcsinx，因此 y(1)=e/2，选(A) 5 【正确答案】 D【试题解析】 由题没连续性及 f(a)为极大值知(x-a)f(x)-f(a)在 x=a 左右两侧变号，从而(A)、(B)都可排除，当 xa 时， 由于 f(a)在 x=a 点为极大值，且 f(x)在 x=a 的小邻域内连续，则存在 0，当 x(a-，a+)时，因此，选(C)，而排除(D) 6 【正确答案】 D【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 由向量线性表示的定义知选(A)8 【正确答案】 D【试题解析】 当 1=2 时。它们为 A 的重数大于或等于 2 的特征值， 其对应的线性无关的特征向量
9、的个数可能大于 1，也可能等于 1，所以不能选 A、B 当12 时，由于应于不同特征值的特征向量必线性无关， 所以 a1 与 a2 必不成比例，故选(D)二、填空题9 【正确答案】 - *8【试题解析】 因为 将即10 【正确答案】 2【试题解析】 因为当 x0 时，e x2-1-x2，1-cos(xf(x)(1/2)x 2f2(x)，所以有因为 f(x)连续，所以(1/2)f(0)=1故有f(0)=211 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 0【试题解析】 已知 于是13 【正确答案】 (x-4)y 4=Cx【试题解析】 微分方程 ydx+(x2-4x)dy=0 化为 两边积分得
10、通解为(x-4)y4=Cx14 【正确答案】 2【试题解析】 由题设，f(x 1，x 2，x 3)=x12+x22+2x1x2+x22+x32-2x2x3+x12+32+2x1x3 =212+2x22+232+2x1x2+2x2x3+2x1x3，则该二次型的矩阵为 A= ，由初等行变换可将 A 化为 则 r(A)=2，所以二次型的秩为 2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 原式16 【正确答案】 17 【正确答案】 设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则18 【正确答案】 () 由题设，引入辅助函数 (x)=x-f(x)，则 (x)在0，1上连续，由已
11、知条件 f(1)=0 及 f(1/2)=1，知 (1)=1-f(1)=10 且，所以由闭区间上连续函数的介值定理知存在一点 (1/2，1)，使得 (n)=0，即 -f()=0，因此存在 (1/2，1)，使 f()=，证毕( )引入辅助函数，由原函数法将所需证明的等式中的 改写为 x，有 f(x)-f(x)-x=1，即 f(x)-f(x)=1-x由一阶线性非齐次微分方程的通解公式得：所以f(x)-xe-x=C，至此可令辅助函数为 g(x)=f(x)-xe-x=-(x)e-x，由已知条件及(I) 中结论，知 g(x)也是连续函数， 且 g(0)=f(0)-0e0=0，g()=-()e -=0 由罗
12、尔定理知存在一点 (0，) ，使得 g()=0， 又 g(x)=-e-xf(x)-x+e-xf(x)-1， 所以-f()-+f()-1=0 此即 f()-f()-=1证毕19 【正确答案】 由题设，积分区域 D 如右图阴影所示，其在 D1 为辅助性半圆形区域，20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 () 假设 a1，a 2，a 3 线性相关，则 a3 可由 a1，a 2 线性表出， 可设a3=k1a1+k2a2，其中 k1，k 2 不全为 0， 否则由等式 Aa3=a2+a3 得到 a2=0，不符合题设 因为 a1， a2 为矩阵 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，
13、所以Aa1=a1，Aa 2=a2， 则 Aa3=A(k1a1+k2a2)=-k1a1+k2a2=a2+k1a1+k2a2等式中 a1，a 2 的对应系数相等，即 显然此方程组无解，故假设不成立，从而可知a1，a 2，a 3 线性无关()因为 a1，a 2，a 3 线性无关，所以矩阵 P=(a1，a 2，a 3)可逆，由于 AP=A(a1，a 2，a 3)=(-a1，a 2，a 2+a3)=(a1，a 2，a 3) 等式两边同时左乘矩阵 P 的逆矩阵 P-1，可得 P-1AP=P-1 P23 【正确答案】 由代数公式 1-ak=(1-a)(1+a+ak-1)以及 A 与 E 可交换，有 E-Ak=(E-A)(E+A+Ak-1)，而 Ak=0，故有(E-A)(E+A+A k-1)=E，可知 E-A 可逆，且有(E-A) -1=E+A+Ak-1
