1、考研数学（数学二）模拟试卷 311 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=x0 的某邻域内存在二阶导数，且 则存在点(x 0，f(x 0)的左、右邻域 U-与 U+( )（A）曲线 y=f(x)在 U-内是凹的，在 U+内是凸的（B）曲线 y=f(x)在 U-内是凸的，在 U+内是凹的（C）曲线 y=f(x)在 U-与 U+内都是凹的（D）曲线 y=f(x)在 U-与 U+内都是凸的2 设 f(x)为连续函数 ，则 ( )（A）（B）（C）（D）3 设 f(x)在 x=x0 的某邻域内有定义，则 存在且等于 A”是“f (x0)存在且
2、等于A”的( )（A）充分条件非必要条件（B）必要条件非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件4 设 f(x)在(0，+)内可导，下述论断正确的是( )（A）设存在 X0，在区间(X ，+) 内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界（B）设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X ，+)内亦必有界（C）设存在 0，在(0 ，) 内f (x)有界，则 f(x)在(0 ，) 内亦必有界（D）设存在 0，在(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界5 设平面区域则正确的是( )（A）8I 1I2（B） I18I2（C） I1I28（D
3、）I 28I16 微分方程 y一 2y+y=e的特解形式为( )（A）y *=Aex(A0)（B） y*=(A+Bx)ex(B0)（C） y*=(A+Bx+Cx2)ex(C0)（D）y *=(A+Bx+Cx2+Dx3)ex(D0)7 设 对 A 分别以列和行分块，记为 A=1,2,3， 4= ,其中则r(A)=2 2， 3 线性无关 1， 2， 3 线性无关 1,2,3 线性相关其中正确的是( )（A）和（B） 和（C） 和（D）和8 设 是 3 阶可逆矩阵B 是 3 阶矩阵，满足则 B 有特征值( )（A）1，一 1，一 4（B） 1，1，4（C） 1，2，一 2（D）1，2，2二、填空题9
4、 设 y=v(x)由方裎 所确定，则 =_.10 =_.11 设 f(x)在 x=0)处连续，且 则曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为_。12 微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是_13 设 f(lnx)=lxlnx，则 f(n)(x)=_14 设 A 是阶矩阵， 1,2,3 是 3 维线性无关列向量，且满足A1=1+22+3，A( 1+2)=21+2+3，A( 1+2+3)=1+2+23，则A=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 D 为曲线 y=x3 与直线 y=x 所围成的两块区域，计算16 已知 在 x0 处
5、有二阶连续导数，且满足 求 f(u)的表达式17 设 f(x)在区间(0，+)上连续，且严格单调增加试求证 F(x)=在区间(0，+)上也严格单调增加18 计算二重积分 ，其中 D 在极坐标系统中表示为19 已知摆线的参数方程为 其中 0t2，常数以0设该摆线一拱的弧长的数值等于该弧段绕 x 轴旋转一周所围成的旋转曲面面积的数值求 a 的值20 设三角形三边的长分别为 a、b、c ，此三角形的面积设为 S求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并要求求出这三个相应的距离20 设 证明：21 f(x，y)在点(0，0)处的两个偏导数 fx(0，0)与 fy(0,0)都存在，函数 f(x,y)在点
6、(0，0)处也连续；22 f(x，y)在点(0，0)处不可微23 设方程组 有通解k11+k22=k11，2，1，一 1T+k20，一 1，一 3，2 T方程组有通解 11+22=12，一 1，一6，1 T+2一 1，2，4，a+8 T已知方程组有非零解，试确定参数 a 的值，并求该非零解23 设 求24 A 的特征值，特征向量；25 可逆阵 P，使得 P-1AP=A考研数学（数学二）模拟试卷 311 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题给条件推知存在 x=x0 的去心邻域 ，当 时于是知，当 且 xx 0 时，f (x
7、) 且 xx 0 时，f (x)0，曲线凹，故应选 B2 【正确答案】 B【试题解析】 交换积分次序3 【正确答案】 D【试题解析】 设 有 所以 但 f(0)不存在，因 f(x)在 x=0 处不连续，所以 存在”不是“f (x0)存在”的充分条件设但当 x0 时，f (x)=不存在，所以 存在”也不是“f (x0)存在”的必要条件4 【正确答案】 C【试题解析】 对于区间(0，) 内任意的 x，再另取一固定的 x1，f(x)一 f(x1)=f()(x一 x1)， f(x)一 f(x1)+f()(xx1)，f(x) f(x 1)+Mxx1f(x 1) +M，所以 f(x)在(0，) 内必有界，
8、其中 M 为 f(x)在(0,) 内的一个界5 【正确答案】 A【试题解析】 如右图，由于 D 的面积为 ，从而可将 8 化成 由于当(x，y) D 时，x+yln(1+x+y)0，仅在原点处成立等号，所以6 【正确答案】 C【试题解析】 因为右边 ex 指数上的 1 是二重特征根，故为 yx=Ax2ex 的形式(A0)即 C 中 C0 的形式故应选 C7 【正确答案】 D【试题解析】 由 知 r(A)2但不能得出，r(A)线性无关，增加分量得 仍线性无关故正确由(*)式知向量 11,12,13， 21,22,23， 31,32,33线性相关但增加分量成1， 2， 3 不能保证线性相关故 不正
9、确由(*)式知 1,2,3 线性相关。是正确的故应选 D8 【正确答案】 C【试题解析】 由题设条件得A 是可逆阵，故有 即 相似矩阵有相同的特征值，故 C 和 B 有相同的特征值因为 故B 有特征值为 1=1， 2=2 3=一 2故应选 C或由 ，两边取行列式，得 故应选 C二、填空题9 【正确答案】 一 2【试题解析】 由 ，将 x=0 代入，有 y=1冉将所给方程两边对 x求导，得 于是将 x=0，y=1 代入，得y x=0=3，y x=0=一 210 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 法一 由极限与无穷小的关系 于是但由 所以由于 f(x)在 x=0 处连续
10、，所以 f(0)所以曲线 y=f(x)在点 (0，f(0)处的切线方程为 y 一 f(0)=f(0)(x 一 0)即 法二 将sinx，按皮亚诺余项泰勒公式展至 n=3，有代入原极限式，有可见 即有于是 以下与解法一同12 【正确答案】 【试题解析】 将方程改写为 将 x 看成函数，此为 x 对 y 的一阶线性方程，代入通解公式，得 再由初始条件：当x=1 时 y=2从而 c=5所以13 【正确答案】 e x(x+n 一 1)【试题解析】 由 f(lnx)=xlnx，则 f(x)=xex由莱布尼茨高阶导数乘法公式,有 f(n)(x)=(xex)(n-1)=exx+exx,Cn-11(x)+0=
11、ex(x+ 一 1)14 【正确答案】 一 4【试题解析】 法一 由题设条件 A1=1+22+3，A( 1+2)=21+2+3，A( 1-2+3)=1+2+23 故 A(1， 1+2， 1+2+3)=A(1， 2， 3)=(1+22+3，2 1+2+3， 1+2+23)=(1， 2， 3) 两边取行列式，得 因 1,2,3 线性无关，所以( 1,2,3)0，又 故有 法二 A1=1+22+3，A( 1+2)=21+2+3，故 A2=A(1+2)一 A1=1 一2， A(1+2+3)=1+2+23，A 3=A(1+2+3)一 A1 一 A2=3 一 1，故A1，A 2，A 3=A1， 2， 3=
12、1+22+3， 1-2， 3 一 1 两边取行列式，因( 1， 2， 3)0，则 或 P=1,2,3可逆，得A1,2,3=1,2,3 相似矩阵有相同的行列式，故三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 画出区域 D，如图所示第一象限中一块记为D1，第三象限中一块记为 D2而同理所以原式=e 一216 【正确答案】 由 ，有所以原方程化为(1+u 2)f+2uf=0，其中 中的变量为 u，解上述方程，得 即17 【正确答案】 对第 1 个积分作变量变换，令 则当 0x1 时，由于是当 时，有 当 x1 时，由 1，于是当时，有 f(u)0不论哪种情形，总有 F(x)0
13、(当 r0 且x1)此外易知 F(1)=0所以当 0x+时，F(x)严格单调增加18 【正确答案】 改用直角坐标，于是19 【正确答案】 摆线一拱弧长摆线一拱绕 x 轴旋转一周所成的旋转曲面的面积为 由题意得，所以20 【正确答案】 设 P 为三角形内的任意一点，该点到边长分别为 a，b,c 的边的距离分别为 x，y，z 南三角形的面积公式有 求 f=xyz 在约束条件 ax+by+cz 一 2S=0 下的最大值，令 W=xyz+(ax+by+cz 一 2S)，由拉格朗日乘数法， 解得唯一驻点为 显然，当 P 位于三角形的边界上时，f=0 ，为最小值；当 P 位于三角形内部时，f 存在最大值，
14、由于驻点唯一，故当 时，f 最大，21 【正确答案】 按偏导数定义， 同理fy(0，0)=0，故偏导数 fx(0，0)与 fy(0，0) 都存在；在(0，0)连续22 【正确答案】 f(x，y)在点(0，0)可微的充要条件是 取y=k(x)令 x0，极限值随 k 而异所以 不存在，所以 f(x，y)在点(0， 0)处不可微23 【正确答案】 方程组(*)有非零解，即方程组(*)、方程组(*)有非零公共解，设为 ，则 是属于方程组 (*)的通解，也是属于方程组(*)的通解，即=k11+k22=11+22，其中 k1，k 2 不全为零，且 1， 2 不全为零得 k11+2k22一 1122=0，(
15、*)(*)式有非零解 r(1， 2，一 1，一 2)4对 1， 2，一1，一 2作初等行变换故当 a=一 8 时，方程组(*)有非零解当 a=一 8 时，方程组(* )的系数矩阵经初等行变换化为方程组(* )有解 k1，k 2， 1， 2=k1，1，1，1故方程组 (*)，(*)的公共解为其中 k 是任意常数24 【正确答案】 先求 A 的特征值法一 得 A 的特征值为 1=1(三重特征值)， 2=一 1(二重特征值) 法二 故 A 的特征值的取值范围为 1=1 或 2=一 1下面求 A 的特征向量当 1=1 时，由(EA)x=0，即得同解方程组为 故特征向量为1=1，0，0，0，1 T， 2=0，1，0，1，0 T， 3=0，0，1，0，0 T当 2=一 1 时，由(一 E 一 A)x=0，即 得同解方程组为得特征向量为 4=0，1，0，一 1，0 T， 5=1，0，0，0，一 1T25 【正确答案】 取 则
