1、考研数学（数学二）模拟试卷 389 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 时 f(x)是 g(x)的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶而非等价无穷小（D）等价无穷小2 设 f(x)是以 3 为周期的可导函数，且 f(一 1)=1，则（A）一 4 （B） 4 （C）（D）3 设 g(x)可微， f(x)=ln2(1+g(x)+21n(1+g(x)，f(1)=1, ，则 g(1)=（A）1 （B） 0（C） 2 （D）4 微分方程 y一 4y=2cos22x 的特解可设为_（A）Ax+B 1cos4x+B2sin4x（B） A+B1cos4x+B
2、2sin4x（C） B1cos22x+B2sinx22x（D）B 1cos4x+B2sin4x5 设 f(x)，g(x) 二阶可导，又 f(0)=0，g(0)=0 ，f(0)0， g(0)0，令 F(x)=0xf(t)g(t)dt，则（A）x=0 是函数 F(x)的极小值点（B） x=0 是函数 F(x)的极大值点（C） (0，F(0)是曲线 y=F(x)的拐点（D）x=0 不是函数 F(x)的极值点，(0 ，F(0)也不是曲线 y=F(x)的拐点6 定积分 取值（A）为正（B）为负（C）为零（D）的符号无法直接判定7 设 A 是 mn 矩阵，且方程组 Ax= 有解，则（A）当 AX= 有唯一
3、解时必有 m=n（B）当 AX= 有唯一解时必有 r(A)=n（C）当 AX= 有无穷多解必有 mn（D）当 Ax= 有无穷多解必有 r(A)m8 设 则下列矩阵中与 A 合同但不相似的是（A）（B）（C）（D）二、填空题9 已知 是 f(x)当 x1 时的一个原函数，则 1x2f(x)dx=_。10 设方程组 确定隐函数 y=y(x)与 z=z(x)，且 y(1)=1，z(1)=0，则y(1)+2z(1)=_11 曲线 y=xe-x(0x+)绕 x 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积=_.12 设 y=sin4x，则 y(n)=_13 设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，
4、当 x(0，+) 时 f(x)0 且单调上升，x=g(y)为 y=f(x)的反函数，它们满足 0t(x)dx+f(0)f(t)g(y)dy=t3(t0)，则 f(x)的表达式是_14 已知 1=(1，2，一 1)T， 2=(1，一 3，2) T， 3=(4，11，一 6)T矩阵 A 满足A1(0， 2)T，A 2=(5，2) T，A 3=(一 3，7) T，则 A=_?三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义，且满足16 设函数 f(x)在(0，+)内可导， ，且(I)求 f(x)；(II) 求证：f(x)在(0，+) 上有界17 设 b
5、 为常数(I)求曲线 的斜渐近线 l 的方程(II)设 b一 8，L与 1 从 x=1 延伸到 x+之间的图形的面积 A 为有限值，求 b 与 A 的值.18 求凹曲线 y=y(x)，使得曲线上任一点处的曲率 其中 为该曲线在相应点处的切线的倾角，且 cos0，此外曲线在点 (1，1)处的切线为水平直线19 计算二重积分20 设 u=f(2x+3y，z)，其中 f 具有二阶连续偏导数，而 z=z(x，y)是由方程确定并满足 结果用 fi(0，1) ，f ij“(0，1) 表示(i ，j=1，2)?21 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内具有二阶导数，且 f(0)=f(2)=0，f(1
6、)=2, 求证：至少存在一点 (0，2)使得 f()=一 422 设 4 阶矩阵 A=(1,2,3,4)，方程组 Ax= 的通解为(1，2,2，1) T+c(1，一2，4，0) T，c 任意记 B=(3， 2， 1， 一 4)求方程组 Bx=1 一 2 的通解23 设 A 为 n 阶实对称矩阵，满足 A2=E，并且 r(A+E)=kn 求二次型 xTAx 的规范形 证明 B=E+A+A2+A3+A4 是正定矩阵，并求B考研数学（数学二）模拟试卷 389 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 这是考察如下的 型极限，由洛必达法则
7、与等价无穷小因子替换得其中用了下面的等价无穷小因子替换：x0 时 故应选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 注意 f(x)也以 3 为周期，f( 一 1)=f(2)，利用导数可求得极限故应选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 方程右端的非齐次项 f(x)=2cos22x=1+cos4x，齐次方程的特征方程是24=0特征根 1=0， 2=4利用解的叠加原理：相应于非齐次项 f1(x)=1，有形式为 y1*(x)=Ax(1=0 为单特征根) 的特解，A 为待定常数；相应于非齐次项 f2(x)=cos4x，有形式为 y2*(x)=B1cos84x+B2sin4x
8、 的特解， B1，B 2 为待定常数因此，原方程的特解可设为 Ax+B1cos4x+B2singx应选 A5 【正确答案】 C【试题解析】 先求导数 F(x)=f(x)g(x)F(0)=0再求二阶导数 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)F(0)=0于是还要考察 F(x)在 x=0 处的三阶导数：F(x)=f(x)g(x)+2f(x)g(x)+f(x)g(x) F(0)=2f(0)g(0)0因此 (0，F(0) 是曲线 y=F(x)的拐点故应选 C6 【正确答案】 A【试题解析】 令 x2=t，则7 【正确答案】 B【试题解析】 方程组有唯一解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩和增广矩
9、阵(A )的秩相等并且等于未知数的个数 n(也就是 A 的列数)显然 B 正确A 不对，因为唯一解只能推出 mn，不必 m=nC 不对，在方程组有解时，mn 是有无穷多解的充分条件，不是必要条件D 不对，在方程组有解时，有无穷多解的充分必要条件是 r(A)n 8 【正确答案】 D【试题解析】 首先可排除 A，因为 r(A)=2，而 A 矩阵的秩为 1，所以它与 A 不合同两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样(即正，负数的个数对应相等)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同因此应该从计算特征值下手求出E 一 A=(+3)( 一 3)，A 的特征值为 0，一 3，3显然 C
10、中矩阵的特征值也是 0，一 3，3，因此它和 A 相似，可排除BD 两个矩阵中，只要看一个D 中矩阵的特征值容易求出，为 0，一 1，1，因此它和 A 合同而不相似(也可计算出 B 中矩阵的特征值为 0，1，4，因此它和 A 不合同)二、填空题9 【正确答案】 一 2【试题解析】 由题设知 用分部积分法计算定积分，得10 【正确答案】 一 2【试题解析】 将题设两个方程分别对 x 求导数，得 将x=1，y(1)=1，z(1)=0 代入，即得11 【正确答案】 【试题解析】 所求体积为12 【正确答案】 【试题解析】 先分解由归纳法，有13 【正确答案】 f(x)=x 2(x0)【试题解析】 先
11、化简题设方程的左端式子，有14 【正确答案】 【试题解析】 用条件可建立一个关于 A 的矩阵方程：用初等变换法解此矩阵方程：三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 (I)题设中等式左端的极限为 1。型，先转化成17 【正确答案】 (I)先求 l 的斜率 k：再求 l 的截距：所以渐近线 l 的方程是 y=2x 一4( )图形的面积18 【正确答案】 由题意知19 【正确答案】 D 如图(1)所示因被积函数分块表示，要分块积分以 y 一 x=为分界线将 D 分成上、下两部分，分别记为 D1 与 D2，D=D 1D2，见图(2)在 D1中，yx2，
12、；在 D2 中，0y z，于是20 【正确答案】 u 与 x，y 的变量依赖关系如图，其中 z 与 x，y 的函数关系由以下方程确定： 由 u=f(2x+3y， z)，有21 【正确答案】 按题设可把函数 f(x)在 x=1 处展开为泰勒公式，得22 【正确答案】 首先从 Ax= 的通解为(1，2，2，1) T+c(1，一 2，4，0) T 可得到下列信息： Ax=0 的基础解系包含 1 个解，即 4 一 r(A)=1，得 r(A)=3即r(1,2,3,4)=3 (1，2，2，1) T 是 Ax= 解，即 1+22+23+4= (1，一2，4，0) T 是 Ax=0 解，即 1 一 22+43
13、=0 1， 2， 3 线性相关，r( 1,2,3)=2 显然 B(0，一 1，1，0) T=1 一 2，即(0 ，一 1，1，0) T 是 Bx=1 一 2 的一个解 由，B=( 3， 2， 1， 一 4)=(3， 2， 1， 1+22+23)，于是 r(B)=r(3， 2， 1， 1+22+23)=r(1， 2， 3)=2 则 Bx=0 的基础解系包含解的个数为 4 一 r(B)=2 个 1 一 22+43=0 说明(4，一 2，1，0) T 是 Bx=0 的解；又从B=(3， 2， 1， 1+22+23)容易得到 B(一 2，一 2，一 1，1) T=0，说明(一 2，一2，一 1，1)
14、T 也是 Bx=0 的解于是 (4，一 2，1，0) T 和(一 2，一 2，一 1，1) T 构成 Bc=0 的基础解系 Bx= 1 一 2 的通解为： (0，一 1，1，0) T+c1(4，一 2，1，0)T+c2(一 2，一 2，一 1，1) T，c 1，c 2 任意23 【正确答案】 由于 A2=E，A 的特征值九应满足 2=1，即只能是 1 和一1于是 A+E 的特征值只能是 2 和 0A+E 也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵A，A 的秩等于 r(A+E)=k于是 A+E 的特征值是 2(k 重)和 0(n 一 k 重)，从而 A 的特征值是 1(k 重) 和一 1(nk 重) A 的正，负关系惯性指数分别为 k 和 n 一k，x TAx 的规范形为 y12+y22+yk2 一 yk+12一 yn2 B 是实对称矩阵由A2=E，有 B=3E+2A，B 的特征值为 5(k 重)和 1(n 一 k 重)都是正数因此 B 是正定矩阵
