1、考研数学（数学二）模拟试卷 397 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 ( )（A）（B）（C）（D）2 设 f(x)=x4sin +xcosx(x0)，且当 x=0 时，f(x)连续，则 ( )（A）f(0)=0，f(x)在 x=0 处不连续（B） f(0)=0，f(x)在 x=0 处连续（C） f(0)=1，f(x)在 x=0 处不连续（D）f(0)=1，f(x)在 x=0 处连续3 设函数 z=z(x，y)由方程 F( )=0 确定，其中 F 为可微函数，且 F20则 x= ( )（A）x（B） y（C） z（D）04 设 f(x)= 则在区间
2、(1，1) 内 ( )（A）f(x)与 g(x)都存在原函数（B） f(x)与 g(x)都不存在原函数（C） f(x)存在原函数， g(x)不存在原函数（D）f(x)不存在原函数， g(x)存在原函数5 下列反常积分发散的是 ( )（A）（B）（C）（D）6 设 f(x，y)= 则在点 O(0，0)处， ( )（A）偏导数存在，但函数不连续（B）偏导数不存在，但函数不连续（C）偏导数存在，函数连续，但函数不可微（D）函数可微7 设 A 是 n 阶矩阵，(E+A)x=0 只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是( )（A）AE ；A+E（B） AE；(A+E) 1 （C） AE；(A+E) *（D
3、）AE ；(A+E) T8 设向量组(I) 1， 2， 3， 4 线性无关，则和()等价的向量组是 ( )（A） 1+2， 2+3， 3+4（B） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（C） 1 2， 2+3， 3 4， 4+1（D） 1， 1 2， 2 3， 3 4， 4 1二、填空题9 =_10 已知 存在且不为零，其充要条件是常数P=_，此时该极限值为 _11 =_12 微分方程 y+ =xey 的通解是 y=_13 dx=_14 设 A，B 是两个相似的 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵且 A 有特征值 1，B 有特征值 2，3则行列式A *BA 1 =_三、解答题解答应写出文字说
4、明、证明过程或演算步骤。15 ()设 0 x+ ，证明存在 ，01，使 ；( )求出()中 关于 x 的具体函数表达式 =(x)，并求出当 0x+时，函数 (x)的值域16 计算定积分 arctan dx(常数 a0)17 设 z=z(x，y)是由方程 x2+2yz=e z 所确定，求18 (I)设 k 为正整数，F(x)= et4 dt+ dt，证明： F(x)存在唯一的零点，记为 xk；() 对于 ()中的 xk，证明： 存在，且其极限值小于 219 设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时，z= 满足 x +2y，求 z 的表达式20 设当 x1，1时，f(x)连续，F(x)
5、= xtf(t)dt，x1，1(I)若 f(x)为偶函数，证明：F(x)也是偶函数；()若 f(x)0(当1x1)，证明：曲线 y=F(x)在区间 1，1上是凹的21 ()计算 tsint dt，其中 n 为正整数；()求 tsint dt 22 设 A33=(1， 2， 3)，方程组 Ax= 有通解 k+=k(1，2，3) T+(2，1，1) T，其中 k 是任意常数证明： ()方程组( 1， 2)x= 有唯一解，并求该解； ()方程组( 1+2+3+， 1， 2， 3)x= 有无穷多解，并求其通解23 设 A= ，X 是 2 阶矩阵( )求满足 AXXA=0 的所有 X；()问AXXA=E
6、 是否有解，其中 E 是 2 阶单位矩阵，说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 397 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 作积分变量代换 u=xt，而故原式=12 【正确答案】 A【试题解析】 f(0)= f(x)=0，f(x)=4x 3sin +cosxxsinx (x0)，f(0)=1；f(x)=12x 2sin 2sinxxcosx (x0)，f(0)=0 但 f(x)不存在，所以选(A)3 【正确答案】 C【试题解析】 两边对 x 求偏导数，得 解得再将原式两边对 y 求偏导数，得 解得于是4 【正确答案】 D【试题
7、解析】 g(x) 在(1，1) 内连续，所以存在原函数，f(x) 在 x=0 处为第一类间断点，所以不存在原函数(如果 F(x)是 f(x)在区间(1，1)内的一个原函数，f(x)=F(x)，而 f(x)在 x=0 处为第一类间断点，而作为导函数 F(x)来说，是不可能存在第一类间断点的)5 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项(A)，式(*)中两个积分只要有一个发散，就说明该积分发散，所以 dx 发散故应选(A)6 【正确答案】 D【试题解析】 f(x，y)x 2+y2，令(x，y)(0 ，0)，由夹逼定理有 f(x，y)=0=f(0，0)，故(A) 不正确 同理(0， 0)=0故(B)
8、不正确考虑点 O(0，0) 处的f，f=f(0+ x，0+ y)f(0，0)=(x)2+(y)2sin按可微定义，f(x，y)在点(0，0)处可微故应选 (D)7 【正确答案】 D【试题解析】 由于(E+A)x=0 只有零解，知 r(E+A)=n，所以存在(E+A) 1且E+A0 因 (A+E)(AE)=A 2E=(A E)(A+E)， (*) 故 A+E，AE 可交换，故(A)成立 (*)式两边各左、右乘(A+E) 1 ，得 (A E)(A+E) 1 =(A+E)1 (AE)， (*) 故(A+E) 1 ，A E 可交换，故(B)成立 (*)式两边乘A+E(数)，得 (A E)(A+E)*=
9、(A+E)*(AE)， 故(A+E) *，AE 可交换，故(C)成立 由排除法知，应选(D) ，即(A+E) T，AE 不能交换8 【正确答案】 D【试题解析】 两个向量组可以相互表出 两个向量组等价两个向量组等价 等秩，但反之不成立，等秩不一定等价(但不等秩必不等价)用排除法 1， 2， 3， 4 线性无关，则 r(1， 2， 3， 4)=4(A)：只有 3 个向量r( 1+2， 2+3， 3+4)3()和(A)不等价(B)：因( 1+2)( 2+3)+(3+4)( 4+1)=0向量组(B)线性相关r( 1+2， 2+3， 3+4， 4+1)3故()和(B)不等价(C) ：( 1 2)+(2
10、+3)( 3 4)( 4+1)=0，向量组(C) 线性相关r( 1 2， 2+3， 3 4， 4+1)3()和(C)也不等价由排除法知，应选(D)二、填空题9 【正确答案】 e 2【试题解析】 而所以原极限=e 2 10 【正确答案】 【试题解析】 作积分变量代换，令 ，从而上述极限存在且不为零的充要条件是 p= 此时，该极限值等于 11 【正确答案】 e 2【试题解析】 所以原式=e 2 12 【正确答案】 y=ln ，其中 C 为任意常数【试题解析】 将 y+ ey=x，13 【正确答案】 2【试题解析】 用万能代换，令 tan =t，有 dx=2( 1)=214 【正确答案】 【试题解析
11、】 由于 AB，则 A，B 有相同的特征值1=1， 2=2， 3=3A *BA 1 =AA 1 B A1 =A 1 (A B E) =A B EA 1 ，其中 A= 123=6， A1 = 6B 有特征值6，12，18，则 6BE 有特征值 5，11，17故 A *BA 1 =51117三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 取 f(x)= ，由拉格朗日中值定理有 f(x+1)f(x)=f()(x+1x) ，即 其中 xx+1，=x+，01() 由()有 两边平方 x+1+x+2 =4(x+)，所以 (x)在区间(0，+)上严格单调增加又 所以值域为16 【
12、正确答案】 用分部积分法，有17 【正确答案】 将 x2+2yz=e z 两边对 x，y 分别求偏导数，得 2x即 将 对 y 求偏导数，其中 z 应看做 x，y 的函数，有18 【正确答案】 ()F(0)= dt0，故至少存在一个零点又 F(x)=ex4 + .kekx0，故至多存在一个零点所以F(x)有且仅有一个零点，记为 xk，且 0x k ()2由单调有界定理知 存在，且极限值小于 219 【正确答案】 记 u=，于是上式成为常微分方程 f(u)+ f(u)=u解得 f(u)=u3+C)，则 z= +C，其中 C 为任意常数20 【正确答案】 () 设 f(x)为连续的偶函数，则 F(
13、x)= x+t f(t)dt = xuf(u)du=F(x)所以 F(x)也是偶函数()F(x)= (tx)f(t)dt =x f(t)dt，F(x)= f(t)dt+xf(x) = f(t)dt，F(x)=f(x)+f(x)=2f(x) 0所以曲线 y=F(x)在区间1，1 上是凹的21 【正确答案】 () tsintdt = (1) k(tcost+sint) = (1) k(k+1)( 1)k+2+k(1) k = (1+2n1)n=n 2()设 nxn+1，有 nx(n+1)于是tsintdt 即 当 x+ 时， n ，由夹逼定理得tsintdt=22 【正确答案】 由题设条件( 1，
14、 2， 3)x= 有通解 k(1，2，3) T+(2，1，1)T，知 r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3，)=2 (*) 1+223 1=0， (*) =(k+2) 1+(2k1)2+( 3k+1)3， (*) 其中 k 是任意常数()由(*)式得 3= (1+22)，知1， 2 线性无关 (若 1， 2 线性相关，又 3= (1+22)，得 r(1， 2， 3)=1，这和(*)式矛盾)由(*) 式知 1， 2 是向量组 1， 2， 3 及 1， 2， 3， 的极大线性无关组，从而有 r(1， 2)=r(1， 2，)=2，方程组( 1， 2)x= 有唯一解 由(*)式取 的系数3k+1=
15、0 ，即取 k= 2，即( 1， 2)x= 的唯一解为 =() 因 r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3，)=r( 1+2+3+， 1， 2， 3)=r(1+2+3+， 1， 23， )=2，故方程组( 1+2+3+， 1， 2， 3)x= 有无穷多解，且其通解形式为 k11+k22+*，其中 1， 2 为对应的齐次方程组的基础解系，*为方程组的特解，k 1，k 2 为任意常数 由式(*) 1+223 3=(1， 2， 3)=0， 得 (1+2+3+， 1， 2， 3) 在(*)式中取k=0，有 21 2+3=(1， 2， 3) =， 则得 ( 1+2+3+， 1， 2， 3)观察得( 1+2+3+， 1， 2， 3) 故方程组( 1+2+3+， 1， 2， 3)x= 的通解为 k 11+k22+*=k11+k2(1 2)+1 =k1(0，1，2，3) T+k2(1 ，3，0，2) T+(0，2，1 ，1) T， 其中 k1，k 2 为任意常数23 【正确答案】 () 设 X= ，则得 系数矩阵解得x4=K，x 3=3L，x 2=2L，x 1=K3L，故 X= ，其中 K，L 是任意常数( )由()知 AXXA=E 可写为 第 1 个方程和第 4 个方程是矛盾的，故 AXXA=E 无解
