1、考研数学（数学二）模拟试卷 399 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则( )（A）（B） a=0，b=一 2（C）（D）a=1 ，b=一 22 设 ，则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但 f(x)在 x=0 处不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 处连续3 有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 r，则液体对薄板的侧压力为( )（A） ra2b（B） ra2b（C） rab2（D） rab24 下列广义积分发散的是( )（A）（B）（C）（D）
2、5 函数 u=sinxsinysinz 满足 的条件极值为( ) （A）1（B） 0（C） 16（D）186 已知函数 y=f(x)对一切 x 满足 xf“(x)+3xf(x)2=1 一 e-x若 f(x0)=0(x00)，则( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极小值（C） (x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点7 设 ，其中 A 可逆，则( ) （A）A 一 1P1P2（B） P1A 一 1P2（C） P1P2A 一 1（D）P 2A 一 1P18 设
3、A=1,2,3,4，且 1=1，1，1，1 T， 2=0，1，0，1 T 是齐次线性方程组Ax=0 的基础解系，则( )（A） 1， 3 线性无关（B） 2， 4 线性无关（C） 4 能被 2， 3 线性表示（D） 1,2,3 线性无关二、填空题9 =_10 设 =_.11 如果 则 x=_12 设 u=u(x，y)是方程 u+eu=xy 所确定的二元函数，则 =_.13 已知区域 D 为 x2+y21，则 =_.14 已知三阶矩阵 A 的三个特征值为 1，2，3，则(A -1)*的特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)处处连续，并满足关系式 求16
4、 求 其中 ba016 设函数 f(x)在区间0， 1上连续，在(0，1)内可导，且试证：17 存在 使 f()=18 对任意实数 ，必存在 (0，)，使得 f()一 f()一 =119 (I)证明 ()设 f(x)是a ，b上的正值连续函数，证明 其中 D=(x，y)axb ，ayb)20 设函数 f(x)在闭区间0，1上可微，且满足 (0，1)为常数求证：在(0，1) 内至少存在一点 ，使 f()=一 f().20 设 f(x)在a，b上可导，在(a，b) 内二阶可导，f(A)=f(B)=0，f(A)f(B)0试证：21 存在 (a，b) ，使 f()=0；22 存在 (a，b)，使 f(
5、)=f()23 设 f(x)在a，b上有二阶导数，且 f(x)0证明24 已知向量组(I)能由向量组( )线性表出，且秩(I)=秩()，证明：向量组(I)与向量组( )等价24 设二次型 f(x1，x 3，z 3)=x12+x22+x322x 1x2 一 2x1x3+2ax2x3 通过正交变换化为标准形 f=2y12+2y22+y3225 求常数 ， 及所用正交变换矩阵 Q26 若 XTX=3，求 f 的最大值考研数学（数学二）模拟试卷 399 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 (用到等价无穷小代换 xln(1+x)x 2
6、2 (x0)当 a 一 1=0 时，仅 A 入选2 【正确答案】 D【试题解析】 所以f(x)在 x=0 处可导，且 f(x)在 x=0 处连续仅 D 入选3 【正确答案】 B【试题解析】 取坐标系如右图所示椭圆方程为 在小区间x，x+dx上对应的小横条薄板，液体对应的压力为于是液体对薄板的侧压力为仅 B 入选4 【正确答案】 C【试题解析】 因而 C 中积分发散5 【正确答案】 D【试题解析】 仅 D 入选设由式与式 得到tany=tanm，由式 与式得 tanz=tany因而 tatar=tany=tanz，而 ，故 x=y=z因而 为条件极值点于是所求的条件极值为6 【正确答案】 B【试
7、题解析】 将 x=x0 代入所给方程，利用 f(x0)=0 得到当 x00 时，有 f(x0)0，当 x00 时，也有 f(x0)0，且 x=x0 为 f(x)的驻点，故 x0 为 f(x)的极小值点仅 B 入选7 【正确答案】 C【试题解析】 即 B=AP 2P1，故 B 一 1=(AP2P1)一1=P1 一 1P2 一 1A 一 1=P1P2A 一 1，其中用到初等矩阵的性质：P 1 一 1=P1，P 2 一 1=P2仅C 入选8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2 为齐次线方程组 Ax=0 的基础解系，可知基础解系含有n 一 r=2 个向量，其中 n=4 为齐次方程组未知量的个
8、数，r 为系数矩阵 A 的秩，所以 r=n 一 2=2因此 A=1,2,3,4中任意 3 个向量都线性相关，故 D 不正确由A2=0 得 2+4=0，可见 2， 4 线性相关，故 B 不正确再由 2+4=0 可知， 4 可以被 2 线性表示，则 4 可被 2， 3 线性表示，故 C 正确由 A1=0，得 1+2+3+4=0 又由 A2=0 得 2+4=0，所以 1+3=0于是 1， 3 线性相关，故 A 不正确仅 C 入选二、填空题9 【正确答案】 利用一阶微分形式不变性求之10 【正确答案】 ，因 x，y 互换，xy 不变，所以 f(x，y)具有对称性，故得到 同理，由 及对称性得到 而，故
9、11 【正确答案】 12 【正确答案】 对等式 u+eu=xy 两边求微分，得 d(u+eu)=dxy，du+de u=ydx+xdy，即 du+e udu=ydx+xdy，13 【正确答案】 14 【正确答案】 设 A 的特征值为 i，则 A 一 1 的特征值为 ，则(A 一 1)*的特征值为 因A=1.2.3=6，故(A 一 1)*的三个特征值分别为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 令 (x)=f(x)-x，则 (x)在0，1上连续，又故由介值定理知，存在 ，使得 ()=f()-=0，即 f()=18 【正确答案】
10、 设 F(x)=e -x(x)=e-xf(x)一 x， 则 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 F(0)=0，F()=e -k()=0， 即 F(x)在0，上满足罗尔定理的条件，故存在 (0，)，使得 F()=0，即 e -f()f() 一 一 1=0，从而 f()f()一=L19 【正确答案】 (I)令 f(x)=ex，则 f(x)=ex(x)=ex0因而 y=f(x)的图形是凹的，由其定义得到 ()因积分区域 D 为正方形：axb，ayb，关于 x 与 y 具有轮换对称性，所以20 【正确答案】 令 F(x)=xf(x)，显然 F(x)在0，1上可微应用积分中值定理得又 F( 1)
11、=1f(1)， 则 F( 1)=F(1)于是对 F(x)在 1，1上应用罗尔定理知，至少存在 (1，1)c(0 ，1) ，使得21 【正确答案】 由 f(A)f(B)0 知，f(A)与 f(B)同号，不妨设 f(A)0，f(B)0， 又由极限的保号性知，存在x1(a，a+ 1)，使得 f(x1)0；同理存在 x2(b 一 2，b)，得 f(x2)0由连续函数的介值定理(零点定理) 知，存在 (x1，x 2)c(a，b)，使得 f()=022 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，则 (A)=()一 (B)=0 由罗尔定理知，存在a(a，)，使 ( 1)=eXf(x) x=0， 即 f( 1)
12、+f(1)=0 同理，存在 2(，b)，使 (2)=e2f(2)+f(2)=0， 即 f( 2)+f(2)=0 再令 F(x)=e -x(f(x)+f(x)， 则 F( 2)=F(2)=0 对 F(x)在 1， 2上应用罗尔定理知，存在 (1， 2)C(a，b)，使得 F(x) x=一 e-xf(x)+f(x)+e-xf(x)+f(x)x= =e-xf(x)f(x) x=0，即 F()一 e-f()一 f()=0，亦即 f()=f()23 【正确答案】 用泰勒公式证不等式，可按下述步骤进行：(1)先写出比题设条件低阶的函数 f(x)的泰勒展开式，即在点 x0(a，b)处展成一阶泰勒公式：(2)
13、恰当选择上式右边的x0因待证的不等式中出现 是恰当的将 代入上式，得到 (3)利用题设给出的高阶导数的大小或界对上述展开式进行放缩24 【正确答案】 设秩(I)=秩()=r，且 1,2 r，与 12 r 分别为组(I)和组()的极大线性无关组 作向量组() ： 1,2 r， 12 r下证 1,2 r与 12 r 均为组()的极大线性无关组 因组(I)能由组( )线性表出，故1,2 r，也能由 12 r 线性表出，从而组()能由 12 r 线性表出，又 12 r 线性无关，故 12 r 为组()的一个极大线性无关组，从而秩()=r，所以组( )中的 r 个线性无关的向量组也是组( )的一个极大线
14、性无关组，又因同一向量组中的极大线性无关组必等价，故 1,2 r 与 12 r 等价 显然组(I)与 1,2 r 等价，组()与 12 r 等价，故组(I) 与组()必等价(等价的传递性)25 【正确答案】 所给二次型及对应标准形的矩阵分别为因 1=2=2 是 A 的特征值，将其代入A 一E =0 中易求得 a=一 1。又因 AB，由相似矩阵的性质得到2+2+=a11+a22+a33=1+1+1=3，则 =一 1于是 A 的三个特征值为 1=2=2， 3=一1解(A 一 2E)X=0，求出 A 的属于 1=2 的特征向量因由基础解系的简便求法得到 1=(一 1，1，0)T， 2=(一 1，0，1) T利用施密特正交化的方法将属于二重特征值 =2 的特征向量正交化(因 1， 2 不正交)为此，令 1=1， 再单位化： 解A 一(一 1)EX=(A+E)x=0 求出 A 的属于特征值 3=一 1 的特征向量因由基础解系的简便求法即得所求特征向量3=(1， 1，1) T，单位化得到 则所用的正交变换矩阵为26 【正确答案】 因正交变换不改变线段长度，故 YTY=XTX=3，则 f=2y12+2y22 一y322(y32+y22+y32)=YTY=23=6因此 f 在 XTX=3 的条件下，其最大值为 6
