1、考研数学（数学二）模拟试卷 416 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f() 0sinsint2dt，g() 3 4，当 0 时，f()是 g()的( ) 。（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 f()满足： 0，f() 2f2()1e -2且 f()二阶连续可导，则( )（A）0 为 f()的极小值点（B） 0 为 f()的极大值点（C） 0 不是 f()的极值点（D）(0 ，f(0) 是 yf() 的拐点3 设 f() ，则 f()有( )（A）两个可去间断点（B）两个无穷间断点（C）一个可去间断点，
2、一个跳跃间断点（D）一个可去间断点，一个无穷间断点4 设 f(，y) 则 f(，y)在(0，0)处( )（A）不连续（B）连续但不可偏导（C）可偏导但不可微（D）可微分5 考虑二元函数 f(，y)在点( 0，y 0)处的下面四条性质： 连续 可微 f(0，y 0)与 fy(0，y 0)存在 f(，y)与 fy(， y)连续若用“P Q”表示可由性质P 推出性质 Q，则有( )（A）（B）（C）（D）6 设 yy()是微分方程 y(1)y 2ye 满足初始条件 y(0)0，y(0)1 的解，则 为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）37 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（
3、A）若 A2B 2，则 AB（B）矩阵 A 的秩与 A 的非零特征值的个数相等（C）若 A，B 的特征值相同，则 AB（D）若 AB，且 A 可相似对角化，则 B 可相似对角化8 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）设 r(A)r，则 A 有 r 个非零特征值，其余特征值皆为零（B）设 A 为非零矩阵，则 A 一定有非零特征值（C）设 A 为对称矩阵，A 22A，r(A)r ，则 A 有 r 个特征值为 2，其余全为零（D）设 A，B 为对称矩阵，且 A，B 等价，则 A，B 特征值相同二、填空题9 设 ，则 a_，b_10 曲线 在 t0 对应点处的法线方程为 _11 设 y
4、y()由 1y 确定，则 _12 _13 微分方程 y3y2y2e 满足 1 的特解为_14 已知三阶方阵 A，B 满足关系式 EBAB，的三个特征值分别为 3，3，0，则B -12E_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f()二阶可导，且 f(0)0，令 g() ()确定 a 的取值，使得 g()为连续函数； ()求 g()并讨论函数 g()的连续性16 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导(0ab )证明：存在 ，(a ，b) ，使得17 设 f()连续且 f(0)0，f(0) 2，求极限 18 计算积分 2y2ddy，其中 D 是由直线 y2，y0， 2
5、 及曲线 了所围成的区域19 过点 P(0， )作抛物线 y 的切线，该切线与抛物线及 轴围成的平面区域为 D，求该区域分别绕 轴和 y 轴旋转而成的体积20 求 z 22y 224 在区域 24y 24 上的最小值和最大值21 设曲线 yy()过(0，0)点，M 是曲线上任意一点， MP 是法线段，P 点在 X 轴上，已知 MP 的中点在抛物线 2y2 上，求此曲线的方程22 设 A 是三阶实对称矩阵，存在可逆矩阵 P ，使得 P -1AP，又 且 A* ()求常数 a，b 的值及 ()求A *3E 23 设 A 为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵 Q ，使得 QTAQ，又令 BA 22E，求
6、矩阵 B考研数学（数学二）模拟试卷 416 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为 B2 【正确答案】 A【试题解析】 由 0 得 f(0)0，f(0) 0 当 z0 时，由 f() 2f2()1e -2得，f()f 2() ， 再由 f()二阶连续可导得 f (0)20， 故 0 为 f()的极小值点，选A3 【正确答案】 C【试题解析】 显然 0，1 为 f()的间断点由 f(00)f(00)0，得 0为 f()的可去间断点； 由 f(10)f(10) ，得 1 为 f()的跳跃间断点，故选 C4 【
7、正确答案】 C【试题解析】 当(，y)(0，0)时，0f( ，y) . ， 由迫敛定理得 f(，y) 0f(0 ，0)，从而 f(，y)在(0，0)处连续，选项 A 不对； 由0 得 f(0，0)0， 由0 得 fy(0，0)0，B 项不对； 令 ， 因为不存在， 所以 f(，y)在(0，0)处不可微分，选项 D 不对，故选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(，y) 一阶连续可偏导，则 f(， y)在( 0，y 0)处可微，若 f(，y)在( 0，y 0)处可微，则 f(，y) 在( 0，y 0)处连续，故选 B6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y(0)0，y(0) 1，所以由
8、 y(1)y 2ye 得 y(0)2， 从而1，故选 B7 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB 得 A，B 的特征值相同，设为 1， 2， n，且存在可逆矩阵 P1，使得 P1-1AP1B，即 AP 1BP1-1； 因为 A 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P2，使得 P2-1AP2 ， 即 AP 2 P2-1，于是有 P 1BP1-1P 2 P2-1，或 P2-1P1BP1-1P2 ， 取 PP 1-1P2，则 P-1BP ，即 B 可相似对角化故选 D8 【正确答案】 C【试题解析】 取 A ，显然 A 的特征值为 0，0，1，但 r(A)2，(A)不对； 设 A ，显然 A 为非零矩
9、阵，但 A 的特征值都是零，B 项不对； 两个矩阵等价，则两个矩阵的秩相等，但特征值不一定相同，D 项不对；故选 C 事实上，令 AXX，由 A22A 得 A 的特征值为 0 或 2，因为 A 是对称矩阵，所以 A 一定可对角化，由 r(A)r 得 A 的特征值中有 r 个 2，其余全部为零二、填空题9 【正确答案】 a 1，b 2【试题解析】 由， 即ab3； 由 ， 即 ab1 ； 解得 a 1，b 210 【正确答案】 y【试题解析】 当 t0 时，3，y1， ， 而0，将 t0 代入得 e，于是切线的斜率为 ， 于是法线为y1 (3)，即法线方程为 y 11 【正确答案】 【试题解析】
10、 由 得 1y 取0 代入得 1y，解得 y1 1y 两边对 求导得 ，从而 ； 两边再对 求导得， 从而 12 【正确答案】 f(，y)d【试题解析】 二重积分的积分区域为 D(，y) 1y1y 2，0y1 ， 则13 【正确答案】 y3e 3e 22e 【试题解析】 特征方程为 23 20，特征值为 11， 22，y3y2y0 的通解为 yC 1eC 2e2 令原方程的特解为 y0()Ae ，代入原方程为 A2，原方程的通解为 yC 1eC 2e2 2e 由 1 得 y(0)0，y(0) 1，代入通解得 C13，C 23，特解为 y3e 3e 22 14 【正确答案】 8【试题解析】 因为
11、 A 的特征值为 3，3，0，所以 AE 的特征值为2，4，1，从而 AE 可逆，由 EBAB 得 (AE)BE，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B 的特征值为 ，1，B -1 的特征值为 2，4，1，从而 B-12E 的特征值为 4，2，1，于是B -12E8三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () f(0)，当 af(0)时，g()在 0 处连续 ()当 0 时，g() ， 当 0 时，所以 g()在 0 处连续16 【正确答案】 令 g()cos， g() sin0(a b)， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得(盘，6)，使得 ； 令 h()sin
12、，h()cos0(a b)， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 17 【正确答案】 由 0f(t)dt 0f(t)d( t) 0f(u)du 0f(u)du 再由得 0f(t)dt 2，18 【正确答案】 令 D1(，y)20，0y2， D2(，y) 0，0y2 ，19 【正确答案】 设切点为(a， )， 由 ，解得a3， 则切线方程为 y (0)，即 y (1)20 【正确答案】 当 24y 24 时， 由 ，且z( 1，0)3； 当 24y 24 时， 令 (0t2)， 则 z4cos 2t 一2sin2t 4cost46cos 2t4cost2 ， 当 cos 时，zmin ；当
13、cost1 时，z max12， 故 z 22y 22 4 在 24y 24 上的最小值为 ，最大值为 1221 【正确答案】 设 M(，y)，则法线方程为 Yy (X) 令 Y0 得Xyy，于是 P 点坐标为(yy，0) MP 的中点坐标为 ， 它位于给定的抛物线上，于是有方程 y2yy2，即 2y 24 ，所以y2e-22e -2e -2C 由 y(0)0 得 C1，所求曲线方程为 y212e 222 【正确答案】 ()A 的特征值为 11， 22， 31， 令显然A1 1，A 22 2，A 3 3， 即 1， 2， 3 为分别属于11， 22， 31 的特征向量， 因为 A 是实对称矩阵
14、，所以 解得 a，b 2 A *的特征值为 2， 由 3得 是矩阵 A 的属于特征值 31 的特征向量，从而 是 A*的属于特征值 2 的特征向量，即 2 ()A *3E 的特征值为 1，2，5，则A *3E1023 【正确答案】 由 QTAQ 得 A 的特征值为12， 21， 31，且 12 对应的特征向量为考 1 由 ATA 得BT (A22E) T(A 2)T2E A 22E B ，即 B 为实对称矩阵 显然 B 的特征值为16， 2 33，且 B 相应于特征值 16 的特征向量为 1 设 B 的相应于 2 33 的特征向量为 ，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征 向量正交，所以 1T0，即 1 2 30，于是 B 的相应于特征值 2 33 的线性无关的特征向量为 2
