1、考研数学（数学二）模拟试卷 437 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列反常积分收敛的是( )2 设 f(x)连续，且 =2，则下列结论正确的是 ( )（A）f(1)是 f(x)的极大值（B） f(1)是 f(x)的极小值（C） (1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(1)不是 f(x)的极值，但(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点3 设 f(x)在a，+)内二阶可导， f(A)=A0，f(A)0，f“(x)0(xa)，则 f(x)在a， +)内( )（A）无根（B）有两个根（C）有无穷多个根（D）有且仅有一个根4 下列结论正确的是
2、( ) （A）若 f(x)可导且单调增加，则 f(x)0（B）若 f(x)，g(x) 皆可导且 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)（C）若 f(x)，g(x) 皆可导且 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)（D）若 f(x)0，则 f(x)单调增加5 设 t0，则当 t0 时，f(t)= 1cos(x 2+y2)dxdy 是 t 的 n 阶无穷小量，则n 为( )（A）2（B） 4（C） 6（D）86 设 y1(x)，y 2(x)是微分方程 y“+py+qy=0 的解，则由 y1(x)，y 2(x)能构成方程通解的充分条件是( ) （A）y 1y2y 1y2=0（B） y1y2y 1y2
3、0（C） y1y2+y1y2=0（D）y 1y2+y1y207 设 A 为三阶矩阵， 为非齐次线性方程组的解，则( ) （A）当 t2 时，r(A)=1（B）当 t2 时，r(A)=2（C）当 t=2 时，r(A)=1（D）当 t=2 时，r(A)=28 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)， 令向量组()： 1， 2， ， n；()： 1， 2， n；()： 1， 2， n，若向量组() 线性相关，则 ( )（A）向量组() 与向量组 () 都线性相关（B）向量组()线性相关（C）向量组()线性相关（D）向量组() 与()至少有一个线性
4、相关二、填空题9 设 y=y(x)由 2xy= 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应的点处的切线为_10 11 设 f(x)为连续函数，且 x2+y2+z2=xyf(x+yt)dt，则 =_12 摆线 (a0，0t2) 绕 x 轴旋转一周所成曲面的表面积为_13 微分方程 xy= +y(x0)的通解为_14 设 A 为三阶矩阵，其特征值为 1=2， 2=3=1，其对应的线性无关的特征向量为 1， 2， 3，令 P=(41， 2 3， 2+23)，则 P1 (A*+3E)P 为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，1上连续可导， f(1)=0， 01x
5、f(x)dx=2，证明：存在 0，1，使得f()=416 设()求 f(x)；()若 f(0)=0，求17 设 连续，且 x2+y2+z2=xy(x+yt)dt，求18 设 f(x)，g(x) 满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e xf(x)，又 f(0)=0，g(0)=2，求19 设 y=f(x)= ()讨论 f(x)在 x=0 处的连续性；()求 f(x)的极值点与极值20 计算 ，其中 D： x2+y2a221 现有两只桶分别盛有 10 L 浓度为 15 gL 的盐水，现同时以 2 Lmin 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2 Lmin 的速度注入第二只桶中，然后以2 Lm
6、in 的速度从第二只桶中排出，问 5 min 后第二只桶中含盐多少克 ?22 设方程组 有无穷多解，矩阵 A 的特征值为1=1， 2=1， 3=0，其对应的特征向量为()求 A；()求(A+E)X=0 的通解23 设 =(1， 1，1) T 是 A= 的一个特征向量 () 确定参数 a，b的值及特征向量 所对应的特征值；()问 A 是否可以对角化?说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 437 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =2，所以由极限的保号性，存在 0，当0x1 时，有 0，即
7、当 x(1，1)时，f(x)0；当x(1，1+)时，f(x)0根据极值的定义，f(1)为 f(x)的极小值，选(B)3 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)=f(a)+f(a)(x a)+ (xa) 2，其中 介于 a 与 x 之间因为f(a)=A0， = ，所以 f(x)在a，+)上至少有一个根由 f“(x)0(xa)=f(x)单调不增，所以当 xa 时，f(x)f(a)0=f(x)在a，+)为单调减函数，所以根是唯一的，选(D) 4 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)=x 3 为单调增加的函数， f(x)=3x2，因为 f(0)=0，所以 f(x)0，(A) 不对； 令 f(x)=x
8、，g(x)=2(x 1)，显然 f(x)g(x) ，但 f(x)g(x) ，(B)不对；令 f(x)=2，g(x)=x(x2)，显然 f(x)g(z) ，但 f(x)g(x)，(C) 不对； 由微分中值定理得 f(x2)f(x 1)=f()(x2x 1)，因为 f(x)0，所以 x2x 1 与 f(x2)f(x 1)同号，即 f(x)单调增加，选(D) 5 【正确答案】 C【试题解析】 f(t)= 1cos(x 2+y2)dxdy=02d0tr(1cosr 2)dr=0t(1cosr 2)d(r2)= (1cosr)dr6 【正确答案】 B【试题解析】 y 1(x)，y 2(x)能构成微分方程
9、 y“+py+qy=0 通解的充分必要条件是不是常数，即 0，选(B)7 【正确答案】 A【试题解析】 当 t2 时， 为 AX=0 的两个线性无关的解，从而 3r(A)2，r(A)1 ，又由 A0 得 r(A)1，即 r(A)=1，选(A)8 【正确答案】 D【试题解析】 当向量组()线性相关时，r(A)n，由 r(AB)r(A)得 r(AB)n，即向量组()线性相关；同理，当向量组() 线性相关时，r(B) n ，由 r(AB)r(B)得 r(AB)n ，即向量组()线性相关，选 (D)二、填空题9 【正确答案】 y=2x+1【试题解析】 令 x=0 得 y=1，将 x=0，y=1 代入得
10、=2，故所求的切线方程为 y1=2x，即 y=2x+110 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 x 2+y2+z2=xyf(x+yt)dt 两边对 x 求偏导得 再将 x2+y2+z2=xyf(x+yt)dt 两边对 y 求偏导得12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 由 xy= +y 得解得 arcsinu=lnx+C，原方程的通解为14 【正确答案】 【试题解析】 因为 A 的特征值为 1=2， 2=3=1，所以 A*的特征值为1=1， 2=3=2，A *+3E 的特征值为 4，1，1，又因为 41， 2 3， 2+23 也为A 的线性
11、无关的特征向量，所以 41， 2 3， 2+23 也是 A*+3E 的线性无关的特征向量，所以三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由分部积分，得 01xf(x)dx=xf(x) 01 01f(x)dx= 01f(x)dx=2，于是 01f(x)dx=2由拉格朗日中值定理，得 f(x)=f(x)f(1)=f()(x1)，其中(x，1) ，f(x)=f()(x1)两边对 x 从 0 到 1 积分，得 01f(x)dx=01f()(x1)dx=2 因为 f(x)在0，1上连续，所以 f(x)在01上取到最小值 m 和最大值M，由 M(x1)f()(x1)m(x1)两
12、边对 x 从 0 到 1 积分，得 01f()(x1)dx ，即 m4M，由介值定理，存在 0，1，使得 f()=416 【正确答案】 () 令 r= ，则由已知条件得17 【正确答案】 xy(x+yt)dt yx(u)(du)= xy(u)du，18 【正确答案】 由 f“(x)=g(x)=2exf(x)得 f“(x)+f(x)=2ex，解得 f(x)=C1cosx+C2sinx+ex，由 f(0)=0，f(0)=g(0)=2 得 ，解得 C1=1，C 2=1，故 f(x)=cosx+sinx+e x19 【正确答案】 (1)f(0+0)= =1，f(0)=f(0 0)=1，因为 f(00)
13、=f(0+0)=f(0)=1 ，所以 f(x)在 x=0 处连续(2)当 x0 时，f(x)=2x2x(1+lnx)，令 f(x)=0 得 x= ；当 x0 时，f(x)=1当 x0 时，f(x)0；当 0x 时，f(x)0；当 x 时，f(x) 0，故 x=0 为极大值点，极大值为 f(0)=1；x= 为极小值点，极小值为20 【正确答案】 因为区域 D 关于 y 轴对称，又因为区域 D 关于直线y=x 对称，21 【正确答案】 设 t 时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为 m1(t)，m 2(t)，则有再由 m1(0)=150得 C1=150，故 m1(t)=由 m2(0)=150 得 C2=150，于是，5 分钟后第二只桶含盐 m2(5)= 克22 【正确答案】 () 因为方程组有无数解，所以 =0，解得a=1 或 a=0当 a=1 时，因为 所以方程组有无数个解；23 【正确答案】 () 由 A=，得 ，解得a=3，b=0，=1()由EA=(+1) 3=0，得 =1 是三重特征值因为r(EA)=2，所以 =1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以 A 不可以对角化
