1、考研数学（数学二）模拟试卷 444 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=x0 的某邻域内存在二阶导数，且 则存在点(x0，f(x 0)的左、右邻域 U 与 U+使得 ( )（A）曲线 y= f(x)在 U 内是凹的，在 U+内是凸的（B）曲线 y= f(x)在 U 内是凸的，在 U+内是凹的（C）曲线 y= f(x)在 U 与 U+内都是凹的（D）曲线 y= f(x)在 U 与 U+内都是凸的2 设 y(x)是初值问题 的解，则 0+xy(x)dx= ( )（A）1b+2a（B） 1+b2a （C） 1b2a（D）1+b2a 3 设
2、 f(x)在 x=x0 的某邻域内连续，且在该邻域内 xx0 处 f(x)存在，则的 ( )（A）充分必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分条件而非必要条件（D）既非充分又非必要条件4 设 f(x)在(0，+)内可导，下述论断正确的是 ( )（A）设存在 X0，在区间(X ，+) 内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+) 内亦必有界（B）设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界（C）设存在 0，在(0 ，) 内 f(x)有界，则 f(x)在 (0，)内亦必有界（D）设存在 0，在(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界5 设平
3、面区域 D=(x，y)|(x1) 2+(y1) 22)，I 1 = (x+y)d，I 2= ln(1+x+y) d则正确的是 ( )（A）8I 1I 2（B） I18I 2（C） I1I 28（D）I 28I 16 设 f(x)在a ，b上存在二阶导数，f(a)=f(b)=0，并满足 f(x)+f(x)24f(x)=0则在区间(a，b)内 f(x) ( )（A）存在正的极大值，不存在负的极小值（B）存在负的极小值，不存在正的极大值（C）既有正的极大值，又有负的极小值（D）恒等于零7 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX= x12+5x22+ x324x 1x2+2x2x3，则对任意
4、X0，均有 ( )（A）f(x 1，x 2，x 3)0（B） f(x1，x 2，x 3)0（C） f(x1，x 2，x 3)（D）f(x 1，x 2，x 3)08 设 是 3 阶可逆矩阵，B 是 3 阶矩阵，满足，则 B 有特征值 ( )（A）1，1，4（B） 1，1，4（C） 1，2，2（D）1，2，2二、填空题9 微分方程 xyy=x 的通解是_10 曲线 y=ex 上曲率最大值是_11 _12 _13 设平面区域 D(t)=(x， y)|0xy，0 _14 设 ，其中 abc=6，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*有非零特征值_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求1
5、6 设函数 f(x)在区间(0， +)上可导，且 f(x)0，求 F(x)的单调区间，并求曲线 y=F(x)的凹凸区间及拐点坐标17 设常数 a0，积分 ，试比较 I1 与 I2 的大小，要求写明推导过程18 设 f(x)在闭区间0，1上连续，且 01f(x)dx=0， 01exf(x)dx=0证明在开区间(0，1)内存在两个不同的 1 与 2，使 f(1)=0，f( 2)=019 设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x2y，x+3y)满足求 z=z(u，v)所满足的方程，并求 z(u，v)的一般表达式20 设 D=(x， y)|0x ，0y ，计算二重积分 sin maxx2
6、，y 2d21 求 yy=e |x|满足初始条件 y(1)=0，y(1)=0 的特解21 设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 A 的 3 个不同的特征值，对应的特征向量分别是 1， 2， 3，令 =1+2+3 证明：22 不是 A 的特征向量；23 向量组 ， A，A 2 线性无关23 已知 A，B 均是 24 矩阵，其中 Ax=0 有基础解系 1=( 1，1，2，1)T， 2=(0，3，1，0) T； Bx=0 有基础解系 1=(1，3，0，2) T， 1=(1，2，1，a)T24 求矩阵 A；25 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，求参数 的值及公共解考研数学（数学二）模
7、拟试卷 444 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件推知存在 x=x0 的去心邻域于是知，当曲线是凸的；曲线是凹的，故应选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 y+2y+y=e x 的通解为 y=(C 1+ C1x+Ax2)ex ， 其中 C1，C 2 为任意常数A 为某常数，而线性方程的通解为一切解由此 y=( C2C 1)+(2AC 2)xAx 2ex ， 可见，无论 C1，C 2，A 是什么常数， 0+xy(x)dx 收敛于是由分部积分法和原给的式子 y=ex y2y，可得 0+xy(x)dx=0+xdy(x
8、) = xy(x)| 0+ 0+y(x)dx =00 0+ex y(x) 2y(x)dx =ex +y(x)+2y(x)|0+ =(0+0+0)1+y(0)+2y(0) =1b 2a3 【正确答案】 C【试题解析】 在所述前提及条件 下，由洛必达法则所以的充分条件但不是必要条件，反例如下：设 本例满足本题所说的前提(其中 x0=0)， 却是存在的所以 的必要条件4 【正确答案】 C【试题解析】 对于区间(0，) 内任意的 x，再另取一固定的 x1，有 f(x)f(x 1)=f()(xx 1)， f(x)= f(x 1)+ f()(xx 1)， |f(x)|f(x 1)|+M| xx 1|f(x
9、1)|+M， 所以 f(x)在(0，)内必有界，其中 M 为|f(x)|在(0，) 内的一个上界5 【正确答案】 A【试题解析】 区域 D 如图所示， 由于 D 的面积为 从而可将 8 化成 由于当(x，y)D 时，4x+yln(1+x+y)0，仅在(0，0)或(2，2)处等号成立，所以6 【正确答案】 D【试题解析】 设存在 x0(a，b)，f(x 0)0 且为 f (x)的极大值，于是 f(x0)=0代入所给方程得 f(x0)=4f(x0)0则 f(x0)为极小值矛盾进一步可知不存在c(a，b)使 f(c)0因若不然由于 f(a)=f(b)=0，推知在(a，b)内 f(x)存在正的最大值，
10、同时也是极大值与已证矛盾 类似地可证，f(x)在(a，b) 内取不到负值 于是只能选 D当然，f(x)=0 是满足所给方程的7 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(x1，x 2，x 3)=x12+5x22+x324 x 1x2+2x2x3 =( x12x 2)2+( x2x 3)20 取 x=(x1，x 2，x 3)T 有 f(x1，x 2，x 3)T=0，等号成立 故选 B8 【正确答案】 C【试题解析】 由题设条件得A 是可逆矩阵，故有因相似矩阵有相同的特征值，故 C 和 B 有相同的特征值因为故 B 有特征值为1=1， 2=2， 3=1，故应选 C二、填空题9 【正确答案】 其中 C1
11、，C 2 为任意常数【试题解析】 此为可降阶的 y=f(x，y)型令 y=p，y=p，则原方程化为xpp=x.由一阶线性微分方程通解公式得其中C1，C 2 为任意常数10 【正确答案】 【试题解析】 K 为最大值即11 【正确答案】 【试题解析】 对等号右边第二个积分作积分变量代换，令 x=t，有12 【正确答案】 e【试题解析】 由所以应填 e13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 11【试题解析】 因 abc=6，故 故 r(A)=2， r(A*)=1故 A*有特征值三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 先由所以原式为型再由式(*)，用等价无穷
12、小替换，得16 【正确答案】 由又在 x=1 处 F(x)连续，所以 F(x)在区间(0 ，+)上严格单调增加所以F(1)=0，且当 01 时，F(x)0，曲线 y=F(x)是凹的所以点(1，0)为曲线 y=F(x)上的唯一拐点，且凸区间为(0，1)，凹区间为(1，+)17 【正确答案】 且cosxsinx，于是知 I1I 2，即18 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，有 F(x)=f(x)， F(0)=0，F(1)=0，则 0= 01exf(x)dx=01exdF(x)=exF(x)| 01 01F(x)exdx = 01F(x)exdx 所以存在 (0，1)，使 F()e=0但
13、 e0，所以 F()=0由于已有 F(0)=0 ，F(1)=0 所以根据罗尔定理知，存在 1(0，) ， 2(，1) ，使 F( 1)=0，F( 2)=0 即 f(1)=0，f( 2)=0，其中1(0， )， 2(，1) ，证毕19 【正确答案】 由 z=z(x2y，x+3y)，易知 代入原方程，得 以下求 z 的一般表达式将上式写成 两边对 u 积分，v 看成常数，得 其中 1(v)为 v 的具有连续导数的任意函数再将上式看成 z 对 v 的一阶线性微分方程代入一阶线性微分方程的通解公式，得 由于 1(v)的任意性，记 它表示为 v 的具有二阶连续导数的任意函数(u)为 u 的具有二阶连续导
14、数的任意函数，于是得到 z=z(u，v)的一般表达式为20 【正确答案】 积分区域 D 是一块矩形域，如图所示21 【正确答案】 原方程可化成两个微分方程 分别求解得到 y=C1ex+ C1ex + xex，x0，y=C 3ex+ C4ex xex，x又因为在 x=0 处，y(x)及 y(x)连续，所以故满足初始条件的特解为22 【正确答案】 已知 A=A(1+2+3)=11+22+33 若 是 A 的特征向量，假设对应的特征值为 ，则有 A=(1+2+3)=11+22+33 从而得( 1)1+( 2)2+( 3)3=0 1， 2， 3 是不同特征值对应的特征向量，由定理知1， 2， 3 线性
15、无关，从而得 1=2=3=，这和 1， 2， 3 互不相同矛盾故=1+2+3 不是 A 的特征向量23 【正确答案】 用秩来证，因(，A，A 2)=( 1+2+3， 11+22+33， 121+222+323)所以 C 是可逆矩阵故r(，A，A 2)=r(1， 2， 3)=3因此 ，A，A 2 线性无关(请读者用等价向量组或初等变换自行证明)24 【正确答案】 记 C=(1， 2)，则有 AC=A(1， 2)=0得 CTAT=O即 AT 的列向量(即 A 的行向量) 是 CTx=0 的解向量 解得 CTx=0 的基础解系为 1=(1，0，0，1) T， 2=(7，1，3，0) T故25 【正确答案】 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，则非零公共解既可由 1， 2 线性表出，也可由 1， 2 线性表出，设非零公共解为 =x11+x22=x31+ x42于是x11+x22x 31x 42=0 (*) 对( 1， 2)作初等行变换，当a=3 时，方程组(*)有非零解 k(1，1，2，1) T(k 是任意非零常数)此时 Ax=0和 Bx=0 的非零公共解为 =k( 1+2)=k(1，4，1，1)=k 1(1， 4， 1， 1)T其中 k1 是任意非零常数或 =k(2 1+2)=k2(1， 4， 1， 1) T其中 k2 是任意非零常数
