1、考研数学（数学二）模拟试卷 447 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)=cosx+(2x 3) 3+ (x1)在区间( ，+)上零点个数为 ( )（A）正好 1 个（B）正好 2 个（C）正好 3 个（D）多于 3 个2 曲线 的渐近线的条数为 ( )（A）0 条（B） 1 条（C） 2 条（D）至少 3 条3 “|f(x)|在 x=a 处可导”是“f(x)在 x=a 处可导” 的 ( )（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）既非充分又非必要条件（D）充分必要条件4 由方程 2y32y 2+2xy+yx 2=0 确定的函数
2、 y=y(x) ( )（A）没有驻点（B）有驻点但不是极值点（C）驻点为极小值点（D）驻点为极大值点5 ( )（A） (e21)（B） (e2+1)（C） (e2 1)（D） ( e2+1)6 设 p(x)，q(x)，f(x)0 均是关于 x 的已知连续函数， y1(x)，y 2(x)，y 3(x)是 y+ p(x)y+q(x)y=f(x)的 3 个线性无关的解，C 1，C 2 是两个任意常数，则该非齐次方程的通解是 ( )（A）C 1y1+ (C2C 1) y2(1+ C 2) y3（B） (C1C 2)y1+( C21) y 2+(1C 1) y3（C） (C1+C2) y1+(C1C 2
3、)y2+(1C 1) y3（D）C 1y1+ C2y2+(1C 1 C2) y37 1， 2， 3， 4 均是 3 维非零向量则下列命题正确的是 ( )（A）若 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，则 1+3， 2+4 线性相关（B）若 1， 2， 3 线性无关， 1+4， 2+4， 3+4 线性无关（C）若 4 可由 1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性无关（D）若 4 不可由 1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关8 设 ，则 A 相似于 ( )二、填空题9 设 则 ff(x)=_ 10 _11 _12 设 z=(1+x2y)xyz，则 _13 微分方程
4、 y3y+2y=xe x 的通解为 y=_14 设 是可逆矩阵，且 ，若，则 C1 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设 f(x)在 x=0 处连续，且 x0 时， ，求曲线 y=f(x)在 x=0 对应的点处的切线方程17 设 D=(x， y)|x2+y21， (x1) 2+y21求18 求函数 在约束条件 下的最大值与最小值18 设 是常数，考虑积分19 证明上述积分总是收敛的；20 求上述积分的值21 设微分方程 =2yx，在它的所有解中求一个解 y=y(x)，使该曲线 y=y(x)与直线 x=1， x=2 及 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转一周所生成的
5、旋转体体积最小22 设平面图形 D 由摆线 x=a(tsint)，y=a(1 cost)，0t2 兀，a0 的第一拱与 x轴围成，求该图形 D 对 y 轴的面积矩 My23 设矩阵 ，矩阵 B=(E+A)n，其中 是实数，E 是单位阵求对角阵 ，使 B，并讨论 B 的正定性23 设齐次线性方程组 Ax=O 为在方程组(*)的基础上增添一个方程 2x1+ax24x 3+bx4=0，得齐次线性方程组 Bx=0 为24 求方程组(*)的基础解系和通解；25 问 a，b 满足什么条件时，方程组(*) 和(*)是同解方程组考研数学（数学二）模拟试卷 447 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，
6、只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 易知 f(1)=0，所以 f(x)在(， +)上至少有 3 个零，又因 f(x)=sinx+6(2x3) 2+ ，f(x)=cosx+24(2x3) ，f“=7 3sinx+480所以 f(x)在区间( ，+) 上至多有 3个零点结合以上两项知，f(x)在( ，+) 上正好有 3 个零点2 【正确答案】 D【试题解析】 有一条垂直渐近线 x=0有一条斜渐近线又有一条斜渐近线共有 3 条，即至少有 3 条渐近线3 【正确答案】 C【试题解析】 举反例说明既非充分又非必要条件例如设|f(x)|=1 在 x=a 处可导，但 f(x)在 x=
7、a 以处不连续，不可导又如，设 f(x)=xa，在 x=a 处 f(x)可导，f(x)=1但|f(x)|=|xa|在 x=a 处形成尖点，|f(x)|在 x=a 处不可导4 【正确答案】 C【试题解析】 将所给方程两边对 x 求导数(y 看成由此式确定的 x 的函数)，有6y2y 4yy+2y+2xy+y2x=0，(6y 24y +2x+1)y+2(y x)=0 先考虑驻点，令y=0，得 y=x，再与原方程联立： 得 2x32x 2+2x2+xx 2=0，即 x (2x 2x+1)=0 由于 2x2x+1 无实根，故得唯一实根x=0，相应地有 y=0在此点有 y=0不选 A再看此点是否为极值点
8、，求二阶导数，由 以x=0，y=0，y=0 代入，得 y(0)=20所以该驻点为极小值点，选 C5 【正确答案】 A【试题解析】 由积分上、下限知，积分区域 D=D1D2=(x，y)|0x1，0y1(x，y)|lnyx1，1ye=(x ，y)|0ye x，0y1原式= 而 可看成圆心为原点，半径为 ex 的圆面积，为 所以原式=6 【正确答案】 D【试题解析】 实际上有下述定理设 p(x)，q(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0，考虑下述两个方程 y+p(x)y+q(x)y= f(x) (*) 及对应的齐次方程 y+p(x)y+q(x)y=0 (*) 设 y1(x)，y 2(x)，y 3
9、(x)是(*) 的 3 个解，A，B，C 为常数并设 y=A y 1(x)+B y2(x)+Cy3(x) (*) 则(*)是(*)的解的充要条件是 A+B+C=1； 式(*)是(*)的解的充要条件是 A+B+C=0 设 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)是(*)的 3 个线性无关的解，A，B，C 中两个为任意常数 则(*)是(*)的通解的充要条件是 A+B+C=1； 式(*)是(*)的通解的充要条件是 A+B+C=0 本题用到上述 验算上述y1，y 2，y 3 的系数之和，D 的系数之和为 C1+C2+(1C 1C 2)=1所以 D 是通解7 【正确答案】 D【试题解析】 对于 A，若 1
10、=(1，0，0) ， 2=(2，0，0) 1， 2 线性相关； 3=(0，0，3)， 4=(0，0，4) 3， 4 线性相关 但 1+2= (1，0，3)， 3+4= (2，0， 4)线性无关 A 不成立 对于 B， 1， 2， 3 线性无关若取 1= 1，则1+1 =0，故 1+1， 2+1， 3+1 线性无关 B 不成立 对于 C，若 2= 1 且1=1+2+23但 1， 2， 3，线性相关C 不成立 由排除法应选 D对于D，因为 4 个三维向量必线性相关若 1， 2， 3，线性无关则 1 必可由1， 2， 3 线性表出 ( 且表示法唯一) 现 1 不能 1， 2， 3 线性表出，故1，
11、2， 3 必线性相关，故应选 D8 【正确答案】 C【试题解析】 是实对称阵，必相似于其特征值为对角元素的对角阵因 因选项 C 中矩阵 也有 1=1， 2=3，且 12，故 由相似关系的传递性，得 故应选 C其余选项 A，B，D 均与A 的特征值不同，故 A 不与它们相似，应排除，请读者排查或者由性质“矩阵特征值之和(多重的累积计算)等于矩阵的迹(主对角线元素之和)”立得，相似矩阵的迹应该相等，故排除 A，B，D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x)的表达式有最后，分别写出自变量的取值范周，易见第 4 式中 与 x1 的交集为空集最后化简得如答案所示10 【正确答案】 【试题解
12、析】 11 【正确答案】 e 2【试题解析】 令 x1=u，则所以，原式=e 212 【正确答案】 3xy 2(1+x2y)xy2ln(1+x2y)【试题解析】 由 z=(1+x2y)xy2exy2ln(1+x2y)，易知13 【正确答案】 C 1ex+C2e2x( x2+x)ex，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 对应的齐次方程的通解为 y=C1ex+C2e2x设原方程的一个特解为y*=x(Ax+B)ex，代入方程，得 y*=( x2x)e x，所以通解为C1ex+C2e2x( x2+x)ex14 【正确答案】 【试题解析】 经观察，C 是由 A 经初等变换得到的，A 的 1，2
13、行互换后，再将第3 列加到第 1 列得到 C，即 C=E12AE31(1)，故 C1 =E12AE31(1)1 = E311 (1)A1 E31(1)A1E 12=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由拉格朗日中值定理，有 tan(tan x) tan(sin x)=Sec2(tan xsin x)，其中 介于 tan x 与 sin x 之间又 ，于是16 【正确答案】 由 f(x)在 x=0 处连续，所以切线方程为 ye 2=2e 2(x0)，即 y=2e 2x+e217 【正确答案】 用极坐标，如图所示，点 A 对应的极角为由于 D 关于 x 轴对称，为
14、 y 的奇函数，18 【正确答案】 求函数 在约束条件 下的最大值与最小值，等价于求函数 v=x2+y2+z2 在同样的约束条件下的最大值与最小值令F(x，y，z， ，)=x 2+y2+z2+(x2+y2z 2)+(x+y+z4) 得(+1)( xy)=0若 =1 由可得，=0由得 与式矛盾故只能推得 x=y再由 ，两式，得(x 1，y 1，z 1)或(x 2，y 2，z 2)=(2，2，8)由约束条件 x2+y2z=0 及 x+y+z4=0，可见 (x，y，z)只能在有限范围内变动，可见 在此范围内必存在最小值与最大值所以19 【正确答案】 若 0，则题给被积函数在区间0， +) 上连续且为
15、正值，且左边积分随 X 的增大而增大，但积分值小于 ，所以若 所以 x=0 不是瑕点，为讨论 x+的情形，令 = ，0，于是与上面谈论类似，知综上，无论 0 还是 20 【正确答案】 作积分变量代换，令 有21 【正确答案】 当 x0，该微分方程可写为 由一阶线性非齐次微分方程通解公式得 对于不同的 C 求V 的最小值，令时对应的解在区间1，2上与 x 轴围成的曲边梯形绕 x 轴旋转所生成的旋转体体积最小22 【正确答案】 题中所给的 D 是一个以摆线一拱 x=a(tsint)，y= a(1cost)，0t2,a0 为上边界， x 轴为下边界，从 x=0 到 x=2a 的曲边梯形取竖条，其面积
16、微元为 ydx，它对 y 轴的面积为 xydx，所以 D 对 y 轴的面积矩为 My=02a xydx (*)现在按此公式求 My将摆线表达式代入式(*)，可以看成将积分变量由 x 换成t，得 My=02a xydx=02a3(tsint)(1cost) 2dt=a302t(1cost) 2dta 302 sint(1cost)2dt 其中 I1=02t(1cost) 2dt，I 2=02sint(1cost)2dt现用一个巧妙的办法计算 I1，令 t=2u，则 I1=02(2u) (1cosu) 2(du)=022(1cosu) 2du 02u(1cosu) 2du，故 2I 1=022(1
17、cosu) 2du，所以 My=3a2223 【正确答案】 由 =(+2)(1) 21=(+2)(2)，知 A 有特征值 1=2， 1=0， 3=2由于 A 是实对称矩阵(或 A 有三个不同的特征值)，故 ，且存在正交矩阵 P，使得 P1 AP=1 故 A=P1P1 ，代入矩阵 B，有 B=(E+A)n=(P 1+P1P1 )n=P(E+1)P1 n=p(E+1)nP1当 n=2k(k=0，1，2，)且0，0，2 时， 正定，则 B 正定；当 n=2k+1(k=0，1，2，)且 2 时， 正定，则 B 正定24 【正确答案】 得方程组（*）的基础解系为（3，5，1，0） T，通解 k（3，5，1，0）T， k 是任意常数25 【正确答案】 方程组（*），（*）是通解方程=方程组（*）的通解方程组（*）的第 4 个方程将（*）的通解代入，得 2(3k)+a(5k)4k+0=0，即5ak=10k，又 k 是任意常数，得 a=2故当 a=2，b 为任意值时，方程组（*），（*）同解
