1、考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2004 年) 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0。使得（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(一 ，0)内单凋减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（D）对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)2 (2005 年) 设函数 则 f(x)在(一，+)内（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点3 (2006 年) 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0f“(x)0，x 为自
2、变量 x 在x11 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy0（D）dyy04 (2007 年) 设函数 f(x)在=0 处连续，下列命题错误的是（A）若 存在，则 f(0)=0（B） 存在，则 f(0=0（C）若 存在，则 f(0)存在（D）若 存在，则 f(0)存在5 (2007 年) 曲线 渐近线的条数为（A）0（B） 1（C） 2（D）36 (2007 年) 设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 un=f(n)(n=1，2)则下列结论正确的是（A）若 u1u 2 则u n
3、)必收敛（B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2 则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散7 (2008 年) 设函数 则 f(x)的零点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）38 (2011 年) 曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3(x 一 4)4 的拐点是（A）(1 ，0)（B） (2，0)（C） (3，0)（D）(4 ，0)9 (2012 年) 曲线 渐近线的条数为（A）1（B） 2（C） 3（D）410 (2012 年) 设函数 _f(x)=(ex 一 1)(e2x 一 2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=（A）(
4、一 1)n-1 一(n 一 1)!（B） (一 1)n(n 一 1)!（C） (一 1)n-1n!（D）(一 1)nn!11 (2014 年)下列曲线中有渐近线的是（A）y=x+sinx（B） y=x2+sinx（C）（D）12 (2014 年)设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1 一 x)+f(1)x，则在区间0 ，1上（A）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（B）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（C）当 f“(x)0 时，f(x)g(x)（D）当 f“(x)0 时，f(x)g(x)13 (2015 年) 设函数 f(x)在 (一，+)内连续，其 2 阶导函数 f“
5、(x)的图形如图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）314 (2016 年) 已知函数则（A）x=0 是 f(x)的第一类间断点（B） x=0 是 f(x)的第二类间断点（C） f(x)在 x=0 处连续但不可导（D）f(x)在 x=0 处可导15 (2017 年)设函数 f(x)可导，且 f(x)f(x)0，则（A）f(1)f( 一 1)（B） f(1)f(一 1)（C） |f(1)|f(-1)|（D）|f(1)|f(一 1)|16 (2018 年)下列函数中，在 x=0 处不可导的是( )（A）f(x)=|x|sin|x|（B）（C） f(x)=cos|
6、x|（D）二、填空题17 (2004 年)曲线 y=lnx 上与直线 c+y=1 垂直的切线方程为 _.18 (2005 年) 曲线 的斜渐近线方程为_19 (2008 年)曲线 sin(xy)+ln(y 一 x)=x 在点(0 ，1)处的切线方程是 _20 (2010 年) 设 则21 (2013 年) 设函数 y=f(x)由方程 yx=ex(1-y)确定，则22 (2013 年) 设 则23 (2014 年)设 f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f(x)=2(x-1)，x 0，2，则 f(7)=_24 (2016 年) 设函数 且 f“(0)=1，则a=_25 (2017 年) 已知
7、函数 则 f(3)(0)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 (2004 年) 设 eabe 2，证明26 (2005 年)已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0， 1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：27 存在 (0，1)，使得 f()=1 一 ；28 存在两个不同的点 ， (0，1)，使得 f()f()=129 (2007 年)设函数 f(x)， g(x)在a，b 上连续，在 (a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b) 。证明：存在 (a，b)，使得 f“()=g“()30 (2009 年)(I) 证明拉格朗日中值
8、定理：若函数 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a) ()证明：若函数 f(x)在 x=0处连续，在(0，)( 0)内可导，且 则 f-(0)存在，且 f-(0)=A31 (2010 年) 求函数 的单调区间与极值32 (2011 年)求方程 karctanxx=0 不同实根的个数，其中 k 为参数33 (2012 年) 证明：33 (2013 年)设奇函数 f(x)在一 1，1上具有 2 阶导数，且 f(1)=1证明：34 存在 (0，1)，使得 f()=1；35 存在 (一 1，1)，使得 f“()+f()=13
9、6 (2014 年) 设函数 y=f(x)由方程 y3+xy2+x2y+6=0 确定，求 f(x)的极值37 (2015 年)(I) 设函数 u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)； ( )设函数 u1(x)，u 2(x)，u n(x)可导，f(x)=u 1(x)u2(x)un(x)，写出 f(x)的求导公式38 (2017 年) 已知函数 y(x)由方程 x3+y3 一 3x+3y 一 2=0 确定，求 y(x)的极值38 (2017 年) 设函数 f(x)在区间 0，1上具有 2 阶导数，且 f(1)0，证明：39 方程 f(x)=0
10、在区间(0，1)内至少存在一个实根；40 方程 f(x)f“(x)+(f(x)2=0 在区间(0，1)内至少存在两个不同实根考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 由极限的保号性知，存在 0，当 x(一 ，0)或 x(0，)时， 而当(0，)时x0，则此时 f(x)一 f(0)0，即 f(x)f(0) ，故应选(C)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 当|x|1 时， 当|x|1 时，则而f+(一 1)f-(一 1)，则 f(x)在 x=一 1 不
11、可导同理则f(x)在 x=1 处不可导，故应选(C) 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 解 1 直接法：dy=f(x 0)x， y=f(x0+x)一 f(x0)=f()x，x 0x 0+x 由于 f“(x)0，则 f(x)单调增，从而有 f(x0)f()，故 dyy 由于 f(x)0，x0，则 0dyy，故应选(A) 解 2 排除法：取 f(x)=x2，在(0，+) 上， f(x)=2x0，f“(x) 一 20，取 x0=1，则 dy=f(x0)x=2x y=f(1+x)一 f(1)=(1+x)2 一 1=2x+(x)2 由于 x0，显然有 0dyy，由此可知，选项
12、(B)，(C)，(D)均不正确，故应选(A)。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由 存在及 f(x)在 x=0 处的连续性知，f(0)=0 ，从而有所以，命题(A)和(C) 是正确的；由 存在，且 知，则 f(0)=0，所以，命题(B)也是正确的 事实上，命题(D) 是错误的例如，令 f(x)=|x|，显然但 f(ac)|x|在 x=0 处不可导，即 f(0)不存在故应选 (D)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 则 x=0 为原曲线的一条垂直渐近线而 则 y=0 为原曲线的一条水平渐近线又而则 y=x 为原曲线的一条斜渐近线，由此可
13、知原曲线共有三条渐近线所以，本题应选(D)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 解 1 直接法：由拉格朗日中值定理知 u 2 一 u1=f(2)一 f(1)=f(c) (1c2)而 u 2u 1，则 f(c)0，由于 f“(x)0，则 f(x)单调增，从而有 f(2)f(c) 0，由泰勒公式得， 由于 f(2)0，则 从而故u n发散 解 2 排除法： 令 f(x)=(x 一 2)2，则 f“(x)=20， u1=f(1)=1，u 2=f(2)=0，u 1u 2，但 un=f(n)=(n 一 2)2， 从而u n发散，则(A) 不正确 令 f(x)=ex-x，则 f“(
14、x)=e-x0，u1u 2 而 un=f(n)=e-n，则u n收敛，(B)不正确 令 f(x)=ex，则 f“(x)=ex0，且u1=f(1)=e，u 2=f(2)=e2，u 12，而 un=f(n)=en， 则u n)发散，(C)不正确由排除法知(D) 正确【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=ln(2+x 2)2x显然 f(x)只有一个零点 x=0，故应选(B)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由于曲线方程 y=(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3(x 一 4)4 中含有(x 一 3)的 3次因子(x 一 3)3，则
15、 y“(3)=0， y“(3)0 由拐点的充分条件知点 (3，0)为该曲线的拐点，故应选(C) 【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 由于 则该曲线有水平渐近线 y=1， 又则 x=1 为该曲线的一条垂直渐近线故应选(C)【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 A【试题解析】 解 1 记 g(x)=(e2x 一 2)(e3x 一 3)(enx 一 n)，则 f(x)=(e x 一 1)g(x) f(x)=exg(x)+(ex 一 1)g(x)则 f(0)=g(0)=(一 1)(一 2)(一(n 一 1)=(一 1)n-1(n 一 1)! 故应选(A) 解 2 由
16、导数定义得 解 3 排除法：当 n=2 时，f(x)=(e x 一 1)(e2x 一 2) f(x)=ex(e2x 一 2)+2e2x(ex 一 1)，f(0)=一 1 显然，(B)(C)(D)都不正确，故应选(A)【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 C【试题解析】 解 1 由于 所以曲线 有斜渐近线 y=x，故应选(C) 解 2 考虑曲线与直线 y=x 纵坐标之差在 x时的极限 则直线 y=x 是曲线的一条斜渐近线，故应选(C)【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 D【试题解析】 解 1 由于 g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线 y=f(0)(1 一 x)+
17、f(1)x 过点(0，f(0)和(1，f(1)，当 f“(x)0 时，曲线 y=f(x)在区间0，1上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点 (0，f(0)和(1，f(1)的弦 y=f(0)(1 一 x)+f(1)x 的下方，即f(x)g(x)故应选(D)解 2 令 F(x)=f(x)一 g(x)=f(x)一 f(0)(1x)一 f(1)x，则F(x)=f(x)+f(0)一 f(1)，f“(x)=f“(x) 当 f“(x)0 时，F“(x)0则曲线 y=F(x)在区间0，1上是凹的，又 F(0)=F(1)=0，从而，当 x0，1时 F(x)0，即 f(x)g(x)，故应选(D) 解 3 令
18、F(x)=f(x)一 g(x)=f(x)一 f(0)(1 一 x)一 f(1)x，则F(x)=f(x)(1 一 x)+x一 f(0)(1 一 x)一 f(1)x=(1 一 x)f(x)一 f(0)一 xf(1)一 f(x)=x(1 一 x)f()一 x(1 一 x)f() (0，x) 。(x，1)=x(1 一 x)f()一 f()当 f“(x)0 时，f(x)单调增，f()f()从而，当 x0，1时 F(x)0，即f(x)g(x)，故应选(D)【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 C【试题解析】 由图知 f“(x1)=f“(x2)=0，f“(0) 不存在，其余点上阶导数 f“(x)存
19、在且非零，则曲线 y=f(x)最多三个拐点，但在 x=x1 两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点，而在 x=0 和 x=x2 两侧的二阶导数变号，则曲线 y=f(x)有两个拐点，故应选(C) 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 D【试题解析】 f -(0)=1， 由夹逼原理知 即 f+(0)=1故 f(x)在 x=0 处可导，应选(D)【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 C【试题解析】 解 1 直接法 由 f(x)f(x)0 知 则 单调增，从而 f2(x)单调增，由此可知 f 2(1)f2(一 1) 上式两端开方得 |f(1)| |f(一 1)| 解 2 排除法 取 f
20、(x)=ex，则f(x)=ex，f(x)f(x)=e 2x0， f(1)=e， 显然 f(1)f( 一 1)，|f(1)|f(一 1)| 由此可知，(B)(D)选项是错误的 若取 f(x)=一 ex，则 f(x)=一 ex，f(x)f(x)=e2x0 f(1)=一 e， 由此知 f(1)f(一 1)，(A)选项是错误的，故应选(C) 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 D【试题解析】 由导数定义知 该极限不存在，则 在 x=0 处不可导，故应选 D【知识模块】 一元函数微分学二、填空题17 【正确答案】 y=x 一 1【试题解析】 直线 x+y=1 的斜率为一 1，所求切线斜率应为
21、 1，而 令得 x=1，则所求切线为 y=x 一 1【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 由于 则斜渐近线方程为 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 y=x+1【试题解析】 由 sin(xy)+ln(yx)=x 知 在上式中令 x=0，y=1 ，得 y=1则该曲线在点(0 ，1)处的切线方程是 y=x+1【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 0【试题解析】 解 2 利用公式 由 x=e-t 知，x=一 e-t，x“=e -t，x(0)=一 1，x“(0)=1 由 知，y=ln(1+t 2)，y(0)=0，y“(0)=0 则 解 3 由 x=e-t
22、知，t=一lnx，且当 t=0 时，x=1，则 则【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 1【试题解析】 由 yx=ex(1-y)知，x=0 时，y=1 y一 1=ex(1-y)(1 一 y)一 xy则 y(0)=1， 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 1【试题解析】 由 f(x)=2(x 一 1)，x0，2知，f(x)=(x-1) 3+C，又 f(x)为奇函数，则 f(0)=0，C=一 1f(x)=(x 一 1)2 一 1 由于 f(x)以 4 为周期，则 f(7)=f8+(一 1)=f(-1)=一 f(1)
23、=1【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 【试题解析】 由 xarctanx 一 x3 知 arctanx=x x3+o(x3) 则 arctanx=xx3+ 则【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 0【试题解析】 由于 是偶函数，则 f(x)是奇函数，f“(x)为偶函数，f“(x)是奇函数，故 f“(0)=0【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 【正确答案】 证 1 设 则所以当 xe 时，“(x)0，故 (x)单调减少，从而当 exe 2 时，即当 exe 2 时，(x)单调增加 因此当 eabe 2 时， (b) (a)，
24、即 故 证 2 对函数 ln2x 在a，b上应用拉格朗日中值定理，得 设 则当 te 时，(t)0，所以 (t)单调减少，从而 ()(e 2)，即 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 g(x)=f(x)+x 一 1，则 g(x)在0，1上连续，且g(0)=一 10， g(1)=10所以存在 (0，1)，使得g()=f()+ 一 1=0即 f()=1 一 【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 根据拉格朗日中值定理，存在 (0，)，(，1)，使得 从而【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 令 (x)=f(x)一 g(x)，以下分两种情
25、况讨论： 1)若 f(x)和 g(x)在(a， b)内的同一点处 c(a，b)取到其最大值，则 (c)=f(c)一 g(c)=0，又 (a)=(b)=0，由罗尔定理知 1(a，c) ，使 (1)=0； 2(c，b)，使 (2)=0 对 (x)在1， 2上用罗尔定理得， (1， 2)，使 “()=0 2)若 f(x)和 g(x)在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设 f(x)和 g(x)分别在 x1 和 x2(x1x 2)取到其在(a ，b)内的最大值，则 (x 1)=f(x1)一 g(x1)0， (x 2)=f(x2)一 g(x2)0 由连续函数的介值定理知， c(x1，x 2)，使
26、(c)=0以下证明与 1)相同【试题解析】 若令 (x)=f(x)一 g(x)，本题需证存在 (a，b) ，使 “()=0，而(a)=f(a)一 g(a)=0，(b)=f(b)一 g(b)=0，若能证明存在 c(a，b)，使 (c)=0，此时，(a)=(c)=(b)，由罗尔定理可证明存在 (a，b) ，使 “()=0【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 (I)取 由题意知 F(x)在a，b上连续，在 (a，b)内可导，且 根据罗尔定理，存在(a， b)，使得 即 f(b)一 f(a)=f()(b一 a) ( )对于任意的 t(0，)，函数 f(x)在0，t上连续，在(0，t) 内可导
27、，由右导数定义及拉格朗日中值定理 由于 且当 t0 -时，0 -，所以 故 f-(0)存在，且 f-(0)=A【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 f(x)的定义域为( 一，+)，由于 所以 f(x)的驻点为x=0，1 列表讨论如下： 因此，f(x)的单调增加区间为( 一 1，0)及(1，+)，单调减少区间为(一，一 1)及(0，1)；极小值为 f(1)=0，极大值为【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 解 1 令 f(x)=karctanxx，则 f(x)是(一，+) 上的奇函数，且 当 k 一 10 即 k1 时，f(x)0(x0)，f(x)在(一，+)内单调减少，方程
28、 f(x)=0 只有一个实根 x=0 当 k 一 10 即k1 时，在 内，f(x)0，f(x)单调增加；在 内，f(x)0，f(x)单调减少，所以 是 f(x)在(0，+)内的最大值 由于f(0)=0，所以 又因为所以存在使得 f()=0 由 f(x)是奇函数及其单调性可知：当k1 时，方程 f(x)=0 有且仅有三个不同实根 x=一 ，x=0，x= 解 2 令 f(x)=karctanx-x，显然 f(x)是奇函数，则其零点关于原点对称，f(0)=0，只需讨论 f(x)在(0，+) 上零点的个数，为此，令 g(x)与 f(x)在(0，+)内零点个数相同， 则g(x)0 x(0，+) g(x
29、)单调增，又 若 k1，g(x)在(0 ，+)内：无零点，原方程有唯一实根 x=0； 若 k1，g(x)在(0，+) 内有唯一零点，原方程有三个实根【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 证 1 令一 1x1 显然f(x)为偶函数，因此，只要证明 f(x)0 x0，1) 由于 当 x(0，1)时， 又 则 从而有 f(x)0 x(0，1) 又 f(0)=0 则 f(x)0 x0，1) 故原不等式成立 证 2 由证 1 知，只要证明 f(x)0 x0，1) 为此，先证 x0,1) 令由于 g(x)=一 sinx+x0 x (0，1) 又 g(0)=0，则 g(x)0 x0，1) 要证 f
30、(x)0，只要证明 即，只要证x0， 1) 令 (x)=ln(1+x) 一 ln(1 一 x)一 x 则又 (0)=0，则 (x)0 x0，1 故 证 3 记则 当一 1x1 时，由于1+cosx2，所以 f“(x)20，从而 f(x)单调增加 又因为 f(0)=0，所以，当一 1x0 时，f(x)0；当 0x1 时，f(x)0，于是 f(0)=0 是函数 f(x)在( 一 1，1)内的最小值 从而当一 1x1 时，f(x)f(0)=0，即 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 因为 f(x)是区间 一 1，1上的奇函数，所以 f(0)=0。因为函数 f(
31、x)在区间0， 1上可导，根据微分中值定理，存在 (0，1)，使得f(1)一 f(0)=f()又因为 f(1)=1，所以 f()=1【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)是偶函数，故 f(一 )=f()=1 令F(x)=f(x)一 1ex，则 F(x)可导，且 F(-)=F()=0 根据罗尔定理，存在 (一，) (一 1，1)，使得 F()=0 由 F()=f“()+f()一 1e且 e0，得 f“()+f()=1【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 方程 y3+xy2+x2y+6=0 两端对 x 求导得 3y2y+y2+2xyy+2x
32、y+x2y=0 (1)在(1)式中令 y=0，得 y2+2xy=0，由此可得，y=0，y=-2x ，显然 y=0 不满足原方程，将 y=一 2x 代入原方程 y+xy2+x2y+6=0，得6x 3+6=0，解得 x0=1，f(1)=2 f(1)=0对(1) 式两端再对 x 求导得 6yy 2+3y2y“+4yy+2xy2+2xyy“+2y+4xy+x2y“=0将 x=1，f(1)=一 2，f(1)=0 代入上式得 则函数 y=f(x)在 x=1处取得极小值，且 f(1)=一 2【知识模块】 一元函数微分学37 【正确答案】 (I)令 f(x)=u(x)v(x)，由导数定义得 ()若 f(x)=
33、u1(x)u2(x)un(x)，则 f(x)=u 1(x)u2(x)un(x)+u1(x)u2(x)un(x)+u1(x)u2(x)un(x)【知识模块】 一元函数微分学38 【正确答案】 由 x3+y3 一 3x+3y 一 2=0，得 3x 2+3y2y一 3+3y=0， 6x+6y(y)2+3y2y“+3y“=0 在式中令 y=0 得 x=一 1，x=1 当 x 分别取一 1 和 1 时，由x3+y3 一 3x+3y 一 2=0 得 y(-1)=0，y(1)=1 因为 y(一 1)=0，y“(一 1)0，所以 y(-1)=0 是 y(x)的极小值 x=一 1，y(一 1)=0 及 y(一
34、1)=0 代入 式得y“(一 1)=2， 因为 y(一 1)=0，y“(一 1)0，所以 y(-1)=0 是 y(x)的极小值 将 x=1，y(1)=1 及y(1)=0 代入式得 y“(1)=一 1 因为 y(1)=0，y“(1)0，所以 y(1)=1 是 y(x)的极大值【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学39 【正确答案】 由题设知 f(x)连续且 存在，所以 f(0)=0 由与极限的保号性可知，存在 a(0，1)使得 即 f(a)0 又 f(1)0，所以存在 b(a，1) (0，1) ，使得 f(b)=0，即方程 f(x)=0 在区间(0，1)内至少存在一个实根【知识模块】 一元函数微分学40 【正确答案】 由上题知 f(0)=f(b)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，b) (0，1)，使得 f(c)=0 令 F(x)=f(x)f(x)，由题设知 F(x)在区间0，b上可导，且 F(0)=0，F(c)=0，F(b)=0 根据罗尔定理，存在 (0，c)， (c，b)，使得 F()=F()=0，即 ， 是方程 f(x)f(x)+(f(x)2=0 在区间(0，1)内的两个不同实根【知识模块】 一元函数微分学
