1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g(a)存在，则 g(0)=0，g(a)=0 是F(x)在 x=a 处可导的 ( )（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）非充分非必要条件2 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量y= +，且当x0 时， 是x 的高阶无穷小，y(0)=，则 y(1)等于( )（A）2（B） （C） （D） 3 函数 f(x)=(x2+x 一 2)sin2x在区间(一 )上不可导点的个数是( )（A
2、）3（B） 2（C） 1（D）04 曲线 y=(x 一 1)2(x 一 3)2 的拐点个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）35 设 f(x)=xsin 2x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 极限 xyln(x2+y2)( )（A）不存在（B）等于 1（C）等于 0（D）等于 27 设 f(x)在(0，+)内二阶可导，满足 f(0)=0，f“(x)0(x0)，又设 ba0，则axb 时，恒有 ( )（A）af(x) xf(a)（B） bf(x) xf(b)（C） xf(x) bf(b)（D）xf(x)af(a)8 设常数 k0，函数 f(x)=
3、lnx 一 +k 在(0，+)内零点个数为( )（A）3（B） 2（C） 1（D）09 设 f(x)在(1，1+)内存在导数，f(x)严格单调减少，且 f(1)=f(1)=1，则( )（A）在(1 ，1) 和(1，1+)内均有 f(x)x（B）在 (1，1)和(1，1+)内均有 f(x)x（C）在 (1，1)有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)x（D）在(1 ，1) 有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)x10 设 =一 1，则在 x=a 处( )（A）f(x)的导数存在，且 f(a)0（B） f(x)取得极大值（C） f(x)取得极小值（D）f(x)的导数不存在11 设 f
4、(x)具有二阶连续导数，且 f(1)=0， ，则( )（A）f(1)是 f(x)的极大值（B） f(1)是 f(x)的极小值（C） (1，f(1)是曲线 f(x)的拐点坐标（D）f(1)不是 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标12 可导函数 f(x)，对任意的 x，y 恒有 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f(0)=1，则 f(x)等于( )（A）x+cosx（B） shx（C） ex（D）1 一 ex13 设 f(x)在a，b可导，f(a)= ，则( )（A）f +(0)=0（B） f+(a)0（C） f+(a) 0（D）f +(a)0二、填空题14 对数螺线
5、=e在点(， )=( )处切线的直角坐标方程为 _。15 曲线 y= 的斜渐近线方程为_。16 设 f(x)= ，则 f(x)的极值为_， f(x)的拐点坐标为_17 曲线 处的切线方程为_18 曲线 y= 的过原点的切线是_。19 曲线 y=ln x 与盲线 x+y=1 垂直的切线方程为_20 曲线 xy=1 在点 D(1，1)处的曲率圆方程是_21 =_22 设 y=y(x)由参数方程=_，y=y(x)在任意点处的曲率 K=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：(1)存在 (0，
6、1) ，使得 f()=1 一 ；(2)存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f(n)f()=124 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，在(a ，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在 (a，b)，使得 f“()=g“()25 (1)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f(b)f(a)=f()(ba) (2) 证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 =A，则 f(0)存在，且 f(0)=A26 求函数 f(x)= 的单调区间与极值27 求方程
7、karctanx 一 x=0 不同实根的个数，其中 k 为参数28 证明 ，一 1x129 设奇函数 f(x)在一 1， 1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：(1)存在 (0，1) ，使得 f()=1(2)存在 (一 1，1)，使得 f“()+f()=130 设函数 f(x)在(0，+)上二阶可导，且 f“(x)0，记 un=f(n)，n=1，2，又u1u 2，证明 un=+31 设 a 为常数，讨论方程 ex=ax2 的实根个数考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因 (x)
8、在 x=a 不可导，所以不能对 F(x)用乘积的求导法则，需用定义求，F(a)题设 (x)以 x=a 为跳跃间断点，则存在 ，A +A 当 g(a)=0 时，下面证明若 F(a)存在，则 g(a)=0 反证法，若 g(a)0，(x)= ，由商的求导法则，(x)在 x=a 可导，这与题设矛盾，则 g(a)=0，g(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的充要条件故选 A【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 y= =0，故由微分定义可知 dy= 此为一阶可分离变量的微分方程，分离变量得，两边积分，得 lny=arctanx+C
9、 1，即 y=Cearctanx，由 y(0)= 得C=，于是 y(x)=arctanx因此 y(1)=earctanl= 故选 D【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 设 g(x)=x2+x 一 2，(x)=sin2x ，显然 g(x)处处可导，(x) 处处连续，有不可导点只须考查 (x)不可导点处 g(x)是否为零 (x)= sin2x的图形如图 24 所示，在 ，其余均可导因为 g(0)=一 20，g( )0，g(1)=0 ，所以 f(x)=g(x)(x)在 x=0， 处不可导，在 x=1 可导，其余点均可导故选 B【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C
10、【试题解析】 对于曲线 y，有 y=2(x 一 1)(x 一 3)2+2(x 一 1)2(x 一 3) =4(x 一 1)(x一 2)(x 一 3)， y“=4(x 一 2)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 2) =8(x 一 1)(2x一 5)， 令 y“=0，得 x1=1，x 2= 又由 y=8(2x 一 5)+16(x 一 1)，可得 y(1)=一 240，y( )=240， 因此曲线有两个拐点，故选 C【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 故 f (3)(0)不存在 因此 n=2，故选 C【知识模块】 一元函数微分学6 【正确
11、答案】 C【试题解析】 由于 0xyln(x 2+y2) (x2+y2)ln(x2+y2)(当 x2+y21 时) 令x2+y2=r，则 【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 令 g(x)=xf(x)f(x)，则 g(0)=0，g(x)=xf“(x)0(x0) ，因此 g(x)g(0)=0(x0)，【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(x)= ，令 f(x)=0 得唯一驻点 x=e，且在 f(x)的定义域内无 f(x)不存在的点，故 f(x)在区间(0，e)与(e ，+)内都具有单调性又 f(e)=k 0，而 所以 f(x)在(0，e)与
12、(e ，+) 内分别有唯一零点，故选 B【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)在(1 一 ，1+)严格单调减少，则 f(x)在(1 一 ，1+)是凸的，因此在此区间上，y=f(x) 在点 (1，1) 处的切线 y 一 1=f(1)(x 一 1)，即 y=x 在此曲线的上方(除切点外) 因此 f(x)x(x(1 一 ，1+) ，x1)【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 利用赋值法求解取 f(x)一 f(a)=一(x 一 a)2，显然满足题设条件，而此时 f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点 x=a 处取得极大值，故选 B【知识模块】
13、 一元函数微分学11 【正确答案】 B【试题解析】 选取特殊函数 f(x)，其满足，f“(x)= (x一 1)4，则 f(x)满足题中条件， f(x)在 x=1 处取极小值，而其余均不正确故选 B【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 C【试题解析】 在等式 f(x+y)=f(x)f(y)两端对 y 求导，得 f(x+y)=f(x)f(y)，令 y=0 得，f(x)=f(x)由此可得 f(x)=Cex由 f(0)=1 知，C=1，即 f(x)=ex【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 D【试题解析】 考查 f+(a)= 0，故选 D【知识模块】 一元函数微分学二、填空题14
14、【正确答案】 x+y=【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 设所求斜渐近线方程为 y=ax+b因为【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 0；【试题解析】 对 f(x)求导，令 f(x)= .2x=0，得 x=0而且，当 x0 时，f(x)0；当 x0 时，f(x) 0，所以极小值点为 x=0，极小值为 f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 y=一 x+【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 x+25y：0 与 x+y=0【试题解析】 显然原点(0，0)不在曲线上，首先需求出切点坐标所以切线方程为 x+2
15、5y=0 与 x+y=0【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 y=x 一 1【试题解析】 由题干可知，所求切线的斜率为 1 由 y=(lnx)= =l，得 x=1，则切点为(1 ，0)，故所求的切线方程为 y 一 0=1.(x 一 1)，即 y=x 一 1【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 (x 一 2)2+(y 一 2)2=2【试题解析】 由题干可知，因此所求方程为(x 一 2)2+(y 一 2)2=2【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知【知识模块】 一元函数微分学三、解答
16、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 (1)令 F(x)=f(x)一 1+x，则 F(x)在 0，1上连续，且 F(0)=一10，F(1)=10，于是由介值定理知，存在 (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1 一(2)在0 ，和，1上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点(0，)， (，1)，使得【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)一 g(x)，由题设有 F(a)=F(b)=0又 f(x)，g(x)在(a，b) 内具有相等的最大值，不妨设存在 x1x2，x 1，x 2(a，b)使得 f(x 1)=M=，
17、 若 x1=x2，令 c=x1，则 F(c)=0 若 x1x 2，因 F(x1)=f(x1)一 g(x1)0，F(x 2)=f(x2)一 g(x2)0， 从而存在 Cx1，x 2 (a，b) ，使F(c)=0 在区间 a，c，c，b上分别利用罗尔定理知，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 F( 1)=F(2)=0， 再对 F(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理，知存在 (1， 3)(a，b)，有 F“()=0，即 f“()=g“()【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 (1)作辅助函数 (x)=f(x)一 f(a)一 (x 一 a)，易验证(x)满足： (a)=(b)；(x)
18、在闭区间a ，b上连续，在开区间 (a，b)内可导，且根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点 ，使()=0，即 所以 f(b)f(a)=f()(b 一 a)(2)任取x0(0，)，则函数 f(x)满足在闭区间0，x 0上连续，开区间(0，x 0)内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在 (0，)，使得故 f+(0)存在，且 f+(0)=A【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 因此，f(x)的单调增加区间为( 一 1，0)及(1，+)，单调减少区间为(一，一 1)及(0，1)；极小值 f(1)=f(一 1)=0，极大值为 f(0)= 【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】
19、令 f(x)=k arctanx 一 x，则 f(0)=0，且 当 k1 时，f(x)0，f(x)在(一，+)单调递减，故此时 f(x)的图像与 x 轴只有一，一交点，也即方程 k arctanx 一 x=0 只有一个实根 当 k=1 时，在(一，0)和(0，+)上都有 f(x)0，所以 f(x)在(一，0)和(0，+是严格的单调递减，又 f(0)=0，故 f(x)的图像在(一，0)和(0，+)与 x 轴均无交点 综上所述，k1 时，方程 karctanx 一 x=0 只有一个实根；x1 时，方程 karctanx一 x=0 有两个实根【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 【知识模块
20、】 一元函数微分学29 【正确答案】 (1)令 F(x)=f(x)一 x，F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)一 1=0， 由罗尔定理知，存在 (0，1)使得 F()=0，即 f()=1 (2)令 G(x)=exf(x)一 1，由(1)知，存在 (0，1)，使 G()=0，又因为 f(x)为奇函数，故 f(x)为偶函数，知 G(一 )=0，则存在 (一 ，) (一 1，1)，使得 G()=0，即 e (f()一 1)+ef“()=0，f“()+f()=1【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 对函数 f(x)分别在区间k ，k+1(k=1，2，n，)，上使用拉格朗日中值定理 u
21、1 一 u2=f(2)一 f(1)=f()0，1 12， u n1 一 un2=f(n 一 1)一 f(n 一 2)=f(n2)，n 一 2 n2n 一 1， u n 一 un1=f(n)f(n 一 1)=f(n1)，n一 1 n1n 因 f“(x)0，故 f(x)严格单调增加，即有 f( n1)f( n2)f( 2)f( 1)=u3 一 u1， 则 u n=(un 一 un1)+(un1un2)+(u2 一 u1)+u1 =f(n1)+f(n2)+f( 1)+u1 f( 1)+f(1)+f( 1)+u1 =(n 一 1)(u2 一 u1)+u1， 于是有 =+【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 当 a0 时，显然无实根显然，由题意知 x=0 不是原方程的根，以下讨论当 a0 时的情形，设当 x0 时，f(x)0；当 0x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x) 0且 所以当 a0 时，f(x)在区间(一，0)上有唯一实零点又在区间(0，+)上，【知识模块】 一元函数微分学
