1、考研数学一（一元函数的泰勒公式及其应用）模拟试卷 1 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 求 cosx 的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式2 求 ex2 带皮亚诺余项的麦克劳林公式3 求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式4 求极限 w=5 确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x(a+6e x2)sinx 当 x0 时是 x 的 5 阶无穷小量6 设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 =e4，求 f(0)，f(0)，f (n)(0)7 设 0x ， 证明 8 设 f(x)在0，1二阶可导， f(0)a，f(1) a，f(x)b，a ，
2、b 为非负数，求证： c(0，1) ，有f(c)2a+ b9 设 f(x)在a ，b三次可微，证明： (a，b)，使得 f(b)=f(a)+f (b a)3 ()10 在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： ()f(x)=tanx(x 3)； ()f(x)=sin(sinx)(x3)11 求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶勒公式： ()f(x)= ； ()f(x)=exsinx12 用泰勒公式求下列极限：() ()13 用泰勒公式确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的无穷小阶数：()() (et1t) 2dt14 设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 x(0
3、，+) 时 f(x)M 0， (x)M 3，其中 M0，M 3 为非负常数，求证 f(x)在(0，+) 上有界15 设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在(0， 1)，使f()416 设 f(x)在(x 0，x 0+)有 n 阶连续导数，且 f(k)(x0)=0，k=2 ，3，n1；f (n)(x0)0当 0h 时，f(x 0+h)f(x 0)=hf(x0+h)，(0 1)求证：17 求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：()f(x)=e xcosx (x3)； ()f(x)= (x3)；()f(x)= ，其中 a0 (
4、x 2)18 求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式： () f(x)=sin 3x； ( ) f(x)=xln(1x 2)19 确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数：()f(x)=e x1x xsinx； ()f(x)=(1+ )cosx120 求下列极限：() () ()21 确定常数 a 和 b 的值，使得 =622 设 f(x)=x2sinx，求 f(n)(0)23 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 I= =1，求 f(0)，f(0)，f(0)24 设 f(x)在 x=a 处 n(n2)阶可导，且当 xa 时 f(x)是 xa 的凡阶无穷小，求证：f(x)的导函数 f(x
5、)当 xa 时是 xa 的 n1 阶无穷小25 设 f(x)在 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f(a)= (a)=0，但 f(4)(a)0，求证：当 f(4)(a)0( 0)时 x=a 是 f(x)的极小(大) 值点26 设 f(x)，g(x) 在 x=x0 某邻域有二阶连续导数，曲线 y=f(x)和 y=g(x)有相同的凹凸性求证： 曲线 y=f(x)和 y=g(x)在点(x 0，y 0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)g(x)=o(xx 0)2)(xx 0)27 求 f(x)=3x 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式28 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导
6、，证明： (a，b)使得 f(b)2f(ba) 2f()29 设 f(x)为 n+1 阶可导函数，求证：f(x)为 n 次多项式的充要条件是 f(n+1)(x)0，f (n)(x)030 设 f(x)在(0，+)二阶可导且 f(x)，f(x)在(0，+)上有界，求证：f(x)在(0，+)上有界31 设 f(x)在a，b二阶可导，f(x)0，f(x)0(x(a ，b) ，求证：f(x)dx考研数学一（一元函数的泰勒公式及其应用）模拟试卷 1 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 因为 x2+o(x3)，从而【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用2 【正确
7、答案】 把 t=x2 代入 et=1+t+ +o(tn) (t0) 即得 ex2 =1x 2+o(x2n) (x0)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用3 【正确答案】 由于(arctanx)= =1x 2+x4+o(x5)，由该式逐项积分即得 arctanx= x5+o(x6)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用4 【正确答案】 因又 sinx2 x2(x0)，所以【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用5 【正确答案】 利用 ex2=1+x2+ +o(x5)， sinx=x +o(x6)，可得不难看出当1ab=0 与 b=0 同时成立 f(x)才能满足题设条件由此可解得常数 a=
8、，并且得到 f(x)= x5+o(x5)，f(x) 是 x 的 5 阶无穷小(x0)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用6 【正确答案】 1)先转化已知条件由 =e4 知ln1+f(x) =4 1+f(x)=0从而 再用当x0 时的等价无穷小替换 ln1+f(x)f(x)，可得 =42)用 o(1)表示当 x0时的无穷小量，由当 x0 时的极限与无穷小的关系 =4+o(1)，并利用 xno(1)=o(xn)可得 f(x)=4xn+o(xn)从而由泰勒公式的唯一性即知 f(0)=0，f(0)=0， ，f (n1) (0)=0， =4，故 f(n)(0)=4n!【知识模块】 一元函数的泰勒公式
9、及其应用7 【正确答案】 由带拉格朗日余项的泰勒公式 cosx=1 x4cos(x)，0 1，可得 1cosx=x 2 x2cosx注意当 0x，故【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用8 【正确答案】 考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式： x0，1， c(0，1)，有 f(x)=f(c)+f(c)(xc)+ f()(xc) 2， (*)其中 =c+(xc) ，01 在(*)式中，令 x=0，得 f(0)=f(c)+f(c)(c)+ f(1)c2，0 1c1；在(*)式中，令 x=1，得 f(1)=f(c)+f(c)(1c)+ f(2)(1c) 2，0c 21上面两式相减得 f(1)f(0)=
10、f(c)+ f(2)(1c) 2f( 1)c2从而 f(c)=f(1)f(0)+ f(1)c2f( 2)(1c) 2，两端取绝对值并放大即得f(c) 2a+ b(1c) 2+c22a+ b(1c+c)=2a+ b其中利用了对任何 c(0，1) 有(1c) 21c ，c 2c，于是(1c) 2+c21【试题解析】 证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式本题涉及证明f(c)2a+ ，自然联想到将 f(x)在点x=c 处展开【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用9 【正确答案】 将 f(x)在 x0= 展成二阶泰勒公式并分别令 x=b 与 x=a 得 其中
11、1， 2(a，b)上面两式相减得 f(b)f(a)=f (2)(ba) 3注意： (2)介于(2)之间，由导函数取中间值定理，可得 (a，b)，使得因此得证【试题解析】 从要证的结论来看，可考虑在 x1= 处展开的泰勒公式【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用10 【正确答案】 () 设 tanx=A0+A1x+A2x2+A3x3+o(x3)=A1x+A3x3+o(x3)(tanx 为奇函数，A 0=0，A 2=0)，又 tanx= ，则A 1x+A3x3+o(x3)1 x2+o(x3)=x x3+o(x3)，即 A 1x+(A3 A1)x3+o(x3)=x x3+o(x3)比较系数可得 A
12、1=1，A 3 A1= A1=1，A 3= 因此 tanx=x+ x3+o(x3)()已知sinu=u u3+o(u3)(u0) ，令 u=sinx sin(sinx)=sinx sin3x+o(sin3x)再将sinx=x x3+o(x3)，代入得 sin(sinx)=(x x3+o(x3)【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用11 【正确答案】 () 由 f(x)= ，可得对 m=1，2，3，有f(m)(x)=2(1) (m)m! f(m)(0)=2(1) mm!故 f(x)=12x+2x 2+2(1)nxn+2(1) n+1 ()用归纳法求出 f(n)(x)的统一公式f(x)=e x(
13、sinx+cosx)=，f(x)= ，可归纳证明 f (n)(x)= ，n=1，2，因此 【试题解析】 通过求 f(0)，f(0) ，f (n)(0)及 f(n+1)(x)而得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用12 【正确答案】 () 用 et，ln(1+t)，cost，sint 的泰勒公式，将分子、分母中的函数在 x=0 展开由于xcosx=x1 x3+o(x3)，因此，xcosx sinx=( )x3+o(x3)= x3+o(x3)再求分子的泰勒公式由 x2e2x=x21+(2x)+o(x)=x2+2x3+o(x3)，ln(1x 2)=x 2+o(x3)， x2e2x+ln(1x 2
14、)=2x3+o(x3)因此()由 ln(1+x)=x x2+o(x2)(x0)，令 x= ，即得故【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用13 【正确答案】 ()因此当 x0 时是 x 的二阶无穷小量()因 et1t= t2+o(t2)，从而(e t1t)2= t4+o(t4)，代入得 (et1t) 2dt= x5+o(x5)，因此 x0 时(et1t) 2dt 是 x 的五阶无穷小量【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用14 【正确答案】 分别讨论 x1 与 0x1 两种情形1)当 x1 时考察二阶泰勒公式 f(x+1)=f(x)+f(x)+ ()(xx+1)，f(x1)=f(x) f(x
15、)+()(x1x)，两式相加并移项即得 f(x)=f(x+1)+f(x1)2f(x)+ ()，则当 x1 时有f(x) 4M 0+ M32)当 0x1 时对 f(x)用拉格朗日中值定理，有 f(x)=f(x)f(1)+f(1)= ()(x1)+f(1)，其中 (x，1) f(x) ()x1+f(1)M 3+f(1)(x(0，1)综合即知 f(x)在(0， +)上有界【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用15 【正确答案】 把函数 f(x)在 x=0 与 x=1 分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(1)x2 (0 1x)，f(x)=f(1)+f(1
16、)(x 1)+ f(2)(x1)2(x 21) 在公式中取 x= 并利用题设可得两式相减消去未知的函数值 即得 f(1)f( 2)=8 f( 1)+f( 2)8故在 1与 2 中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于 4，把该点取为 ，就有(0， 1)使f()4【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用16 【正确答案】 这里 m=1，求的是当 h0 时中值 的极限分别将 f(x0+h)与f(x0+h)在 x=x0 展成带皮亚诺余项的 n1 阶与 n 阶泰勒公式得 f(x0+h)=f(x0)+f(x0)h+ f(3)(x0)(h)2+ f(n)(x0)(h)n1 +o(hn1 )=f(x0
17、)+ f(n)(x0)(h)n1 +o(hn1 )(h0)，f(x 0+h)f(x 0)=f(x0)h+ f(n)(x0)hn+o(hn)=f(x0)h+ f(n)(x0)hn+o(hn)(h0)，将它们代入原式后两边除以 hn 得令 h0，得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用17 【正确答案】 ()e x=1+x+ x3+o(x3)，cosx=1 x2+ o(x3)，相乘得 excosx=1+x+ x3+o(x3)()f(x)= 1 一 x+x2 一 x3 一(1+2x+(2x) 2+(2x)3)+o(x3)= (一 3x 一 3x29x3)+o(x3)=x 一 x23x3+o(x3)
18、()【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用18 【正确答案】 ()()【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用19 【正确答案】 () 原式=1+x+ x3+o(x3)，所以 x0 时 ex 一1 一 x 一 xsinx 是 x 的 3 阶无穷小()原式=1 一x4+o(x4)，所以 x0 时cosx+ cosx 一 1 是 x 的 4 阶无穷小【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用20 【正确答案】 () 由于当 x0 时分母是 x3 阶的无穷小量，而当 x0 时因此当 x0 时， e xsinx=注意到当 x0 时从而当 x0 时，e xsinx=x+x2+x3+o(x3)因此()由于
19、 f(x)=arctanx 在点 x=0 有如下导数 因此当 x0 时=x2一 x3+o(x3)， 1n(1+x)2 一 ex2+1=x 3+o(x3)于是原式= =6()因为当 x0 时， ，从而把麦克劳林公式 代入即得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用21 【正确答案】 因为 ln(12x+3x 2)=2x+3x 2 (一 2x+3x2)2+o(一 2x+3x2)2)=2x+3x 22x2+o(x2)=2x+x 2+o(x2)，于是 =6 可以改写为 由此即得 a 一 2=0，b+1=6，故a=2，b=5【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用22 【正确答案】 f(x)=x 2x
20、一+o(x2n+2)， f(2n+1)(0)=(一 1)n1.(2n+1)!=(一 1)n 1(2n+1)2n，n=1，2，f (2n)(0)=0，n=1，2，f (1)(0)=0【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用23 【正确答案】 由题设易知， 0，0x 时 f(x)f(x)=f(0)=0由 ef(x)一 1f(x) ，cosx 一 1 x2(x0)，用等价无穷小因子替换，原条件改写成 由极限与无穷小关系得，x0 时=1+o(1)， (o(1)为无穷小)，即 f(x)= x2+o(x2) (x0)由泰勒公式唯一性得 f(0)=0，f(0)=0，f(0)= .2!=1【知识模块】 一元函
21、数的泰勒公式及其应用24 【正确答案】 f(x)在 x=a 可展成 f(x)=f(a)+f(a)(x 一 a)+ f(a)(x 一 a)2+ f(n)(a)(x 一 a)n+o(x 一 a)n)(xa)由 xa 时 f(x)是(xa)的 n 阶无穷小 f(a)=f(a)=f(n1) (a)=0，f (n)(a)0由 g(x)=f(x)在 x=a 处 n 一 1 阶可导因此 f(x)是 xa 的 n1 阶无穷小(xa) 【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用25 【正确答案】 f(x)一 f(a)=f(a)(x 一 a)+ (a)(x 一 a)3+ f(4)(a)(x一 a)4+o(x 一 a
22、)4)= f(4)(a)(xa)4+o(x 一 a)4)= f(4)(a)+o(1)，其中 o(1)为无穷小量(xa 时) ，因此， 0，当 0xa 时因此 f(4)(a)0(0)时 f(a)为极小(大) 值【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用26 【正确答案】 相交与相切即 f(x0)=g(x0)，f(x 0)=g(x0)若又有曲率相同，即，亦即f(x 0)=g(x 0)由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或 f(x0)=g(x0)=0 或 f(x0)与 g(x0)同号，于是 f(x0)=g(x0)因此，在所设条件下，曲线 y=f(x)，y=g(x) 在(x 0，y 0)处相交、相切且有
23、相同曲率 f(x0)一 g(x0)=0，f(x 0)一 g(x0)=0，f(x 0)一 g(x0)=0 f(x)一 g(x)=f(x0)一 g(x0)+f(x)一 g(x) x=x0(xx0)+ f(x)一 g(x) x=x0(x 一 x0)2+o(x 一 x0)2=o(x一 x0)2) (x 一 x0)即当 xx 0 时 f(x)一 g(x)是比(x 一 x0)2 高阶的无穷小【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用27 【正确答案】 由于 f(m)(x)=3x(ln3)m，f (m)(0)=(ln3)m，则【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用28 【正确答案】 在 x= 处展成分别令
24、x=a，b 两式相加由导函数的中间值定理 在 1， 2 之间(a，b)，使得【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用29 【正确答案】 由带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+若 f(n+1)(x)0，f (n)(x)0，由上式 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(n)(0)xn 是 n 次多项式反之，若 f(x)=anxn+an1 xn1 +a1x+a0 (an0)是 n次多项式，显然 f(n)(x)=ann!0，f (n+1)(x)0【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用30 【正确答案】 按条件，联系 f(x)，f(x)与 f(x)的是带拉格朗日余项的一
25、阶泰勒公式 x0，h0 有 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ f()h2，其中 (x，x+h)特别是，取h=1，(x ，x+1)，有 f(x+1)=f(x)+f(x)+ f()，即 f(x)=f(x+1)一 f(x)一 f()由题设，f(x)M 0，f(x) M 2( x(0，+)， M0，M 2 为常数，于是有f(x) f(x+1)+ f(x)+ f()2M 0+ x0)，即 f(x)在(0， +)上有界【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用31 【正确答案】 联系 f(x)与 f(x)的是泰勒公式 x0a，b，f(x 0)= f(x)将f(x0)在 xa，b 展开，有 f(x0)=f(x)+f(x)(x0 一 x)+ f()(x0 一 x)2( 在 x0 与 x 之间)f(x)+f(x)(x 0 一 x) ( xa，b ，xx 0)两边在a，b上积分得因此 f(x 0)(b一 a)2 f(x)dx【知识模块】 一元函数的泰勒公式及其应用
