1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 f(x)= ( )2 设 sinxdx(k=1，2，3)，则有 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 2I 1 I33 积分 = ( )4 积分 = ( )5 积分 = ( )二、填空题6 =_7 xx(1+lnx)的全体原函数为_8 (arcsinx)2dx=_9 =_10 若f(x)dx=F(x)+C 且 x=at+b(a0)，则f(t)dt=_11 积分 =_12 设 f(ex)=1+x，则 f(
2、x)=_13 积分 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)= ，求f(x)dx15 求不定积分16 求不定积分17 已知 f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求xf(x)dx18 计算19 求20 求21 求22 求23 求24 求(x 5+3x2-2x+5)cosdx25 求26 计算 (a0 是常数) 27 设 f(lnx) 计算 f(x)dx28 求29 求下列积分：考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题中所给式子变形得【知识模块
3、】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 首先，由 I2=I1+ 可得 I2I 1其次，I 3= 故 I3I 1，从而I2I 1I 3，故选 (D)【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 设 x=x6，则【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 x 2+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 因为(x x)=(exlnx)=xx(1+lnx)， 所以
4、x x(1+lnx)dx=xx+C【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 x(arcsinx) 2+ arcsinx-2x+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 ln2 (tanx)+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 F(t)+C ，其中 C 为任意常数【试题解析】 因 F(x)=f(x)，故 F(t)=f(t)，于是(t)dt=F(t)+C【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 xlnx+C，其中
5、C 为任意常数【试题解析】 设 u=ex，则 x=lnu，由 f(ex)=1+x，得 f(u)=1+lnu，f(u)=(1+lnu)du=ulnu+C， 因此 f(x)=xlnx+C【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 当 x1 时，f(x)dx=2dx=2x+C 1； 当 0x1 时，f(x)dx=xdx= +C2； 当 x0 时，f(x)dx=sinxdx=-cosx+C 3 因为 f(x)在(-，1)内连续，所以f(x)dx 在(- ，1)内存在
6、，因而f(x)dx 在 x=0 处连续可导因此(-cosx+C3)，C 2=-1+C3，C 3=1+C2又因 x=1 为 f(x)的第一类间断点，所以在包含 x=1 的区间内 f(x)的原函数不存在，故此处的 C1 和 C2 是两个相互独立的常数【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 由于xf(x)dx=xf(x)-f(x)dx，又由于(1+sinx)lnx 为 f(x)的一个原函数，因此 f(x)=(1+sinx)lnx=cosxlnx+ ，且f(x)dx=(1+sinx)lnx+C ，故
7、xf(x)dx= -(1+sinx)lnx+C【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 借助图 13-3，可得【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 方法一 因为 x4+1=(x2+1)2-2x= 所以可令【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 方法一【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 方法一【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 利用表格的形式所以(x5+3x2-2x+5)cosxdx=(x5+3x2-2x+5)sinx+(5x4+6x-2)cosx-(2
8、0x3+6)sinx-60x2cosx+120xsinx+120cosx+C【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 方法一【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 设 lnx=t，则 x=et，f(t)=【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 设 x=tanu，则 dx=sec2udu，原式【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 (1)本题考查的知识点是不定积分的分部积分法，关键是选好 u 和dv (2)本题考查典型的有理函数的不定积分，首先凑微分，然后将分母配方(3)因 x=-(1-x)-1，从而可凑微分法(4)本题考查定积分的性质和定积分的计算，由于是对称区间上的定积分，一般利用奇函数，偶函数在对称区间上积分性质简化计算，本题还用到了华里士公式(5)此题计算量大些，考虑用分部积分法这当然是错的，错在哪里呢?因为当 t-1，0时，x=arctant 之值不落在原积分区间上事实上，补救的办法是将积分区间拆开，【知识模块】 一元函数积分学
