1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 = ( )2 积分 = ( )3 设 f(x)在a ，b上非负，在(a，b) 内 f(x)0，f(x)0I 1= f(b)+f(a)，I2= f(x)dx，I 3=(b-a)f(b)，则 I1、I 2、I 3 的大小关系为 ( )（A）I 1I2I3（B） I2I3I1（C） I1I3I2（D）I 3I2I14 设 ，则 ( )（A）NPQ（B） NQP（C） QPN（D）PNQ5 设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是 ( )二、填空题6 将 分解为部分分
2、式的形式为_7 设 f(x)的一个原函数为 Inx，则 f(x)=_8 已知函数 F(x)的导数为 f(x)= ，则 F(x)=_9 =_10 积分 =_11 =_12 若 ，则 f(x)=_13 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 计算下列积分：15 求16 设 f(sin2x)=17 计算定积分18 计算定积分19 设函数 x=x(y)由方程 x(y-x)2=y 所确定，试求不定积分20 计算 f(t)g(x-t)dt(x0)，其中，当 x0 时，f(x)=x ，而21 已知 f(x)连续，22 计算23 设 ，证明：24 计算24 对于实数 x0，定义对数函数 依
3、此定义试证：25 ln =-lnx(x0)；26 ln(xy)=lnx+lny(x0，y0)27 计算28 计算29 若 f(x)= ，试证：f(0)=0；考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 如图 13-1 所示，I 1 是梯形 AabB 的面积，I 2 是曲边梯形 AabB 的面积，I 3 是长方形 A1abB 的面积由于 f(x)0，f(x)0，y=f(x
4、)单调减少且图形为凹由图 13-1 可知 I3I2I1【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 x 2sin3x 是奇函数，故 N=0，x 3ex2 是奇函数，故所以 PNQ【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 奇函数的原函数是偶函数(请读者自己证之但要注意，偶函数 f(x)的原函数只有 为奇函数，因为其它原函数与此原函数只差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项(A)中被积函数为奇函数，选项(B)，(C)被积函数都是偶函数选项 (D)中虽不能确定为偶函数，但为非负函数，故变上限积分必不是偶函数，应选(A)【知识模块】 一元函数
5、积分学二、填空题6 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 由题设，fx)dx=lnx+C ，f(x)=(lnx+C)=【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 由题意 F(x)=f(x)=【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积
6、分学13 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 (1)因分段函数x=则由定积分的分段可加性得(3)令 t=x-2n，则由定积分的分段可加性与分部积分得，【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 原式【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 令 u=sin2x，则有【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 令 1-x=sint，则【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 y-x=t，则(y-t)t 2=y，故从而
7、有得 t3-3t=A(t3+t2-t-1)+B(t2+2t+1)+C(t3-t2-t+1)+D(t2-2t+1)=(A+C)t3+(A+B-C+D)t2+(-A+2B-C-2D)t-A+B+C+D 比较 t 的同次幂的系数得【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 方法一 令 x=u-t，则 g(x)=g(u-t)= 于是【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 令 x-t=u， 两边对 x 求导，得【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 原式【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 由分部积分法可知【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 令 = ，则有【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 令 t=x，则有【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 由分部积分可得【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 因为 ，所以 x=0 不是瑕点【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数积分学
