1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 F(x) ( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数2 设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 之值 ( )（A）仅与 a 有关（B）仅与 a 无关（C）与 a 及 k 都无关（D）与 a 及 k 都有关3 设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )（A）（B）（C）（D）4 下列反常积分收敛的是 ( )（A）（B）（C）（D）5 平面 与 1：x 一 2yz 一 20 和 2：x 一 2yz 一 60 的
2、距离之比为 1：3，则平面 的方程为( )（A）x 一 2yz 0（B） x 一 2yz 一 30（C） x 一 2yz0 或 x 一 2yz 一 30（D）x 一 2yz 406 设 则有( )（A）L 1L3（B） L1L2（C） L2L3（D）L 1L27 抛物线 y2=2x 与直线 y=x 一 4 所围成的图形的面积为 ( ).（A）（B） 18（C）（D）88 曲线 上相应于 x 从 3 到 8 的一段弧的长度为 ( ).（A）（B）（C） 9（D）6二、填空题9 设 zf(x，y)二阶可偏导， 2，且 f(x，0)1，f y(x，0)x，则 f(x，y)_10 设(ay 一 Zxy
3、2)dx(bx 2y4x3)dy 为某个二元函数的全微分，则a_ ，b_ 。11 函数 ux 2 一 2yz 在点 (1，一 2，2) 处的方向导数最大值为_12 设13 定积分14 设15 16 设两曲线 y=f(x)与 在点(0，0)处有相同的切线，则17 =_(a 为常数，n 为自然数)18 设 f(x)是连续函数，且 则 f(7)=_19 设 ，则 =_20 设 ，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 计算 其中，当 x0 时，f(x)=x，而22 已知 f(x)连续， 的值23 计算24 设 ，证明：(1) ，并由此计算 Ln；(2)25 设 f(x，y，
4、 z)连续，为曲面 2zx 2y 2 位于 z2 与 z8 之间部分的上侧，计算 yf(x，y，z)xdydz xf(x ，y，z)ydzdx2xyf(x，y，z)zdzdy.26 设 xcosydyt 2，f(x，y) 有一阶连续偏导数，求 f(x，y)27 设 L 为曲线xy1 的逆时针方向，计算28 位于点(0 ，1) 的质点 A 对质点 M 的引力大小为 (其中常数 k0，且rAM)，质点 M 沿曲线 L： 自点 B(2，0)到点(0，0)，求质点 A对质点 M 所做的功29 在变力 F yz，xz，xy)的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点 M(，)，问 ， ， 取何
5、值时，F 所做的功最大?求最大的功30 质点 P 沿以 AB 为直径的半圆从点 A(1，2)到点 B(3，4) 运动，受力 F 的作用，力的大小等于OP，方向垂直于线段 OP 且与 y 轴的夹角为锐角，求力 F 所做的功考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因 esinxsinx 是以 2为周期的周期函数，所以又 esinxcos2x0，故选 A【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)是以 l 为周期的周期函数，所以故此积分与 a 及 k 都无关【知
6、识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 当 g(x+T)=g(x)时，因为因为 f(x)是以 T 为周期的函数，所以 4 个选项中的被积函数都是以 T 为周期的周期函数，但是仅是以 T 为周期的函数【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 中，收敛；在选项 D 中，发散【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 设所求平面为 ：x 一 2yz D0 ，在平面 ：x 一 2yzD 0上取一点 ，因为d1：d 21：3，所以 D0 或 D一 3，选（C）。【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 D【试题解析】 三条直线的方向向量
7、为 s 1一 2，一 5，3)，s 23，3，7，s31， 3，一 12，1，一 1 一 2，一 1，一 5， 因为 s1.s20，所以L1L2，选(D)【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 B【试题解析】 选积分变量为 y(如图 132)，两条曲线的交点【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题9 【正确答案】 y 2xy1【试题解析】 由 得 ，因为 fy(x，0)x,所以 (x)x，即2yx，z y 2xy C，因为 f(x，0)1，所以 C1，于是 zy 2xy1【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 a 4， b一
8、 2【试题解析】 令 P(x，y) ay 一 2xy2，Q(x ，y)bx 2y4x3，因为(ay 一 2xy2)dx(bx 2y4x3)dy 为某个二元函数的全微分，所以，于是 a4，b一 2【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【试题解析】 函数 ux 2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的方向导数的最大值即为函数ux 2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的梯度的模，而 gradu (1，2，2) 2x，一 2z，一Zy (2，2， 2)2，一 4，4，方向导数的最大值为 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 a【试题解析】 f(x)是抽象函数，不能具体地计算积分，
9、要用积分中值定理，然后再计算极限【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 x 2sinx 是奇函数，故在 上的定积分值为 0原积分【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 作定积分换元 x+1=t，【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 0【试题解析】 被积函数 是奇函数，在对称区间一 2，2上积分为零【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 2【试题解析】 由已知条件知【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 0【试题解析】 显然 积分难以积出考虑积分中值定理，其中 2 介于 x，x+a 之间所以【知识模块】 一元函数积分学18 【
10、正确答案】 【试题解析】 要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导等式两边对x 求导得【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【试题解析】 令 所以【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 2【试题解析】 所以ea=(a1)e a,a=2【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 x 一 t=u，有 于是两边对 x 求导，得 在上式中，令【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 曲面 2zx 2y 2 上任一点(x，y， z)指向上侧的法向量为 n 一x，一 y，1) ，法向量的方向余弦为【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 因为曲线积分与路径无关，所以有 cosyf y(x，y)，则 f(x，y)siny C(x)，而【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 设原点 O 到点 M(，)的直线为 L，L 的参数方程为【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分
