1、考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则有（A）M1N（B） MN1（C） NM 1（D）1MN二、填空题2 若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)的原函数是_ 3 设 f(x)在0，1连续， f(|cosx|)dx=A，则 I=02f(|cosx|)dx=_4 设 f(x)是连续函数，并满足f(x)sinxdx=cos 2x+C，又 F(x)是 f(x)的原函数，且满足F(0)=0，则 F(x)=_5 设 f(x)为连续函数，且满足 f(x)=x+01xf(x)dx，则 f(x)=_三
2、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内可导，且 abf(x)dx=f(b)求证：在(a ，b)内至少存在一点 ，使 f()=07 以下计算是否正确? 为什么 ?8 n 为自然数，证明： 02cosnxdx=02sinnxdx=9 求下列不定积分：10 计算下列定积分： () 02f(x-1)dx=其中 f(x)=11 设函数 f(x)= 并记 F(x)=0xf(t)dt(0x2)，试求 F(x)及f(x)dx.12 求下列不定积分：(I)fsecxdx； ()13 求下列不定积分：14 求不定积分15 求下列积分：16 求 n=0，1
3、，2，3，17 计算不定积分18 求下列不定积分：19 求下列不定积分：20 求下列定积分：21 求下列定积分：22 计算下列反常积分(广义积分)的值：23 求一块铅直平板如图 31 所示在某种液体(比重为 )中所受的压力24 求下列平面曲线的弧长：(I)曲线 9y2=x(x 一 3)2 (y0)位于 x=0 到 x=3 之间的一段；() (a0，b0，ab)25 求下列曲线的曲率或曲率半径： (I)求 y=lnx 在点(1，0)处的曲率半径 ()求x=t 一 ln(1+t2)，y=arctant 在 t=2 处的曲率26 设函数 y=f(x)在a ，b(a0)连续，由曲线 y=f(x)，直线
4、 x=a，x=b 及 x 轴围成的平面图形(如图 312) 绕 y 轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式27 设两曲线 处有公切线(如图 313)，求这两曲线与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V.28 求圆弧 x2+y2=a2 绕 y 轴旋转一周所得球冠的面积29 有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于水中，而其短半轴与水面相齐，求水对薄板的侧压力考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用二、填空题
5、2 【正确答案】 一 sinx+C1x+C2，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 f(x)的导函数是 sinx，那么 f(x)应具有形式一 cosx+C1，所以 f(x)的原函数应为一 sinx+C1x+C2，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用3 【正确答案】 4A【试题解析】 由于 f(|cosx|)在(一 ，+) 连续，以 为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用4 【正确答案】 一 2sinx【试题解析】 由题设及原函数存在定理可知，F(x)= 0xf(t)dt 为求 f(x)，将题设等
6、式求导得 f(x)sinx=f(x)sinxdx=(cos 2x+C)=一 2sinxcosx， 从而 f(x)=一 2cosx，于是 F(x)=0xf(t)dt=0x 一 2costdt=-2sinx【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 【试题解析】 定积分是积分和的极限，当被积函数和积分区间确定后，它就是一个确定的数从而由题设知可令 01xf(x)dx=A，只要求得常数 A 就可得到函数 f(x)的表达式为此将题设等式两边同乘 x 并从 0 到 1 求定积分，就有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案
7、】 因为 f(x)在a ，b上连续，由积分中值定理可知，在(a，b)内至少存在一点 c 使得 这就说明 f(c)=f(b)根据假设可得 f(x)在a，b上连续，在(c，b)内可导，故由罗尔定理知，在(c,b)内至少存在一点 ，使 f()=0，其中 (c，b) (a，b)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 利用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分 abf(x)dx 必须满足两个条件：其一是 f(x)在a，b上连续，另一个是 F(x)是 f(x)在 a，b上的一个原函数由此可见，本题的题目中所给出的计算是错误的原因在于 在 x=0 不连续，且 x=0 不是 拘可去间断点，从而 在区
8、间一 1，1上的一个原函数，故不能直接在一 1，1上应用牛顿一莱布尼兹公式这时正确的做法是把一 1， 1分为 一 1，0与 0，1两个小区间，然后用分段积分法进行如下计算：【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 (I)利用三角函数的倍角公式：1+cos2x=2cos 2x 进行分项得()利用加减同一项进行拆项得 ()将被积函数的分母有理化后得再将第二项拆项得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用10 【正确答案】 ()由于分段函数 f(x)的分界点为 0，所以，令 t=x 一 1 后，有【知识模块】 一元函数积
9、分概念、计算及应用11 【正确答案】 根据牛顿一莱布尼兹公式，当 0x1 时，有f(x)dx=F(x)+C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 再利用上面的三角形示意图，则有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 令 ex=t，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 (I)当 n2 时解出 In，于是当 n2时得递推公式 由于 应用这一递推公式，对于 n 为偶数时，则有 对于 n 为奇数时，则有这说明
10、Jn 与 In 有相同公式【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 (I)被积函数中含有两个根式 为了能够同时消去这两个根式，令 x=t6则 ()尽管被积函数中所含根式的形式与上面所介绍的有所不同，然而也应该通过变量替换将根式去掉令 ，且 x=ln(1+t2)，从而【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 作恒等变形后凑微分(I)()【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及
11、应用22 【正确答案】 (I)由于 x2 一 2x=(x1)2 一 1，所以为去掉被积函数中的根号，可令 x 一 1=sect，则有()采用分解法与分部积分法注意 将被积函数分解并用分部积分法有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 液体中深度为 h 处所受的压强为 P=h,从深度为 到 x 之间平板所受的压力记为 P(x)，任取x，x+ x上小横条，所受压力为 P=P(x+x)一 P(x)x.cx令x0，得 dP(x)=xcdx于是，总压力为 P=abxcdx= (b2 一 a2)=. (a+b)c(b 一 a)=.矩形中心的深度矩形的面积【知识模块】 一元函数积分概念
12、、计算及应用24 【正确答案】 (I)先求 y与 将 9y2=x(x 一 3)2 两边对 x 求导得 6yy=(x-3)(x 一 1)，即 因此该段曲线的弧长为()先写出曲线的参数方程 t0，2，再求于是代公式并由对称性得，该曲线的弧长为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 (I)先求 然后代公式： 于是，在任意点x0 处曲率为 于是曲线在点(1，0)处的曲率半径 () 利用由参数方程确定的函数的求导法则，得 于是所求曲率为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 用微元法任取a，b 上小区间x，x+dx，相应得到小曲边梯形，它绕 y 轴旋转所成立体
13、的体积(见图 312)为 dV=|f(x)|2xdx，于是积分得旋转体的体积为 V=2 abx|f(x)|dx【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 先求 a 值与切点坐标由两曲线在(x 0，y 0)处有公切线得解得 x0=e2，a=e -1所求的旋转体体积等于曲线分别与 x 轴及直线 x=e2 所围成平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积之差【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用28 【正确答案】 将它表为 直接由旋转面的面积计算公式得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用29 【正确答案】 取坐标系如图 317 所示，椭圆方程为 分割区间0，a，在小区间x，x+dx对应的小横条薄板上，水对它的压力 dP=压强 面积=yx.2ydx= 其中 为水的比重于是从 0 到 a 积分便得到椭圆形薄板所受的压力【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
