1、考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=(ex-e-x)/2 的反函数 f-1(x)是（A）既非奇函数，也非偶函数 .（B）既是奇函数，又是偶函数.（C）奇函数.（D）偶函数.2 函数 f(x)c cosx(c2.71828)不是_.（A）偶函数.（B）有界函数.（C）周期函数.（D）单调函数.3 下列给定区间中是函数 f(x)x 2的单调有界区间的是（A）-2，0.（B） -1，1.（C） (1，).（D）-2，-1.4 设 f(x)是(-，+) 内的偶函数，并且当 X(-，0)时，有 f(x)
2、=x+2，则当x(0，+)时，f(x)的表达式是（A）x+2（B） -x+2（C） x-2（D）-x-2二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设 f(x)在(-，+) 上可导.5 若 f(x)为奇函数，证明 f(x)为偶函数；6 若 f(x)为偶函数，证明 f(x)为奇函数；7 若 f(x)为周期函数，证明 f(x)为周期函数8 设 F(x)f(-x)，且 f(x)有 n 阶导数，求 F(n)(x)；9 设 f(x)xe -x，求 fn(x)10 f(x)在a ，b上有二阶连续导数，且满足方程 f(x)+x 2f(x)-2f(x)0，证明：若f(a)f(b) 0，则 f(x)在
3、a，b上恒为 0.11 求 y=ee-x 的导数.12 用区间表示满足下列不等式的所有 x 的集合：(1)x3 (2)x-21(3)x-a (a 为常数，0）(4)x5 (5)x1 213 求函数 ycos 4x-sin4x 的周期13 设 f(x)，g(x) 在a，b 上存在二阶导数，且 g(x)0，f(a)f(b)g(a)g(b)0，14 在开区间(a，b)内 g(x)0；15 在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()/g()=f“()/g“().15 已知 f(x)为周期函数，那么下列各函数是否都是周期函数?16 f2(x)17 f(x2) 18 f(x)2考研数学一（函数、极限
4、、连续）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 B【知识模块】 函数、极限、连续二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 f(-x)-f(x) f(x) -f(-x)所以 f(x)-f(-x)(-1) f(-x)f(x)为偶函数.【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 f(-x)f(x) f(x)-f(-x)所以 f(x
5、)为奇函数.【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 f(x+T)F(x) f(X)f(x+T) 所以 f(x+T)为周期函数.【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 F(x)-f(-x) F(x) (-1) 2f(-x) ， ，F (k)(x)(-1) kfk(-x). F(k+1)(x)(F (k)(x) (-1)kf(k)(-x) (-1) k+1fk+1(-x). 由数学归纳法证明成立，即 F (n)(x)(-1)nfn(-x).【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 f(x)e -x+e-x(-1)x (1-x)e -x -(x-1)e -x f(x)-e -x
6、xe -x-e-x (-1)2(x-2)e-x f(x)(-1) 3(x-3)e-x f(k)(x)(-1) k(x-k)e-x f(k+1)(x)(-1) k(x-k)e-x) (-1) ke-x+(x-k)(-e-x) (-1) k+1(x-(k+1)e-x 由数学归纳法知 f(n)(x)(-1) n(x-n)e-x【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 若最大值 M0，设 f(xM)M，xM(a ，b). 则由费马定理得f(xM)0，又 f(xM)为极大值. 则 f(xM)0，另由题设得 f(xM)-x 2Mf-(xM)+2f(xM)2f(xM)2M0. (与 f(xM)0 矛
7、盾)故最大值 M0. 同理可证最小值也必为 0，所以 f(x)在a，b上的最大值 M 和最小值 m 都必为零. 因为 f(a)f(b)0，则f(x)在a，b上恒为零.【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 y=de e-x/de-xde-x/de(-x)=ee-xe-x(-1)=-e-xee-x【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 利用绝对值的性质先将不等式化简，然后根据区间的定义将不等式转化为与之对应的各种区间的形式。(1)x3 有-3x3，则 x-3,3(2)x-21 有-1x-21 即 1x3，则 x1，3(3)x-a (a 为常数，0)有- x-a 即 a- xa
8、，则 x(a-，a )(4)x5 有 x-5 或 x5，则 x(-，-5 5，(5)x1 2 有 x1-2，即 x-3 或 x1 则 x(-，-3)(-1 ，)【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 ycos 4x-sin4x (cos 2x-sin2x)(cos2xsin 2x) =cos2x-sin2x =cos2x 令g(x)ycos 2x f(x)cosx 周期为 2，则 g(x) cos2x f(2x) f(2x+2) f2(x+)=g(x+) ycos 4x-sin4x 的周期为 【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 假设存在点
9、c(a，b)，使 g(c)0，则 f(x)，g(x)分别在区间a，c，c， b上用罗尔定理，得 j1(a，c) ， 2(c，b)，使得 g(1)g( 2)0，进而再在区间 1， 2上对 g(x)再用罗尔定理知了 3(1， 2)，使得 g( 3)0；但这与题设g(x)0 矛盾 所以在开区间(a ，b)内 g(x)0【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 在开区间(a，b) 内至少存在一点 ，使得 f()/g()=f“()/g“()设 F(x)f(x)g(x)-f(x)g(x) ，易知F(a)f(a)g(a)-f(a)g(a)0，F(b)f(b)g(b)-f(b)g(b) 0，在a ，b
10、上对 F(x)用罗尔定理，必存在 (a，b)，使 f()0F()F(x)xf(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x)xf(x)g(x)-f(x)g(x)xf()g()-f()g()0又因为 g()0，g()0 所以 f()/g()=f“()/g“() (a，b)【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 因为 f(x)为周期函数，设 T 为函数周期，则 f 2(xT)一f(xT)2f(x) 2f 2(x) f22(x)为周期函数，且周期为 T【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 f(x2T) f(xT2)f(x+2)f(x+2)为周期函数，且周期为 T【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 f(x)2g(x) ，则 f(xT)f(x)g(xT)f(x+T)2f(x)2g(x)f(x)2 为周期函数，且周期为 T.【知识模块】 函数、极限、连续
