1、考研数学一（函数、极限、连续，一元函数微分学）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2005 年试题，8) 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“ ”表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有( )（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数（C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数（D）F(x)是单调函数 f(x)是单调函数2 (1999 年试题，1) 设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则( )（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数（B）当 f(x
2、)是偶函数时，F(x)必是奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必是单调增函数3 (2003 年试题，二) 设a n，b n，c n均为非负数列，且则必有( )（A）a nn 对任意 n 成立（B） bnn 对任意成立（C）极限 不存在（D）极限 不存在4 (2010 年试题，1) 极限 等于( )（A）l（B） e（C） ea-b（D）e b-a5 (2008 年试题，4) 设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是( ) （A）若x n收敛，则f(x n)收敛（B）若 xn单凋，则f(x n)收敛（
3、C）若 f(xn)收敛，则x n收敛（D）若f(x n)单调，则x n收敛6 (2007 年试题，5) 设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f(x)0，令 un=f(n)=1，2， ， n，则下列结论正确的是( ) （A）若 u1u 2，则u n必收敛（B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散7 (2009 年试题，1) 当 x0 时，f(x)=x 一 sinax 与 g(x)=x2In(1 一 bx)为等价无穷小，则( )（A）a=1 ，b=（B） a=1，b=（C） a=1,b=（D）a=-1,b=8 (2007
4、 年试题，1) 当 x0 时，与 等价的无穷小量是( )（A）（B）（C）（D）9 (2004 年试题，1) 把 x0 +时的无穷小量 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )（A），（B） ，（C） ， （D）， 10 (2012 年试题，一) 设函数 f(x)=(ex 一 1)(e2x 一 2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=( )（A）(一 1)n-1(n 一 1)!（B） (一 1)n(n 一 1)!（C） (一 1)n-1n!（D）(一 1)nn!11 (2007 年试题，4) 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是(
5、)（A）若 存在，则 f(0)=0（B）若 存在，则 f(0)=0（C）若 存在，则 f(0)存在（D）若 存在，则，f (0)=012 (2005 年试题，7) 设函数 则 f(x)在(一，+)内( )（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点13 (2001 年试题，3) 设f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为( )（A） 存在（B） 存在（C） 存在（D） 存在14 (1998 年试题，2) 函数 f(x)=(x2 一 x 一 2)x3 一 x不可导点的个数是( )（A）3（B） 2（C） 1（D）015 (1999 年试题，2
6、) 设 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导16 (2006 年试题，7) 如图 1 一 22，设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f (x)0，缸为自变量 x 在点 x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0 ，则 ( )（A）00，则存在 0，使得( )（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(一 ，0)内单调减少（C）对任意的 x(0， 有 f(x)f(0)（D）对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)18 (2003 年试题，
7、1) 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数的图形如图 123 所示，则 f(x)有( )（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点19 (2001 年试题，1) 设函数 f(x)在定义域内可导， y=f(x)的图形如图 l 一 24 所示，则导函数 y=f(x)的图形为 ( )（A）（B）（C）（D）20 (2000 年试题，1) 设，(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且 f(x)g(x)一 f(x)g(x)（A）f(x)g(b)f(b)g(x)（B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(
8、x)g(b)f(b)g(b)（D）f(x)g(x)f(a)g(a)21 (2011 年试题，一) 曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3(x 一 4)4 的拐点是( )（A）(1 ，0)（B） (2，0)（C） (3，0)（D）(4 ，0)22 (2012 年试题，一) 曲线 渐近线的条数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）323 (2007 年试题，2) 曲线 ，渐近线的条数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）324 (2002 年试题，3) 设函数 y=f(x)在(0，+) 内有界且可导，则( ) （A） 时，必有（B）当 存在时，必有（C）当 时，必有（D）
9、当 存在时，必有二、填空题25 (2006 年试题，1) =_.26 (2003 年试题，1) =_.27 (1999 年试题，1) =_.28 (1998 年试题，1) _.29 (1997 年试题，1) =_.30 (2008 年试题，10) 曲线 sin(xy)+In(y 一 x)=x 在点(0，1)处的切线方程为_.31 (2004 年试题，1) 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_.32 (1997 年试题，3) 对数螺线 p=e在点 处的切线的直角坐标方程为_.33 (2010 年试题，9) 设 x=e-1 =_.34 (2002 年试题，2) 已知函数 y=
10、y(x)由方程 ey+6xy+x2 一 1=0 确定，则 y(0)=_35 (2005 年试题，1) 曲线 的渐近线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。36 (2000 年试题，三) 求37 (2011 年试题，三) 求极限38 (2008 年试题，15) 求极限39 (2002 年试题，三) 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)0，f (0)0，若 af(h)+bf(2h)一 f(0)在 h0 时是比 h 高阶的无穷小，试确定 a，b 的值40 (2006 年试题，16) 设数列x n满足 011，x n+1=sinxn(n=1，2，)(
11、I)证明 xn 存在，并求该极限；(II)计算41 (1998 年试题，七) 求42 (2012 年试题，三) 求函数 的极值43 (2010 年试题，16) 求 的单调区间与极值44 (2011 年试题，三) 求方程 karctanx 一 x=0 不同实根的个数，其中 k 为参数44 (2009 年试题，18)45 证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)可导，则存在(a， b)，使得 f(b)一 f(a)=f()(b一 a)；46 证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导， ，则 f+(0)存在，且 f+(0)=A47 (2007 年试题
12、，19) 设函数 f(x)，g(x)在a，b 上连续，在 (a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值 f(a)=g(n)f(b)=g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f()=g()47 (2005 年试题，18) 已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1证明：48 存在 (0，1)，使得 f()=1一 ；49 存在两个不同的点 ，(0，1) ，使得 f()f()=149 (2001 年试题，七) 设 y=f(x)在(一 1，1)内具有二阶连续导数且 f(x)0，试证：50 对(一 1，1)内的任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x
13、)=f(0)+xf(x)x)成立；51 52 (2012 年试题，三) 证明53 (2011 年试题，三)(I)证明：对任意的正整数 n，都有 成立；()设 证明数列a n收敛54 (2004 年试题，三) 设 e2，证明55 (1999 年试题，六) 论证：当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x一 1)256 (20l1 年试题，二) 曲 的弧长 s=_考研数学一（函数、极限、连续，一元函数微分学）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可知 f(x)为奇函数 为偶函数f(x)的全体原函数为偶函
14、数；F(x) 为偶函数F(一 x)=F(x)，则 F(一 x).(一 1)=F(x)，即 f(一 x)=一 f(x)F (x)=f(x)为奇函数，所以选 A解析二排除法，通过举反例来判断令 f(x)=6，则可取 F(x)=6x+1，排除 B 和 C；令 f(x)=6x，则可取 F(x)=3x2，排除 D，故综上选 A对于函数的另一大性质有界性，原函数与函数的关系如何?【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 A【试题解析】 首先将原函数 F(x)表示成 f(x)变上限的定积分，即则 再令 t=一 u，则如果 f(x)是奇函数，则 因此 F(x)是偶函数，从而知 A 是正确的下面分析 B，
15、C，D 的错误之处若 f(x)是偶函数，则 不能保证 F(一 x)=F(x)，B 错误；关于 C，D，可通过举一些简单反例来说明，如设 f(x)=sinx+1，则 F(x)=x 一 cosx+C，并非周期函数，因此排除 C；又设 f(x)=x，则 并非单调增函数，D 也排除综上，选A解析二特殊取值排除法令 f(x)=cosx+1，则 F(x)=sinx+x+1 时，选项 B，C 和 D均可排除，故应选 A奇偶性、周期性、单调性和有界性是函数的四个基本特征本题可以延伸考查函数 f(x)与原函数 F(x)的性质之间的关系，对于常见的结论或反例考生应予以掌握【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答
16、案】 D【试题解析】 取 ，可易排除 A、B 、C，故 D【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 C【试题解析】 故正确答案为 C【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在实数域内单调有界若x n也单调，则f(x n)单调有界，从而f(x n)是收敛的， B 选项正确解析二若 是单调有界的，且x n是收敛于 0 的，但f(x n)的数值总是在 1 和一 1 之间来回变化，足不收敛的，A 选项错误；若 f(x)=arctanx，x n=n，满足 C，D 选项的条件，但与结果相矛盾，C，D 选项均错误故应选 B【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答
17、案】 B【试题解析】 因 f(x)0，故 f(x)在(0，+)上单调递增若 u1u 2，则=fC(c1，2)0 ，即 n2 时，必有 f(n)fC0，u n=f(n)也单调递增，且随 n 的增大， f(n)增大，故 f(n)增大更快，故应选 D，即u n必发散解析二举反例排除法设 f(x)=一 Inx，满足题意，且 u1=u 2，但lnx=一 Inn发散，排除选项 A；设 f(x)= ，满足题意，且 u1u 2，但u n= 收敛，排除选项 B；设 f(x)=x2，满足题意，且 u1u 2，但u n=n2发散，排除选项 C；故应选 D【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 A【试题解析】
18、 f(x)=x sinax 与 g(x)=X2In(1 一 bx)为等价无穷小，则有即有 a3=一 6b 又存在，则 ，即 a=1，代入上式可得 故正确答案为 A解析二由泰勒公式 则，即有 a=1, 则 a=1，b= 故应选 A【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 B【试题解析】 常用的等价无穷小(当 x0 时)有：e x 一 1x，In(1+x)x，则对本题 A 选项 B 选项 C选项 D 选项 故应选 B掌握等价无穷小的同时，应注意其丰富多彩的变化如当 x+0 时，1 一 cosx 到【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 B【试题解析】 由题设，可行求出 ， ， 的一阶
19、导数如下：显然当 x0 +时 因此不足无穷小量， 是二阶无穷小量 为一阶无穷小量，所以 ， ， 分别为一阶、三阶、二阶无穷小，则按无穷小量的阶排序为 ， ， 选 B解析二可先进行两两比较，排出次序， 排除选项为 C、D 又，排除选项为 A故选 B解析三求出各无穷小量关于 x 的阶数，再进行比较 存在且不为零，知n=1： 存在且不为零，知，n=3；存在且不为零，知 n=2，故综上知，应选 B【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意有，x=0 时，(0)=0，由函数在一点处导数的定义，有f(0)=其中用到 x0 时，e x 一 1 一 x因此选 A【知识模块】 一
20、元函数微分学11 【正确答案】 D【试题解析】 根据选项为 A 的条件 故选项为 A 正确；根据选项为 B 的条件 。故选项为 B 也正确；根据选项为 C 的条件，存在，故选项为 C 也正确故综上知，正确答案为 D解析二举反例设 f(x)=x，则存在，但 f(0)是不存在的，D 选项错误，应选之一些常见的不可导函数，如 f(x)=x-x 0在点 x=x0 处不可导，应该掌握，应用时能快速地帮助解题【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 C【试题解析】 此题可先求 f(x)的表达式，再结合 f(x)的函数图形求得因为根据 y=f(x)的表达式以及其函数图形(见图 121)，可以得知 f(
21、x)在 x=1 处不可导(图形是尖点)，所以选 C本题综合考查了数列的极限和分段函数的导数问题分段函数的导数可通过求左右导数来判断和求解，若只判断导数是否存在，可借助于函数的图像【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 B【试题解析】 由题设已知 f(0)=0，则由导数定义 f(x)在 x=0 处可导的充要条件是极限 存在且有限，设 f(0)f(0)R关于选项为 A。因为只能确定 f(0+0)存在，无法确定 f(00)存在，因而 A 不一定成立关于选项为 B，因而 B 正确关于选项为 C，由存在不能确定 是否存在，因此 C 也被排除掉.关于选项为 D，由 存在不能肯定 存在，所以也就无法
22、推出 存在，综上，选 B实际上，当 h0 时，知 A 和 C 不正确；取 ,则其在 x=0 处不可导，但 排除选项为 D【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查可导的定义，需要对每个可能不可导的点用导数定义逐一分析由题设 f(x)中(x 2 一 x 一 2)项在全区间上可导，第二项 x3 一 x有三个零点一 1，0，1，结合 4 个选项，可知 f(x)不可导点个数最多有 3 个，且x 3 一 x在除三个零点外的其他任何点处都可导，因此应按导数定义分析 x=一 1，x=0 ，x=1三点的可导性首先， 又因此 f(一 1)=0，即 x=一 1 点可导；其次， 由于而
23、 因此 f(0)不存在，即 x=0 处不可导；最后同样，由于 。而因此 f(1)不存在，即 x=1 处不可导综上，选 B解析二利用函数x 一 x0在 x=x0 处不可导，而函数(x 一 x0) x 一 x0在 x=x0 处可导的结论可知，f(x)=(x 2 一 x 一 2)x 3 一 x=(x 一 2)(x+1)x(x 一 1)(x+1)=(x 一 2)(x+1)x+1.x.x 一 1在 x=0，1 处不可导，在 x=一 1 处可导故应选B一般来说，若 F(x)=f(x)g(x)，其中 g(x0)=0，g (x0)存在且不为零 f(x)在x=x0 处连续，则 F(x)在 x=x0 处可导铮 f
24、(x0)=0【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 f(x)为分段函数，且 f(0)=0，在 x=0 处，因为所以 f(x)在 x=0 处连续又从而 f(x)在 x=0 处可导，选D【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 A【试题解析】 由已知条件知,y=f(x)单调上升且是凹的由凹函数的性质 f(x0+x)f(x0)+f(x0)x(x0)即 f(x0+x)一 f(x0)f (x0)x0(x0)所以 0(x)0,f(x)0，根据泰勒公式得，f(x 0+x)=f(x0)+f(x0)x+ f()(x)2f(x 0)+f(x0)x 即有y=f(x0+x)一 f
25、(x0)f (x0)ax=dy，又x0，故而选 A【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 C【试题解析】 由题设 f(x)连续且 f(0)0，则由函数在一点可导的定义知，由此知存在 0，使得当 x(一 ，)时且当 x(一 ，0)时，f(x)f(0)，所以选 C若 f(a)0，同时有 f(x)在x=a 处连续，则 ，f (x)0，即而 f(x)在(a 一 ，a+) 内单调上升【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 C【试题解析】 f (x)的零点，即驻点是否成其为 f(x)的极值点，还需要考虑驻点左右两侧，f (x)的符号，同时 f(x)在其不可导点处也有可能取极值，也需要考虑
26、x=0 左右 f(x)的符号由题设，f (x)有 3 个零点，依次记为 x1，x 2，x 3 在 x1 的左右两侧，f(x)的符号从正变到负，因此 x1 为极大值点；在 x2 的左右两侧 f(x)的符号从负变到正，因此 x2 是极小点；在 x3 左右两侧 f(x)的符号从负变到正，所以 x 也是极小值点；在 x=0 点处，f (0)不存在。但 f(x)在 x=0 点处连续，且在 x=0 左右两侧 f(x)的符号从正变到负，故 x=0 为极大值点，综上所述，选 C 求极值点时，除了考查驻点处，还应注意不可导点若 f(x)在 x=x。处连续，但 f(x。)不存在，极值的第一判别法仍然适用【知识模块
27、】 一元函数微分学19 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查由八茹)的图形，确定，f (x)的图形首先要明确导数意义；其次应根据导数符号与单调性之间的关系加以判断由题设给出的 y=f(x)图形可知，在 x(x)0(x0 时，f(x)的变化趋势是先增后降再增，从而导数符号应有两次变号的地方，即导数先为正，变为 0 后再为负，变成 0 后再变为正，因此不难判断出只有D 的图形满足条件，选 D 注意 y=f(x)的图形中的曲线上升 (f(x)0)、下降(f (x)0)区间，驻点f (x0)=0个数，即可知正确答案【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 A【试题解析】 由题设 f(x)g(x
28、)一 f(x)g(x) 因此在区间a，b上严格单调递减，因而 ，从而可推出 f(a)g(x)f(x)g(a)和 f(x)g(6)f(b)g(x)，选 A【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 C【试题解析】 在区间 为凹函数；在区间为凹函数；在区间3，4上，f(x)为凸函数在点(3，0)左右函数凹凸性发生改变，所以(3，0) 为拐点故选 C【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 C【试题解析】 根据渐近线的定义可知 得直线 y=1 为已知曲线的水平渐近线，又由 ，得直线 x=1 为垂直渐近线，没有斜渐近线，选 C【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 D【试题解析】 则
29、 x=0 是该曲线的垂直渐近线即 y=0和 y=x 分别是曲线的水平和斜渐近线，共有 3 条，故应选 D若水平渐近线存在，则不再考虑斜渐近线但若 不存在时，就应讨论 x一和 x+两种情形，本题中，在 x0 的一侧有斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 B【试题解析】 由题设，可以对各选项通过举反例的方法来进行排除关于 A，令，由于 且 f(x)在(0，+) 上有界且可导不存在，所以 x+时 f(x)的极限存在，因此 A 可排除掉关于 C，D ，又令 f2(x)=sinx，则 f2(x)在(0，+) 上有界，且可导，又 即 C，D 的条件满足，但 因此 C，D 皆不成立对 B，
30、任取 x0，由拉格朗日中值定理，f(2x)一 f(x)=f().x，其中 x 存在，记为 f(+)=A，且 A 有限，则 在式 f(2x)一 f(x)=f().x 中令 x+得因 f(x)有界，于是综上，选 B(1)一般而言，涉及函数 f(x)与其导函数 f(x)的关系时，可想到用拉格朗日中值定理或微积分基本公式进行讨论(2)运用拉格朗日中值定理可以证明：设 f(x)在(0，+) 可导， 若 A0，则；若 A【知识模块】 一元函数微分学二、填空题25 【正确答案】 当 x0 时，ln(1+x)x，1cosx 一 x2，利用等价无穷小因子替换得【试题解析】 对于“ ”型未定式极限的求解，利用等价
31、无穷小等价代换求解最为简单【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 原式= 解析二用求指数型极限的一般方法，即原式=【试题解析】 对于“1”型未定式 limf(x)g(x)的极限，可借助于重要极限简化求解，或通过取自然对数的方法转为求 g(x)lnf(x)的极限【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 解析二直接运用洛必达法则，原式=【试题解析】 求解此类问题，应先用等价无穷小作等价代换，简化问题，然后再用洛必达法则求解代换时须注意是“整体”代换，即乘除项可直接代换，加减项则不能【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 求极限有多种方法，应在分析表达式的基础上灵活选取，
32、本题最直接的方法是采用洛必达法则，即 解析二解析三将原表达式中的 和进行麦克劳林级数展开，也可得出同样结果，即则【试题解析】 当分母(或分子)中为 xn 时，可考虑将分子 (或分母)用麦克劳林级数展开到 xn，再求极限时就非常简单了【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，若待求极限的表达式中含有 等时，洛必达法则往往失效，此时改用无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量来求解是最佳选择【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 先求曲线在点(0，1)处的斜率，即隐函数的求导对曲线方程两边求导数得 把 x=0u=1 代入上式得，y (0)=1，综上，所求切
33、线方程为 y 一 1=1(x 一 0)，即 y=x+1，【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 由题设，为求切线方程，只需知道切点坐标和切线斜率已知切线与直线 x+y=1 垂直，而直线 x+y=1 的斜率为一 1，则切线斜率为 1，由 y=lnx 知，令 ，则 x=1，从而 y=0，因此切点为(1，0)，综上，所求切线方程为 y 一 0=1.(x 一 1)，即 y=x 一 1【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 欲求切线方程，只要知道切线的斜率及其所经过的一个点，由题设，切线过点(p，)=( )，在直角坐标下，该点坐标为( )，下面应通过参数方程求导来得到斜率已知坐标下曲线方
34、程 =e则将 代入上式，则 ，所以切线方程为 解析二对数螺线方程 =e可化为隐函数方程 利用隐函数求导法，点( )处的导数为 y(0)=一1，故而所求切线方程为 即有【试题解析】 考生应熟练掌握直角坐标方程和极坐标方程之间的转换【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 因为【试题解析】 一般地，设 其中 (x)，(x)在某区间 I 上可导且当 xI 时有 a(x)，(x)b，则有 F(x)=f(x)(x)一 f(x)(x)(xI)【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 由题设，对方程求导，得 ey.y+6y+6xy+2x=0，化简得(e y+6x)y+6y+2x=0(1)再求一次
35、导，得(e y.y+6)y+(ey+6x)y+6y+2=0(2)将 x=0 代入题设中方程，可求出 y(0)=0，再次将 x=0，y(0)=0 代入(1)式，可求出 y(0)=0，最后将x=0，y(0)=0，y (0)=0 代入(2) ，可求出 y(0)=一 2【试题解析】 求隐函数在点 x=x0 处的一阶(二阶)导数，须通过原方程得到 y=y0，再将 x=x0，y=y 0 代入得到 y(或 y)中求出 y(x)(或 y(x0)【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 因为 又因为所以可以得出斜渐近线方程为【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。36
36、 【正确答案】 原式中两项单独的极限都不存在，但它们的左右极限都存在，只是不相等，因此应分别求原式的左极限与右极限，因为所以原极限为 1【试题解析】 形如f(x)，minf(x) ，g(x)本质上是分段函数，在求极限时应分段讨论，在求导数和积分时亦是如此此外，要注意 均不存在，但 可能存在考生的典型错误是将 分成两个极限去讨论，而这两个极限都不存在，就答原题的极限不存在要注意， 均不存在，但 g(x)可能存在【知识模块】 函数、极限、连续37 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续38 【正确答案】 这是“ ”型不定式解析二 x0 时 xsinx，用等价无穷小因子替换得作变量替换 t=s
37、inx 后再用洛必达法则得 解析三由于且 sin(sinx)=sinx 一 所以原极限=【试题解析】 有的考生这样做：这说明有的考生对最基本的极限运算法则和性质掌握不够还有的考生这样做：这里用 x 一 sinx 代替 sinxsin(sinx)结论是正确的，但要计算出 才行。如果当 x0 时 sinx x，sin(sinx)一 sinx，则 sinxsin(sinx)一 x 一 sinx 是错误的【知识模块】 函数、极限、连续39 【正确答案】 由题意知，h0 时 af(h)+bf(2h)一 f(0)是比 h 高阶的无穷小，因而由此可知结合 f(0)0但存在的事实，有(a+b1)f(0)=0
38、，从而 a+b=1，又根据 f(x)在 x=0 附近某邻域内具有一阶连续导数，则由洛必达法则因此 a+2b=0，所以 a=2，b=一 1解析二本题还可应用麦克劳林级数展开式，即 f(h)=f(0)+f(0)h+o(h)，f(2h)=f(0)+f (0)2h+o(h)，则 af(h)+bf(2h)一 f(0)=(a+b1)f(0)+(a+2b)f(0)h+o(h)，由已知 af(h)+bf(2h)一 f(0)是比 h 高阶的无穷小，因此有 同样可解得 a=2，b=一 1【试题解析】 若“函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数换成函数 f(x)在x=0 处可导 ”，则解析一中的洛必达
39、法则不可用【知识模块】 函数、极限、连续40 【正确答案】 (I)因为数列x n满足 01n+1=sinxn(n=1，2，)(已知)，所以02=sinx1 ，x 2=sinx11,03=sinx22 同理可得 0n+1=sinxnn 即 xn 单调下降有下界存在极限 xn=a 对方程 xn+1=sinxn 取极限，令 n+可得 a=sinaa=0又所以【知识模块】 函数、极限、连续41 【正确答案】 因为而由定积分的定义知 又由同理可知 综上，根据夹逼定理【知识模块】 函数、极限、连续42 【正确答案】 由于 fx1(x，y)=(1 一 x2) 令 fx=fy=0，得函数 f(x，y)的驻点为
40、(1，0)，(一 1，0)再求将(1，0)代入上面的 A，B，C 中，得 ，B 2 一 AC=一 2e-1 将(一 1，0)代入，B 2-AC=一 2e-1 【知识模块】 一元函数微分学43 【正确答案】 因为 所以令，则 x=0，x=1 ，因为 ，所以是极大值又 f(1)=4e-10，所以 f(1)=0是极小值因为当 x1 或一 1(x)0；当 x(x)【知识模块】 一元函数微分学44 【正确答案】 令 f(x)=karctanx 一 x， (1)当 k 一10，即 k1时 f(x)0(除去可能一点外 f(x) 所以方程只有一个根(2)当 k 一 10，即 k1 时，由 f(x)=0 得 当时 f(x) 时 ,f(x)0；当 时f(x) ，当 k1 时， t0令=(1+t2)arctant 一 t，显然 g(0)=0，因为 g(t)=2tarctant0，所以 g(f)g(0)=0(当 t0 时)，即 于是极小值 极大值又因为 所以方程有三个根，分别位于 内【知识模块】 一元函数微分学45 【正确答案】 作辅助函数 可验证 (x)满足：(a)=(b)=0；(x)在闭区间 a，b上连续，在开区间 (a，b)内可导由罗尔定理可得，在(a，b)内至少有一点 ，使 ()=0，即 故有f(b)一 f(a)=f()(b一 a)，命题得证【知识模块】 一元函数微分学
