1、考研数学一（向量代数和空间解析几何）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 a，b 均为非零向量，(a+3b)(7a 一 5b)，(a 一 4b)(7a 一 2b)，则向量 a 与 b的夹角为( )2 设 a，b，c 为非零向量，且 a=bc，b=c a，c=ab，则a+b+c=( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 已知曲面 z=4 一 x2 一 y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z 一 1=0，则点 P的坐标是( )（A）(1 ，一 1，2) （B） (一 1，1，2)（C） (1，1，2)（D）(一 1，一
2、1，2) 4 已知向量 a，b 的模分别为 a=2，b= ，且 a.b=2，则ab=( )（A）2（B） （C） （D）15 已知直线 L1：x+1=y 一 1=z 与直线 L2： 相交于一点，则 等于( )（A）0（B） 1（C）一 （D） 6 直线 1： 之间的关系是( )（A）L 1L2（B） L1 与 L2 相交但不垂直（C） L1L2 且相交（D）L 1，L 2 是异面直线7 函数 f(x，y ，z)=x 2y3+3y2z3 在点(0，1，1)处方向导数的最大值为( )（A） （B） （C） 117（D）1078 设可微函数 f(x，y，z) 在点(x 0，y 0，z 0)处的梯度向
3、量为 g，l=(0 ，2，2)为一常向量，且 g.l=1，则函数 f(x，y，z)在点(x 0，y 0，z 0)处沿 l 方向的方向导数等于( )9 在曲线 x=t，y= 一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（A）只有一条（B）只有两条（C）至少有三条（D）不存在10 设 L 是圆周 x2+y2=1，n 为 L 的外法线向量，u(x，y)= 等于( )（A）0（B） （C） （D）一 二、填空题11 过(1 ，1，一 1)，(一 2，一 2，2) 和(1，一 1，2) 三点的平面方程为_12 经过平面 1：x+y+1=0 与平面 2：x+2y+2z=0
4、 的交线，并且与平面 3：2xyz=0 垂直的平面方程是_13 与直线厶： 都平行，且经过坐标原点的平面方程是_，14 若 ，=6，3，一 2，而=14，则 =_15 设(ab).c=2，则(a+b)(b+c).(c+a)=_16 若 ， 是单位向量且满足 +=0，则以 ， 为边的平行四边形的面积S=_17 已知三个向量 a，b，c，其中 ca，cb，a 与 b 的夹角为 ，a=6，b=c=3 ，则(ab).c=_ 18 =_。19 设 z=xyz( )，其中 f(u)可导，则 xzx+yzz=_。20 设函数 u(x，y，z)= =_21 r= ，则 div(gradr) (1,2,2)=_
5、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 求经过直线 L： ，而且与点 a(a，1，2)的距离等于 3 的平面方程考研数学一（向量代数和空间解析几何）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知【知识模块】 向量代数和空间解析几何2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知 a，b，c 两两相互垂直，则a=bc=bc，b=ac，c=ab，由此可得a=b =c =1 ，故a+b+c=3【知识模块】 向量代数和空间解析几何3 【正确答案】 C【试题解析】 由面 z=4 一 x2 一 y 在点(x 0，y
6、 0，z 0)处的法线向量为(2x0，2y 0，1)由题设知， 则 x=y=1，代入 z=4 一 x2 一 y2 得z=2，故选 C。【知识模块】 向量代数和空间解析几何4 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 向量代数和空间解析几何5 【正确答案】 D【试题解析】 直线：L 1：x+1=y 一 1=z 的方向向量为 s1=(1，1，1)，直线 L2：的方向向量为 s2=(1，2，)显然 s1 与 s2 不平行，则 L1 与L2 相交于一点的充要条件是 L1 与 L2 共面，即【知识模块】 向量代数和空间解析几何6 【正确答案】 A【试题解析】 由题干知，【知识模块】 向量代数和空间解析
7、几何7 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x，y，z)=x 2y3+3y2z3 在点(0，1，1)处方向导数的最大值等于f(x，y，z)在点 (0，1，1)处梯度向量的模 gradf(0，1，1)=(0，6，9)，g= ， 故选 B【知识模块】 向量代数和空间解析几何8 【正确答案】 B【试题解析】 设 l 的方向余弦为 cos，cos，cos，则故选 B【知识模块】 向量代数和空间解析几何9 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 x=t，y=一 t2，z=t 3 在点 t=t0 处的切向量为 t=(1，一2t0，3t 02)平面 x+2y+z=4 的法线向量为 n=(1，2，1)由题设知
8、 n 上 t，即 14t0+3t02=0，则 t0=1 或 t0= ，故选 B【知识模块】 向量代数和空间解析几何10 【正确答案】 B【试题解析】 (n，y)，这里的 cos(n，x)，cos(n ，y)为曲线 L 的外法线向量的方向余弦，设 t 为 L 的逆时针方向的切线向量，则 cos(n，x)=cos(t，y)，COS(n，y)=cos(f，x) ，则【知识模块】 向量代数和空间解析几何二、填空题11 【正确答案】 x 一 3y 一 2z=0【试题解析】 设已知的三个点分别是 A(1，1，一 1)，B(一 2，一 2，2)和 C(1，一1，2)，因此可知向量 =(0，一 2，3) 平面
9、的法向量 n 与以上两个向量垂直，因此 n= =3i 一 9j 一 6k=(3，一 9，一 6)， 由点法式可得 3(x 一 1)一 9(y 一 1)一 6(z+1)=0，化简得 x 一 3y 一 2z=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何12 【正确答案】 3x+4y+2z+2=0【试题解析】 联立 1 与 2 的方程 取 x=0，可得点 P0(0，一1，1) 由所求平面过点 P0 且 1， 2 交线的方向向量 s 与 n3=(2，一 1，一 1)垂直，因此 故 的方程为 3z+4y+2z+2=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何13 【正确答案】 xy+z=0【试题解析】 设所求平面方
10、程是 Ax+By+Cz+D=0，根据题意可得解得 A=t，B=一 t，C=t 则所求平面方程是 txty+tz+0=0，即x 一 y+z=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何14 【正确答案】 26， 3，一 2【试题解析】 设 =，则= ，即 14= ， 解得=2，故 =26， 3，一 2【知识模块】 向量代数和空间解析几何15 【正确答案】 4【试题解析】 (a+b)(b+c).(c+a)=(a+b)b.(C+a)+(a+b)c.(c+a)=(ab).c+(bc).a=(ab).c+(ab).c=4【知识模块】 向量代数和空间解析几何16 【正确答案】 【试题解析】 令=，则以 ， 为边
11、的平行四边形的面积为【知识模块】 向量代数和空间解析几何17 【正确答案】 27【试题解析】 由题设可知 ab= absin(a，b)=63 =9 由于ca，cb，则 c(ab)，即 c 与 ab 之间夹角为 =0 或 因此，(ab).c=ab ccos=93(1)=27【知识模块】 向量代数和空间解析几何18 【正确答案】 1，1， 1【试题解析】 【知识模块】 向量代数和空间解析几何19 【正确答案】 2z【试题解析】 【知识模块】 向量代数和空间解析几何20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 向量代数和空间解析几何21 【正确答案】 【试题解析】 先求 gradr【知识模块】 向量代数和空间解析几何三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 把 L 的方程改为交面式 则经过 L 的平面可用平面束方程表示为 即 x+3y+2z+2=0 由点到平面的距离公式有从而 8 2+45 一 182=(+6)(8 一 3)=0 取 =6，= 一 1得 6x 一 3y 一 2z+4=0； 取 =3，=8 得 3x+24y+16z+19=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何
