1、考研数学一（向量代数和空间解析几何）模拟试卷 3 及答案与解析一、填空题1 已知 a1=1，2，3，a 2=2，3，x，a 3= 2，x，6 ()如 a1a2，则x=_； ()如 a1a3，则 x=_； ()如 a1，a 2，a 3 共面，则 x=_2 直线 L1： 与直线 L2： 的夹角为_3 与 a1=1，2，3，a 2=1，3，2都垂直的单位向量为_4 ()经过点 P(1，2，1)并且与直线 L： 垂直的平面 1 的方程是_；() 经过点 P 及直线 L 的平面 2 的方程是_5 ()经过点 P(2，3，1)且与平面：3x+y+5z+6=0 垂直的直线 L1 的方程是_；() 经过点 P
2、 且与直线 L： 垂直相交的直线 L2 的方程是_6 两个平行平面 1：2xy3z+2=0 ， 2：2xy 3z 5=0 之间的距离是_7 设().=2，则(+)(+).(+)=_8 与直线 L1： 及直线 L2： 都平行且经过坐标原点的平面方程是_9 经过两个平面 1：x+y+1=0， 2：x+2y+2z=0 的交线，并且与平面3：2x yz=0 垂直的平面方程是 _10 经过点 A(1，0，4) ，与直线 L1： 及 L2： 都相交的直线 L 的方程是_11 经过点 A(1，2，3) ，垂直于直线 L： 且与平面：7X+8Y+9z+10=0 平行的直线方程是_二、解答题解答应写出文字说明、
3、证明过程或演算步骤。12 试举例说明()()13 已知 =2，1，1 ，=1，3，1，试在 ， 所确定的平面内求与 垂直的单位向量 14 证明(，)2 222 并且等号成立的充要条件是 ， ， 两两垂直或者， 中有零向量15 用线性代数中的克拉默法则，对三元一次方程组求解16 已知向量 1， 2， 3 不共面，证明向量方程组( ， 1， 2)=a，(， 2， 3)=b，(， 3， 1)=c 的解可以表示为 = (b1+c2+a3)17 求经过直线 L： 而且与点 A(4，1，2)的距离等于 3 的平面方程18 证明 L1： 是异面直线，并求公垂线方程及公垂线的长19 求直线 L： 在平面：xy
4、+2z1=0 上的投影直线 L0 的方程，并求 L0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程20 圆柱面的轴线是 L： ，点 P0(1，1，0)是圆柱面上一点，求圆柱面方程21 设 a，b， c 为非零常数，求以曲线 ： 为准线，母线平行于l=(a，b，c)的柱面 S 的方程22 已知 ， 都是单位向量，夹角是 ，求向量 2+ 与3+2 的夹角23 若 ，=6，3，2，而=14，求 24 若 ， 是单位向量且满足 +=0，求以 ， 为边的平行四边形的面积25 已知 ， 不共线，证明 +=0 的充要条件是=26 把直线 L 的方程 化为对称方程27 直线 L1：x1= ， L 2：x+1=y1=z，(
5、)若 L1L2，求 ；()若L1 与 L2 相交，求 28 设平面 经过平面 1：3x4y+6=0 与 2：2y+z11=0 的交线，且和 1 垂直，求的方程29 已知平面：x4y+2z+9=0，直线 L： 试求在平面内，经过 L 与的交点且与 L 垂直的直线方程30 求点 M1(1，2，3)到直线 L： 的距离31 求点 M1(2，1，3)到平面：2x2y+z3=0 的距离与投影32 求直线 L： 绕 z 轴旋转一周所得旋转面的方程33 求以曲线 ： 为准线，l，m，n 为母线方向的柱面方程34 求曲线 在 yOz 平面上的投影方程考研数学一（向量代数和空间解析几何）模拟试卷 3 答案与解析
6、一、填空题1 【正确答案】 () () 4 ()4 或6【试题解析】 ()a 1a2 a1.a2=0，故 1.2+2.(3)+(3)x=0 ，得 x= ()a 1a3，得 x=4()a 1，a 2，a 3 共面(a1， a2，a 3)=0，故 =0，得 x= 4 或6【知识模块】 向量代数和空间解析几何2 【正确答案】 【试题解析】 两条直线的夹角也就是这两条直线方向向量的夹角，L 1 的方向向量S1=1， 2， 1已知，对 L2 应通过方程转换化其为标准方程或参数方程来求 L2 的方向向量 S2令 y=t，直线 L2 的参数方程是 得到 L2 的方向向量S2=1， 1， 2由于 cos= ，
7、所以 L1 与 L2 的夹角是【知识模块】 向量代数和空间解析几何3 【正确答案】 1， 1，1【试题解析】 用叉积，因为 ab 按定义与 a，b 都垂直，而a1a2= =5i+5j5k，可见与 a1，a 2 都垂直的向量是 c=l(i+jk)(l 为任意常数)再将其单位化 即为所求故应填： 1，1，1【知识模块】 向量代数和空间解析几何4 【正确答案】 ()x 3yz+4=0 ()6x+y+3x5=0 【试题解析】 () 由于 L1，L 的方向向量 S=1，3，1就是平面 1 的法向量，那么由点法式得 1 的方程是 (x1)+3(y2)+(z+1)=0，即 x3yz+4=0()点 M(2，4
8、，1)在直线 L 上，因而点 M 是平面 2 上的一点，于是=1，6，0与 S 是平面 2 上的两个不平行的向量，设 Q(x，y，z)是平面 2上的任一点，则 P ，S 共面，利用(711)有 =0，即 6x+y+3x5=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何5 【正确答案】 () ()【试题解析】 () 由于 L1，平面的法向量 n=3，1，5就是 L1 的方向向量S，故有 ()因 L2 与 L 垂直相交，所以直线 L2 在经过 P 点且以 L 的方向向量3，4，5为法向量的平面 1 上，则有 1：3(x2)+4(y+3)+5(z1)=0，即 3x+4y+5z+1=0同时，L 2 在经过 P
9、 点且经过直线 L 的平面 2 上，于是有 L2： =0，即 27x4y13z53=0故所求 L2 的方程是【知识模块】 向量代数和空间解析几何6 【正确答案】 【试题解析】 在平面 1 上任取一点，例如 P0(1 ，0，0)，P 0 到 2 的距离就是1， 2 之间的距离，代入(721)得【知识模块】 向量代数和空间解析几何7 【正确答案】 4【试题解析】 根据叉积有分配律等性质(78)有 (+)(+)=+再利用点积有分配律等性质(77)及混合积的性质(79)即得原式=().+().=2(，)=4 【注】 (，)，(， ，) ，是共面向量的混合积，全是零【知识模块】 向量代数和空间解析几何8
10、 【正确答案】 xy+z=0【试题解析】 直线 L1，L 2 的方向向量分别是 S1=0，1，1与 S2=1，2，1，设P(X，y，z)是平面 上任一点，则 ，S 1，S 2 共面，故混合积 ( ，S 1，S 2)=0，即=x+y z=0 ，亦即 xy+z=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何9 【正确答案】 3x+4(y+1)+2(z1)=0【试题解析】 用点法式设平面的法向量是 n=A，B，C，由于， 1， 2 交于一条公共直线，所以法向量 n，n 1，n 2 共面，且 n 可由 n1，n 2 线性表出，故可设 n=tn1+un2因为 3，故 n.n3=0，即 2(t+u) (t+2u)
11、2u=0，取 t=2，u=1 ，得到法向量 n=3，4，2 联立 1， 2，求 交点得(0，1，1)是平面 上一点，从而由点法式得： 3x+4(y+1)+2(z1)=0 【知识模块】 向量代数和空间解析几何10 【正确答案】 【试题解析】 所求直线 L 在过 A 点且过直线 L1 的平面 1 上，也在过 A 点且过直线 L2 的平面 2 上由于点 O(0，0，0)在直线 L1 上，那么 =1，0，4与S1=1， 2，3是平面 1 上的两个向量，设 P(x，y，z)是 1 上任一点，则=0，于是有 1 的方程=8x7y+2z=0类似地，B(1，2，3)在直线 L2 上， 共面，得 2 的方程 =
12、9x10y2z+17=0故所求的方程为【知识模块】 向量代数和空间解析几何11 【正确答案】 【试题解析】 用交面式所求直线在过点 A 以 L 的方向向量 S=4，5，6为法向量的平面 1 上，也在过 A 点以的法向量 n=7，8，9为法向量的平面 2上 1：4(x+1)+5(y2)+6(Z3)=0， 2：7(x+1)+8(y2)+9(z3)=0 ，故所求直线方程为【知识模块】 向量代数和空间解析几何二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 在平面上取三个彼此不平行的向量 ，于是 与 都是平面 的法向量按叉积的定义，() 与 ()都是平面口上的向量前者垂直于 ，后者
13、垂直于 ，显然它们不相等【知识模块】 向量代数和空间解析几何13 【正确答案】 n= =2，3，7 是平面的法向量，设=x，y，z，则由 及 n，有 得通解 k(5，8，2) T再单位化得 y=【知识模块】 向量代数和空间解析几何14 【正确答案】 按定义= sin 1， ( ， ，)=. cos 2，其中 2 是 与 的夹角， 2 是 与 的夹角，从而(，)2= 2 2 2sin21cos22 2 2 2=222，等号成立的充要条件是 sin21=1=cos22由此得 1= ， 2=0 或 即 ，且 ，于是即得结论【知识模块】 向量代数和空间解析几何15 【正确答案】 如记 1=a11，a
14、21，a 31， 2=a12，a 22，a 32， 3=a13，a 23，a 33，=b1，b 2，b 3，则方程组可改写成 x11+x22+x33=因为 23 与 2、 3 都垂直，用 23 对上式的两边作点积，有 x1(1， 2， 3)=(， 2， 3)当( 1， 2， 3)0时，x 1= 类似地 这就是线性代数中的克拉默法则 【知识模块】 向量代数和空间解析几何16 【正确答案】 由于 1， 2， 3 不共面，故 可由 1， 2， 3 线性表出，设=x11+x22+x33，用 23 作内积，则因 232，( 23).2=0同理( 23).3=0，得到(， 2， 3)=x(1， 2， 3)
15、 由( 1， 2， 3)0，故 x1=【知识模块】 向量代数和空间解析几何17 【正确答案】 把 L 的方程改为交面式 则经过 L 的平面可用平面束方程表示为 (x+1)+(3y+2z+2)=0，即 x+3y+2z+2=0由点到平面的距离公式(7 21) ，有 从而 82+4518 2=(+6)(83)=0取 =6，= 1 得 6x3y2z+4=0 ；取 =3，=8 得 3x+24y+16z+19=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何18 【正确答案】 L 1 的方向向量 S1=1，2，3，经过点 P1(0，0，0)，L 2 的方向向量 S2=1，1， 1，经过点 P2(1，1，2)由于(
16、，S 1，S 2)= =50所以 L1，L 2 是异面直线公垂线 L 的方向向量 S 与 S1，S 2都垂直，令 S=S1S2= =1，2，1，那么，经过 L1 并且与 S 平行的平面 1 的方程为 =0，整理得 4x+y2z=0经过 L2 并且与 S 平行的平面 2 的方程为 =0， 整理得 xz+1=0而平面 1 与 2 的交线即是 L1 与 L2 的公垂线 L(713)，故 公垂线的长(712)为d=【知识模块】 向量代数和空间解析几何19 【正确答案】 经过 L 作平面 1 与垂直，则 1 与的交线就是 L 在上的投影L 的方向向量 S=1，1，1，的法向量 N=1，1，2 是平面 1
17、 上的两个不共线向量，点 P0(1，0，1)是 L 上一定点设 P(X，y，z)是 1 上任一点，则 ，S，n 共面，即 1： =0， 即 x 3y2z+1=0，所以 L 在上的投影是【知识模块】 向量代数和空间解析几何20 【正确答案】 点 P0 到轴 L 的距离 d 就是圆柱面的底面半径，在 L 上取一点P1(0，1，2)，L 的方向向量 S=1，2，2，则用点到直线的距离公式(710)有设 P(x，y，z)是柱面上任一点，则 P 到轴线 L 的距离为 d，即S ，而S =2(z+2)+2(y1)，2xz 2，y12x ，从而(2y+2z+2)2+(2x+z+2)2+(2xy+1) 2=3
18、2，即所求圆柱面的方程【知识模块】 向量代数和空间解析几何21 【正确答案】 过 上 点(x 0，y 0，0) ，以 l=(a，b，c)为方向向量的直线方程是x=x0+ta，y=y 0+tb，z=tc， cx0=cxaz， cy 0=cybz 这些直线即柱面 S 上的点(x，y， z)满足 F(cx0，cy 0)=F(cxaz，cybz)=0即 S 上 点(x，y，z)满足F(cx az，cybz)=0 【知识模块】 向量代数和空间解析几何22 【正确答案】 =1 ， =1 ， .=cos(，)=cos (2+)(2+)=4+2.+2.+1=5+4. (一3+2).(一 3+2)=96. 一
19、6.+4=1312. =7 (2+).(一 3+2)=63.+4.+2=4+ cos(2+，一 3+2)=【知识模块】 向量代数和空间解析几何23 【正确答案】 设 =x，y，z，由 =26，3，一 2【知识模块】 向量代数和空间解析几何24 【正确答案】 记(，)=，则面积 S=sin=下求 .：由 +=0因此【知识模块】 向量代数和空间解析几何25 【正确答案】 设 +=0 +=0 一 =0 =同理，由+=0 +=0 =设 =，则(+)=+=0，(+)=+=0 ，(+)=+=0 ， 均与+ 共线 +=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何26 【正确答案】 先求 L 的方向向量再求一交点令
20、 x=0 得y=1， z=2因此直线 L 的方程为【知识模块】 向量代数和空间解析几何27 【正确答案】 ()1，2，.1，1，1=0 =3()L 1通过点(1 ，1，1) ，以(1，2，)为方向向量，L 2 通过点 (一 1，1，0)，以(1，1，1)为方向向量，则 L1 与 L2 共面 =2.( 一 2)+1.(21)=2一 3=0，此时 L1 与 L2 不平行因此， =【知识模块】 向量代数和空间解析几何28 【正确答案】 先求 1 与 2 交线的方向向量 1的法向量为3，一 4，0，过 1 与 2 交线上的点 (一 2，0，11) 与向量一 4一36， 3一 40平行 的方程【知识模块
21、】 向量代数和空间解析几何29 【正确答案】 () 先求 L 的方向向量 ()求L 与的交点 M0由 ()所求直线的方向向量 所求直线方程为 或求出过 L 与的交点 M0 且与 L 垂直的平面方程，它是2(x+3)+3(y+1)+2(z+5)=0，即 2x+3y+2z+19=0于是，所求直线方程为【知识模块】 向量代数和空间解析几何30 【正确答案】 直线 L 过 M0 点(0，4，3)，以 l=1，一 3，一 2为方向向量，则点 M1 到直线 L 的距离为【知识模块】 向量代数和空间解析几何31 【正确答案】 点 M1 到平面的距离 平面的法向量 n=2，一 2，1，过 M1 点以 n 为方
22、向向量的直线 L 的方程为 L：代入的方程 2(2+2t) 一 2(12t)+(3+t)一 3=0，解得 t= ，代入 L 的方程得 L 与的交点即点 M1 到平面的投影点【知识模块】 向量代数和空间解析几何32 【正确答案】 先写出 L 的参数方程 于是易得该旋转面的参数方程消去参数 t 与 得 x2+y2=4(1+t2)， 即 x 2+y2=4+ z2【知识模块】 向量代数和空间解析几何33 【正确答案】 曲线 的参数方程为 ，t，0)，以l，m，n 为方向向量的直线方程为由得 = ，最后代入得该柱面方程【知识模块】 向量代数和空间解析几何34 【正确答案】 将方程组(z2+y2)代入原方程得 (z2+y2)+22z 2=4，即(z 2+y2)2+32(y2 一 z2)=0因此求得在 yOz 平面上的投影【知识模块】 向量代数和空间解析几何
