1、考研数学一（向量代数和空间解析几何）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 a，b，c 为非零向量，则与 a 不垂直的向量是( )（A）(ac)b(a b)c。（B） b 。（C） ab。（D）a+(ab)a 。2 设 a，b 为非零向量，且满足(a+3b)(7a 一 5b)，(a 一 4b)(7a 一 2b)，则 a 与 b 的夹角 =( )3 已知向量 a，b 的模分别为 a=2，b= ，且 ab=2，则ab=( )（A）2。（B） 。（C） 。（D）1。4 已知 ab+bc+ca=0，则必有( )（A）a，b， c 两两相互平行。（
2、B） a，b，c 两两相互垂直。（C） a，b，c 中至少有一个为零向量。（D）a，b， c 共面。5 设有直线 l1： ，则直线 l1 与 l2 的夹角为( )6 已知两条直线 L1： ，平面 ：2x+7y+4z1=0，则 ( )（A）L 1。（B） L1。（C） L2。（D）L 1L2。7 设有直线 L1： ，则 L1 与 L2( )（A）相交于一点。（B）平行但不重合。（C）重合。（D）异面。8 设有直线 L： 及平面：4x 一 2y+z 一 2=0，则直线 L( )（A）平行于平面。（B）在平面 上。（C）垂直于平面 。（D）与平面斜交。9 设 a，b 为非零向量，满足a b=a+b
3、，则必有( )（A）ab=a+b。（B） a=b。（C） ab=0。（D）ab=0。10 直线 L1： 之间的关系是( )（A）L 1L2。（B） L1L2。（C） L1 与 L2 相交但不垂直。（D）L 1 与 L2 为异面直线。二、填空题11 过点 P(一 1，0，4)且与平面 3x 一 4y+z+10=0 平行，又与直线 L：相交的直线方程是_。12 两个平行平面 1：2xy 一 3z+2=0 与 2：2x y 一 3z 一 5=0 之间的距离是_。13 设直线 l 过点 M(1，一 2，0)且与两条直线 l1：，垂直，则 l 的参数方程为 _。14 曲面 x2+2y2+3z2=21 在
4、点(1，一 2，2) 处的法线方程为_。15 空间曲线 的参数方程为_。16 过点(2 ，0，一 3)且与直线 垂直的平面方程为_。17 曲线 x=t， y=一 t2，z=t 3 与平面 x+2y+z=4 平行的切线方程是_。18 设 z=z(x，y)由 zez2xy=3 确定，则曲面 z=z(x，y)在点 P0(1，2，0)处的切平面方程为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 求过两点 A(0，1，0) ， B(一 1，2，1)且与直线 x=一 2+t，y=14t ，x=2+3t 平行的平面方程。20 求通过坐标原点且垂直于直线 l： 的平面方程。21 求过点(1 ，2
5、，1) 与直线 l1： =y=一 z 相交且垂直于直线 l2：的直线方程。22 求直线 与平面 2x+y 一 z 一 6=0 的夹角。23 求点 P(1，2，一 1)到直线 l： 的距离 d。24 证明 L1： 是异面直线，并求公垂线方程及公垂线的长。25 求以曲线 为准线，母线平行于直线 x=y=z 的柱面过程。26 求直线 L： 在平面：x 一 y+2z 一 1=0 上的投影直线 L0 的方程，并求 L0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程。27 求曲线 C： 在 xOy 平面上的投影曲线方程。28 试确定过 M1(2，3，0)，M 2(一 2，一 3，4)及 M3(0，6，0)三点的平面方
6、程。29 求过点 A(一 1，2，3) 垂直于 L： 且与平面：7x+8y+9z+10=0 平行的直线方程。30 求直线 L1： 间的夹角。31 求直线 L： 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程。32 判断直线 L1： 和直线 L2：x+1=y 一 1=z 是否相交。如果相交求其交点，如果不相交求两直线间距离。33 求两曲面 x2+y2=z 与一 2(x2+y2)+z2=3 的交线在 xOy 平面上的投影曲线方程。34 圆柱面的轴线是 L： ，点 P0(1，一 1，0)是圆柱面上一点，求圆柱面方程。考研数学一（向量代数和空间解析几何）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只
7、有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 两向量垂直的充要条件为两向量的数量积为零，结合向量的运算法则对于(A)， a(a c)b 一(ab)c=0；对于(B)， ab 一 =0；对于(C) ，a(ab)=0；对于 (D)，aa+(a+b)a= a 20。因此选 D。【知识模块】 向量代数和空间解析几何2 【正确答案】 C【试题解析】 根据两向量垂直的充要条件可得【知识模块】 向量代数和空间解析几何3 【正确答案】 A【试题解析】 由已知条件，ab=ab cos。 故 ab=absin =2。 因此选 A。【知识模块】 向量代数和空间解析几何4 【正确答案】 D【试题解析】 由
8、 ab+bc+ca=0，知(ab) c+(bc)c+(ca)c=0，而(bc)c+(ca)c=0，则(ab)c=0，根据三向量共面的充要条件可知 a，b，c 共面，应选 D。【知识模块】 向量代数和空间解析几何5 【正确答案】 C【试题解析】 由直线方程可知 l1 的方向向量 s1=(1，2，1)，将直线 l2 化为标准式方程 ，可知 l2 的方向向量 s2=(1，1，2)。因此因此 = ，即正确选项为(C) 。【知识模块】 向量代数和空间解析几何6 【正确答案】 A【试题解析】 L 1 的方向向量 s1=(一 1，2，一 3)。L 2 的方向向量 s2=(3，I，2)。的法向量 n=(2，7
9、，4) ，由于 s1n= 一 12+2734=0，且 L1 上的点(I ，一 1，3)不满足平面的方程，故 L1，应选 A。 【知识模块】 向量代数和空间解析几何7 【正确答案】 D【试题解析】 直线 L1 和 L2 的方向向量分别为 s1= =(1，1，2)，s2=(2， 3，4)，显然 s1 与 s2 不平行，排除(B)，(C)。将直线 L2 方程写成参数式分别代入直线 L1 的两个平面方程中，得 2t 一(一 3+3t)一3=0，t 1=0； 3(2t)一(一 3+3t)一 4t 一 4=0，t 2=一 1， 由于 t1t2，故两直线不相交，两直线既不平行也不相交，即为异面直线。应选 D
10、。【知识模块】 向量代数和空间解析几何8 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L 的方向向量 s= =一 28i+14j 一 7k=一 7(4i 一2j+k)， 平面 的法向量 n=4i 一 2j+k，s n，即 L。应选 C。【知识模块】 向量代数和空间解析几何9 【正确答案】 D【试题解析】 a 一 b =a+b (a 一 b)(a 一 b)=(a+b)(a+b)，所以一2ab=2ab ，即 ab=0。故应选 D。【知识模块】 向量代数和空间解析几何10 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L1 的方向向量 s1=(2，3，4)，直线 L2 的方向向量 s2=(1，1，2)。因为 s1 与
11、 s2 的坐标不成比例，所以 L1 与 L2 不平行，又因为 s1s 2=21+31+42=130， 所以 L1 与 L2 不垂直，在 L1 上取一点 M1(0，一 3，0)，在 L2 上取一点 M2(1，一 2，2)，作向量(1 ，1，2)。混合积(s 1s2)=0 ， 所以 L1与 L2 共面，故 L1 与 L2 相交但不垂直。应选 C。【知识模块】 向量代数和空间解析几何二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 过 P(一 1， 0，4)且与平面 3x 一 4y+z+10=0 平行的平面方程是 3(x+1)一 4(y0)+(z 一 4)=0，即 3x 一 4y+z 一 1=0。 通过联
12、立方程可知，此平面与直线 的交点为(15，19，32)，即所求的直线过点 P(一 1，0，4)和(15， 19，32)，则所求直线的方向向量为(16，19，28)，故直线的方程为【知识模块】 向量代数和空间解析几何12 【正确答案】 【试题解析】 在平面 1 上任取一点 P0(一 1，0， 0)，P 0 到 2 的距离即为 1 与 2之间的距离，代入点到平面的距离公式得【知识模块】 向量代数和空间解析几何13 【正确答案】 【试题解析】 直线 l1 的方向向量为 s 1=(2，0，1)(1，一 1，3)=(1，一 5，一 2)，直线 l2 的方向向量为 s2=(1，一 4，0)，由题意，则直线
13、 l 的方向向量为s=s1s2=(一 8，一 2，1)。因此，直线 l 的参数方程为【知识模块】 向量代数和空间解析几何14 【正确答案】 【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+2y2+3z2 一 21，则 Fx=2x，F y=4y，F z=6z。于是法向量 n=(2x ，4y，6z) (1，2，2) =(2，一 8，12)，则法线方程【知识模块】 向量代数和空间解析几何15 【正确答案】 【试题解析】 将 y=z 代入到方程 x2+y2+z2=9 中，得 x2+2y2=9，即 =1。 令x=3cos，y= 的参数方程为【知识模块】 向量代数和空间解析几何16 【正确答案】 一 16x+
14、14y+11z+65=0【试题解析】 过已知直线的两个平面的法向量：n 1=(1，一 2，4)，n 2=(3，5，一2)，因此所求平面的法向量 n=n1n2=(一 16，14，11) ，则由已知可得所求平面方程为 一 16(x 一 2)+14(y0)+11(z+3)=0， 即一 16x+14y+1z+65=0。【知识模块】 向量代数和空间解析几何17 【正确答案】 【试题解析】 曲线的切向量 s=(1，一 2t，3t 2)，平面的法向量 n=(1，2，1)。由题意 sn=0，即 14t+3t2=0，得 t1=1，t 2= 。 当 t1=1 时，过点(1，一 1，1)，切向量为(1 ，一 2，3
15、) ；当 t2= (3，一 2，1) 。故所求的切线方程为【知识模块】 向量代数和空间解析几何18 【正确答案】 2x+y 一 4=0【试题解析】 将 P0(1，2 ，0)的坐标代入曲面方程，满足曲面方程，即点 P0 在曲面z=z(x，y) 上。 记 F(x，y，z)=ze z+2xy 一 3，则 Fx=2y，F y=2x，F z=1 一 ez，且有 F x(P0)=4， Fy(P0)=2， Fz(P0)=0。 于是可得曲面的切平面方程 4(x 一 1)+2(y 一2)+0(z 一 0)=0， 化简得 2x+y 一 4=0。【知识模块】 向量代数和空间解析几何三、解答题解答应写出文字说明、证明
16、过程或演算步骤。19 【正确答案】 设所求平面的法向量为 n=(a，b，c)，而已知直线的方向向量为s=(1，一 4，3)，A，B 两点连线 ：( 一 1，1，1) ，所以有 解方程得 a：b：c=7 ：4：3，因此可以取平面的法向量为 n=(7，4，3)，由点法式得平面方程为 7(x0)+4(y 一 1)+3(z 一 0)=0，即 7x+4y+3z 一 4=0。【知识模块】 向量代数和空间解析几何20 【正确答案】 直线 l 的方向向量 S=(1，一 1，1)(4，一 3，1) = =(2，3，1)，因为所求平面垂直于直线 l，故 s 平行于其法向量。又平面过点(0 ，0，0) ，则由点法式
17、，所求的平面力程为 2(x 一 0)+3(y 一 0)+(z0)=0，即 2x+3y+z=0。【知识模块】 向量代数和空间解析几何21 【正确答案】 显然，点(1，2，1)不在直线 l1 上。设过点(1，2，1)和直线 l1 的平面 1 的法向量为 n，取 l1 上的点(0，0，0)，则过点 (1，2，1)与(0，0，0)的直线 l1的方向向量 s1=(1，2，1)，于是 n= =一 3i+3j 一 3k，则平面 1 方程为一 3(x 一 1)+3(y 一 2)一 3(z 一 1)=0，即 x 一 y+z=0。 过点(1，2，1)且垂直于直线l2： 的平面方程为 2：3(x 一 1)+2(y
18、一 2)+(z1)=0，即 3x+2y+z一 8=0。 故所求直线方程为【知识模块】 向量代数和空间解析几何22 【正确答案】 直线的方向向量 s=(1，2，1) ，平面的法向量 n=(2，1，一 1)，直线与平面的夹角 满足 所以直线与平面的夹角为 。【知识模块】 向量代数和空间解析几何23 【正确答案】 如图 43 所示，直线过点 M0(1，一 1，2)，则有向量 s=(2 ，一1，3)， =(0，一 3， 3)。由点到直线的距离公式可知【知识模块】 向量代数和空间解析几何24 【正确答案】 L 1 的方向向量 s1=(1，2，3) 且经过点 P1(0，0，0)，L 2 的方向向量s2=(
19、1，1，I)且经过点 P2(1，一 1，2)。由于所以 L1，L 2 是异面直线。 公垂线 L 的方向向量 s 与 s1，s 2 都垂直，则 s=s1s2= =(一 1，2，一 1)，那么，经过L1 并且与 s 平行的平面 1 的方程为 =0，整理得 4x+y 一2z=0。经过 L2 并且与 s 平行的平面 2 的方程为 =0，整理得 x一 z+1=0。而平面 1 与 2 的交线即为 L1 与 L2 的公垂线 L，即【知识模块】 向量代数和空间解析几何25 【正确答案】 过曲线 上一点(x 0，y 0，z 0)且平行于直线x=y=z 的直线方程为 x 一 x0=yy0=zz0，消去方程组 中的
20、 x0，y 0，z 0 得 (2xy z)2+(2y 一 x 一 z)2+(2zzy)2=9，化简可得(x 一 y)2+(yz)2+(z 一 x)2=3，即为所求柱面方程。【知识模块】 向量代数和空间解析几何26 【正确答案】 将直线 L 的方程改写为一般式方程 ，则过 L 的平面束方程为 x 一 y 一 1+(y+z 一 1)=0，即 x+( 一 1)y+z 一(1+)=0。 当它与平面垂直时 (1，1，)(1，一 1，2)=0，即 1 一( 一 1)+2=0，解得 =一 2，代回到平面束方程，得过直线 L 且与平面垂直的平面方程为 x 一 3y 一 2z+1=0，因此 L0 的方程为 将
21、L0 的方程化为 于是 L0 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程为 x 2+z2=4y2+ (y 一 1)2，即 4x217y2+4z2+2y 一1=0。【知识模块】 向量代数和空间解析几何27 【正确答案】 从曲线方程中消去 z，得 x2+y2=1 一 z2=1 一(一 x 一 y)2，即x2+y2+xy= ，于是曲线 C 在 xOy 平面上的投影曲线的方程为【知识模块】 向量代数和空间解析几何28 【正确答案】 由于 =(一 2，3，0)，则平面的法向量因此，由点法式方程可知一 12(x 一 2)一 8(y 一 3)一 24(z 一 0)=0， 化简可得所求平面方程为 3x+2y+6z 一12
22、=0。【知识模块】 向量代数和空间解析几何29 【正确答案】 直线 L 的方向向量为 s=(4，5，6)，平面的法向量为n=(7，8，9) 。 因为所求直线与直线 L 垂直且与平面平行，所以所求直线的方向向量与 s=(4，5，6)及 n=(7，8，9)都垂直，所求直线的方向向量为 sn=(一 3，6，一 3)，于是所求直线为【知识模块】 向量代数和空间解析几何30 【正确答案】 直线 L1 的方向向量为 s1=(1，2，1)(1 ，一 2，1)= =4i 一 4k=4(1，0，一 1)。直线 L2 的方向向量为 s2=(1，一 1，一 1)(1，一 1，2)= =一 3i 一 3j=3(一 1
23、，一 1，0)。设直线 L1 与 L2 的夹角(即 s1 与 s2 的夹角)为 ，则【知识模块】 向量代数和空间解析几何31 【正确答案】 设(x，y，z) 为旋转曲面上任一点，它对应曲线 L 上的点为(x0，y 0，z 0)，由于绕 z 轴旋转，故 z=z0，则 x2+y2=x02+y02，又(x 0，y 0，z 0)满足，代入上式得 x2+y2=1+ ， 即所求旋转曲面的方程为 x2+y2 一 =1。【知识模块】 向量代数和空间解析几何32 【正确答案】 直线 L1 的方向向量 s1=(1，2，)，直线 L2 的方向向量为s2=(1，1，1)，可知 L1 与 L2 不平行。 点 A(1，一
24、 1，1) 为直线 L1 上的点，点 B(一1，1，0) 为直线 L2 上的点， =(一 2，2，一 1)。 直线 L1 和 L2 共面的充要条件是向量 s1，s 2， 混合积为零，即 当= 时，直线 L1 与 L2 相交， 时，直线 L1 与 L2 异面。 (1)当 =t，则 x=1+t，y=一 1+2t，z=1+ ，代入 x+1=y 一1=z 得 t=4。则 L1 与 L2 的交点为(5，7，6)。 (2) 当 时，根据两异面直线间的距离公式可得【知识模块】 向量代数和空间解析几何33 【正确答案】 在方程组 中消去 z，得(x 2+y2)2 一 2(x2+y2)一 3=0，等价变形为 (x2+y23)(x2+y2+1)=0，即有 x2+y2=3，故所求投影曲线方程为【知识模块】 向量代数和空间解析几何34 【正确答案】 点 P0 到轴线 L 的距离 d 即为圆柱面的底面半径，在 L 上取一点P1(0，1，一 2)，L 的方向向量 s=(1，2，一 2)，则根据点到直线的距离公式有设 P(x，y，z)是柱面 E 异于 P0 的任一点，则 P 到轴线 L 的距离仍为 d，即 ，而 s=(2y+2z+2，一 2x 一 z 一 2，y 一 12x)，即有(2y+2z+2)2+(2x+z+2)2+(2xy+1)2=32 为所求圆柱面的方程。【知识模块】 向量代数和空间解析几何
