1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为( )（A）3p(1-p) 2（B） 6p(1-p)2（C） 3p2(1-p)2（D）6p 2(1-p)22 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则P(XY)( )3 设 XN(， 2)，则随着 的增大，P|X-|：( )（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定4 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X
2、 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于( )（A）-1（B） 0（C） 12（D）1二、填空题5 设随机事件 A，B 及其和事件 AB 的概率分别是 04，03 和 06若 表示B 的对立事件，那么积事件 的概率 =_6 随机变量 X 的密度为： 且知 EX=6，则常数A=_，B=_7 对随机变量 X，Y，已知 3X+5Y=11，则 X 和 Y 的相关系数为_8 设 X1，X 2，X n 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和 S2 分别为样本均值和样本方差，若 +kS2 为 np2 的无偏估计量，则 k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
3、或演算步骤。9 某厂生产的各台仪器，可直接出厂的占 07需调试的占 03，调试后可出厂的占 08，不能出厂的(不合格品)占 02现生产了 n(，n2)台仪器(设每台仪器的生产过程相互独立)，求：(1)全部能出厂的概率；(2)恰有 2 台不能出厂的概率；(3)至少有 2 台不能出厂的概率10 3 架飞机(一长二僚) 去执行轰炸任务，途中要过一敌方的高炮阵地，各机通过的概率均为 08，通过后轰炸成功的概率均为 03，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功，求最终轰炸成功的概率11 设随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 Y=eX 的概率密度 fY(y)11 设二维随机变量(X，Y
4、)的概率密度为 求：12 (X， Y)的边缘概率密度 fX(x)，f Y(y)；13 Z=2X-Y 的概率密度 fZ(z)，14 设 XU(0，1) 且 X 与 Y 独立同分布，求 = 的分布函数(U(0，1)表示区间(0，1)上的均匀分布 )F(u)15 设随机变量 X 与 Y 独立，且 XN(1，2)，Y N(0，1)，试求随机变量 Z=2X-Y+3 的概率密度函数16 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 3 的次数，求 Y2 的数学期望。17 随机变量 X 可能取的值为-1，0，1且知 EX=01，EX 2=09，求 X 的分布列18 在
5、ABC 中任取一点 P，而ABC 与ABP 的面积分别记为 S 与 S1，若已知S=12，求 ES119 设总体 XN(， 2)(0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，X 2，X 2n(n2)，其样本均值的数学期望 E(Y)20 设 k 个总体 N(， 2)(i=1，k)相互独立，从第 i 个总体中抽得简单样本：Xi1，X i2，20 设总体 X 的概率密度 其中参数 (0)未知，X1，x 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本21 求参数 的矩估计量；22 求参数 的最大似然估计量23 设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，其中 0 为未知参数，而X1，X n 为从 X 中抽得的简单样本
6、，试求 的矩估计和最大似然估计，并阀它们是否是 的无偏估计?24 一批矿砂的 4 个样品中镍含量测定为()：325，326，324，325设测定值总体服从正态分布，问在 =001 下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值为 326(t 0995 (3)=58409，下侧分位数)考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 P第 4 次射击恰好第 2 次命中目标)=P前 3 次射击恰中 1 枪，第 4次射击命中目标)=P前 3 次射击恰中 1 枪)，P 第 4 次射击命中目标=C 31p(1-p)
7、2p=3p 2(1-p)2【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由题意，X，Y 的概率密度分别为则(X，Y) 的(联合)概率密度为=0+4e-4ydy0ye-xdx=0-(1-e-y)4e-4ydy=0+4e-4ydy 一 40+e-5ydy【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 P(|X-|)=P(-X-)=P(-1 1)=(1)-(-1)，可见应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 X+Y=n，Y=n-X故 DY=D(n-X)=DX，cov(X ，Y)=cov(X，n-X)=-cov(X，X)=-DX X
8、和 Y 的相关系数 XY= =-1【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题5 【正确答案】 0.3【试题解析】 由已知得：06=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=04+0 3-P(AB)得P(AB)=01 故 =P(A-B)=P(A)-P(AB)=04-01=03【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 这是指数分布，可知 =A=-B，而 6=EX=【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 -1 或【试题解析】 ，(X，y)的相关系数为-1(若 Y=aX+b)，则(X， Y)的相关系数为 )【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 -1【试题解析】 设
9、总体为 X，财知 XB(n，p)，EX=np，DX=np(1-p)E =np，ES 2=np(1-p)由题意得 np2=E( +kS2)=E +kES2=np+knp(1-p)故得k=-1【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 对一台仪器而言，记 A=可直接出厂，B=最终能出厂 ，则 ，P(A)=07，P(B| )=08，P(B)=P(A)+ =094，故(1)C nn094 n(1-094) n-n=094 n；(2)C nn-2094 n-2006 2；(3)1-C nn094 n-Cnn-1094 n-1006=1-094 n-n
10、0 06094 n-1。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 设长机为 A，另 2 架僚机分别为 B、C，记 A1=A 通过高炮阵地，B1=B 通过高炮阵地 ，C 1=C 通过高炮阵地)，A 2=A 轰炸成功，D=最终轰炸成功)，则【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 Y 的分布函数 FY(y)=P(Yy)=P(eXy)当 y0 时，F Y(y)=0，f Y(y)=FY(y)=0 当 y0 时，F Y(y)=P(Xlny)=-lnyfx(x)dx【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 f X(x)=-+f(x，y)dy 当 x0
11、或 x1 时，f X(x)=0；当 0x1 时，fX(x)=02x1dy=2x，故 fY(y)=-+f(x，y)dx 当 y0 或 y2 时，fY(y)=0； (积分的讨论和定限可参考图(a)【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 Z 的分布函数为：当 即 x2 时，F Z(z)=1，F Z(z)=FZ(z)=0(参见图(b)； 当 即 z0 时，F Z(z)=0，F Z(z)=FZ(z)=0(参见图(c) ； 当 即 0z2 时，【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 由题意，(X，Y)的概率密度为u0 时，F(u)=0；u1 时，F(u)=1； 其中 G 见图 1 中阴
12、影部分；其中 D 见图 2 中阴影部分，【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 EX=1，DX=2 ，EY=0 ，DY=1 EZ=E(2X-Y+3)=2EX-EY+3=21-0+3=5DZ=D(2X-Y+3)=4DX+DY=42+1=9 由正态分布的性质知： ZN(5，9)【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 所以 EY2=DY+(EY)2=1+22=5【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由题意，X 的分布列可设为： 且知：a+b+c=1，01=EX=-a+c ，09=E(X 2)=(-1)2a+1 2c=a+c可解得a=04，b=01，c=05，代回分布列
13、表达式即可【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 如图建立坐标系， 设 AB 长为r，ABC 高为 h，c 点坐标为(u，h)，设ABC 所围区域为 G，则 G 的面积又设 P 点坐标为 (X，Y)，则随机变量(X ，Y)在 G 上服从均匀分布，其概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 若记 Yi=Xi+Xn+i，i=1 ，2，n 则知 Y1，Y n 独立同分布，有EYi=EXi+EXn+i=2DYi=DXi+DXn+i=2+2=22，Y iN(2，2 2)i=1，2，n由正态总体(这里看成YN(2，2 2)为总体，Y 1，Y n 为样本) 的结论可知【知识模块】
14、 概率论与数理统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由 EX=-+xf(x)dx=0+2x2e-xdx= 为 的矩估计【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 似然函数为当x1，x 2，x n0 时，lnL=2nln+ln(x 1xn)-故 为 的最大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设这批矿砂的镍含量为总体 X，则 XN(， 2)，检验H0：= 0，这儿 0=326 ，n=4 ，拒绝域为：=002920 ，可见 | -0| ，故接受 H0【知识模块】 概率论与数理统计
