1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B 为两个随机事件，且 B A，则下列式子正确的是( )（A）P(A+B)=P(A)（B） P(AB)=P(A)（C） P(B|A)=P(B)（D）P(B 一 A)=P(B)一 P(A)2 设 A 和 B 为任意两不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有( )3 设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，则 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)的充要条件是( )（A）P(A|C)=P(4)（B） P(B|C)=P(B)（C） P(AB|C)=P(AB)（D）P(
2、B|AC)=P(B|C)4 设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)一定是( )（A）可积函数（B）单调函数（C）连续函数（D）可导函数5 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是( )（A）X=Y（B） PX=Y=0（C） Px=Y=（D）PX=Y=1 6 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( )7 设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=XY， V=X+Y，则随机变量 U 与 V 必然( )（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零8 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且方
3、差 D(X)0，D(Y)0，则( )（A）X 与 X+Y 一定相关（B） X 与 X+Y 一定不相关（C） X 与 XY 一定相关（D）X 与 XY 一定不相关9 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，则根据辛钦大数定律，依概率收敛于其数学期望，只要X n：n1( )（A）有相同的期望（B）有相同的方差（C）有相同的分布（D）服从同参数 p 的 0 一 1 分布10 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， 与 S2 分别是样本均值与样本方差，则( )11 假设总体 X 的方差 D(X)存在，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其均
4、值和方差分别为 X，S 2，则 E(X2)的矩估计量是( )二、填空题12 已知事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b如果事件 C 发生必然导致事件A 与 B 同时发生，则事件 A，B，C 均不发生的概率为_13 袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是_14 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X2 在(0，4)内的概率分布密度 Fy(y)=_15 若在区间(0，1) 上随机地取两个数 u，则关于 x 的一元二次方程 x2 一2x+u=0 有实根的概率为_16
5、 设随机变量 X 的密度函数 且 P1X2=P2X3，则常数 A=_；B=_；概率 P2X 4=_；分布函数 F(x)=_17 假设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立且都服从 0 一 1 分布：PX i=1=p，PX i=0=1 一 p(i=1， 2，3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 ，则 p=_18 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布，E(X i)=，D(X i)=8(i=1，2， ，n)，则概率19 已知 且 n 维向量 1， 2， 3 线性无关，则1+2， 2+23，X 3+Y1 线性相关的概率为_20 设二维随机变量(X，Y)服从 N(
6、，； 2， 2；0)，则 E(XY2)=_21 设总体 X 的概率密度函数为 f(x)= (一 x+)，X 1，X 2，X n 为总体 X 的简单随机样本，其样本方差为 S2，则 E(S2)=_22 设 X1，X 2，X n 为来自总体 XN( ， 2)的简单随机样本，记样本方差为S2，则 D(S2)_23 设总体 X 的概率密度函数为 其中 0 1 是位置参数，c 是常数， X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则c=_； 的矩估计量 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 已知 P(A)=05，P(B)=07，则()在怎样的条件下， P(AB)取得最大值?
7、最大值是多少?()在怎样的条件下， P(AB)取得最小值?最小值是多少?25 设随机变量 X 的概率密度为 ()求 Y 的分布函数；()求概率 PXY26 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从参数为 p 的几何分布，即 PX=m=pgm一 1，m=1 ，2 ，0p 1，q=1 一 p，Y 服从标准正态分布 N(0，1)求： ()U=X+Y 的分布函数； ( )V=XY 的分布函数27 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 的次数，求 Y2 的数学期望28 灯泡厂从某日生产的一批灯泡中抽取 10 个灯泡进行寿命试验，得到灯泡寿命(h)的数
8、据如下：1050 1100 1080 1120 12001250 1040 1130 1300 1200求该日生产的整批灯泡的寿命均值及寿命方差的无偏估计值29 已知总体 X 是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2 且 PX=2=(1 一 )2，E(X)=2(1 一 )( 为未知参数 ) ()试求 X 的概率分布； () 对 X 抽取容量为10 的样本，其中 5 个取 1，3 个取 2，2 个取 0，求 的矩估计值、最大似然估计值；()求经验分布函数30 进行 5 次试验，测得锰的熔化点() 如下：1269 1271 1256 1265 1254已知锰的熔化点服从正态分布，是否可以认为锰
9、的熔化点显著高于 1250?(取显著性水平 =001)考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 如图 12 所示，可见 A+B=AB=AAB=AB=BBA= 于是P(A+B)=P(A)，P(AB)=P(B)，P(BA)=P( )=0，故选项 A 正确C 选项只有当P(A)=1 时才成立【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 因为故应选 C【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，指在 C 发生的条件下，A
10、 与 B 独立，所以“在 C 发生的条件下，A 发生与否不影响 B 发生的概率”，即 P(B|AC)=P(B|C)，故选择 D选项 A、B、C 分别是 A 与 C、B 与 C、AB 与 C 独立的充要条件【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 根据概率密度的定义，f(x)满足对任何实数 x，F(x)=Pxx= 一 xf(t)dt，因此 f(x)一定是可积函数，但是 f(x)可以是分段函数，比如，a，b上的均匀分布随机变量 X 属连续型，而其概率密度 f(x)在( 一，+)内不是单调函数，且在x=a，b 两点不连续，当然亦不可导，因此不能选 B、C、D ，选项 A 正确【知
11、识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 因为随机变量 X 和 Y 可以取不同的值，所以排除选项 A，D又因为 X 和 Y 也可以取相同的值，所以排除选项 B，故选项 C 正确【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 XN(0，1)与 YN(1 ，1)以及 X 与 Y 相互独立，得X+YN(1，2)，XYN(一 1，2) 因为，若 ZN(， 2)，则必有比较四个选项，只有选项 B 正确【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 Cov(U，V)=E(UV)一 E(U)E(V)=E(X 2 一 Y2)一 E(XY) E(X+Y)=
12、E(X2)一 E(Y2)一E(X) 2+E(Y)2=D(X)一 D(Y)=0因此 U 与 y 的相关系数为零，故选 D【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 直接根据计算协方差来判断，已知 X 与 Y 独立，故 Cov(X，Y)=0， Coy(X，X+Y)=Coy(X，X)+Cov(X，Y)=D(X) 0 所以 X 与 X+Y 一定相关，应选 A 又由于 Cov(X，XY)=E(X 2Y)一 E(X)E(XY) =E(X 2)E(Y) 一 E2(X)E(Y) =E(X2)一 E2(X)E(Y) 故选项 C、D 有时成立，有时不成立【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案
13、】 D【试题解析】 由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X1，X 2，X n，相互独立的条件之外，还要求 X1，X 2，X n，同分布与期望存在只有选项 D 同时满足后面的两个条件，应选 D【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 根据正态总体抽样分布公式知故选项 D 正确【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 根据矩估计量的定义确定选项，因为 E(X2)=D(X)+E2(X)，而 D(X)与 E(X)矩估计量分别为【知识模块】 概率与数理统计二、填空题12 【正确答案】 (1a)(1b)【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】
14、【试题解析】 设事件 A=第一个人取出的球是黄色的，事件 B=第一个人取出的球是白色的 ，事件 C=第二个人取出的球是黄色的，则有【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 首先求出在(0，4)上 Y 的分布函数 FY(y)当 0y4 时，有【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A=“方程 x22vx+u=0 有实根”，因 u， 是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(u，)与正方形区域 D 内的点一一对应(如图 24 所示)，其中D=(u，)|0u 1，01事件 A=(u，)|(2) 24u0，(u ，) D，阴影 D1满足事件 A，其中 D
15、1=(u，)| 2u，0u ，1利用几何型概率公式，有【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 设 =X1X4 一 X2X3，则 P 应使 P0=PX 1X4 一X2X30=PX 1X4X 2X3，由于 Xi 仅能取 1 或 0，且相互独立，故事件X1X4X 2X3=X1X4=1，X 2X3=0，所以 =PX1=1，X 4=1，X 2=0，X 3=0+PX1=1，X 4=1，X 2=0， X3=1+PX1=1，X 4=1，X 2=1，X 3=0=p2(1 一 p)2+p3(1 一p)+p3(1 一 p)=p2(1
16、 一 p2)=p2 一 p4，则 p4 一 p2+【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据于随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布，因此有根据切比雪夫不等式，有【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，所以“ 1+2， 2+23，X 3+Y1 线性相关” +2Y=0”，故所求的概率为【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 3+2【试题解析】 由于 =0，根据二维正态分布的性质可知随机变量 X，Y 独立，因此 E(XY2)=E(X)E(Y 2)已知 (X，Y)服从 N(，； 2， 2；0)，则 E(X)
17、=， E(Y2)=D(Y)+E2(Y)=2+2，故 E(XY2)=(2+2)=3+2【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 2【试题解析】 显然 E(S2)=D(X)，而 D(X)=EXE(X)2【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 【试题解析】 根据题意可知，【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 () 由于 ，因此 P(AB)P(A)，P(AB)P(B)，即P(AB)minP(A)，P(B)已知 P(A)=05，P(B)=07，所以 P(AB)minP(
18、A)，P(B)=P(A)=05，P(AB)的最大值是 05，P(AB)=P(A)=05 成立的条件是AB=A，即 A B( )根据概率运算的加法原理，P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=05+07 一 P(AB)=12 一 P(AB)，因此可得 P(AB)=12 一 P(AB）因为P(AB)1，所以 P(AB)=12 一 P(AB121=02，即 P(AB)取得的最小值是02，故 P(AB)=02 成立的条件是 P(AB)=1，即 AB=。【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 () 根据题意可知随机变量 Y 的取值区间为 1，2，Y 的分布函数为 F(y)=PYy当 y1
19、时，F(y)=0 ；当 y2 时，F(y)=1 ；当 1y2 时，F(y)=Pyy=JPy1+P1Yy=PX2+P1 xy 所以 Y的分布函数为 ()根据概率的性质可得，PXy=1一 PxY=1 一 PX2=【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 () 根据全概率公式有【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 由于样本均值 是总体均值 的无偏估计量，样本方差 S2 是总体方差 2 的无偏估计量，因此该日生产的灯泡寿命均值 的无偏估计值为该日生产的灯泡寿命方差 2 的无偏估计值为【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 () 设
20、 X 的概率分布为 PX=0=P0，PX=1=p 1，PX=2=p 2，根据题设知 p2=(1)2，又 E(X)=2(1)=0p0+1p1+2p2=p1+2p2=2(1)，解得p1=2(1 一 )一 2(1 一 )2=2(1 一 )，而 p0+p1+p2=1，所以 p0=1 一 p1p2=2，X 的概率分布为 ()根据定义求矩估计值、最大似然估计值，=E(x)=2(1 一 )，解得 于是 的矩估计量将样本值代入得 的矩估计值为【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 根据题意，原假设和备择假设分别为H0：=1250， H1： 1250 根据已知数据计算得样本均值和标准差为 =1263，S765 ，选取的 t 统计量为 已知 0=1250，n=5 ，并将样本均值和标准差代入得 显著性水平 =001，因此临界值为 t(n 一 1)=t001 (4)=375因为 tt 0(n 一 1)，所以拒绝原假设而接受备择假设，认为锰的熔化点显著高于 1250【知识模块】 概率与数理统计
