1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有( )（A）C 与 AB 独立（B） C 与 AB 不独立（C） AUC 与 B 独立（D）AUC 与 B 不独立2 随机事件 A 与 B 互不相容，0P(A)1，则下列结论中一定成立的是( )（A）AB=（B）（C） A=B（D）3 已知 0P(B)1，且 P(A1+A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)，则下列选项成立的是( )（A）（B） P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A
2、2B)（C） P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B)（D）P(B)=P(A 1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)4 设随机变量 X 在0，1 上服从均匀分布，记事件则( )（A）A 与 B 互不相容（B） B 包含 A（C） A 与 B 对立（D）A 与 B 相互独立5 设随机变量 X 的密度函数为 fX(x)，Y=一 2X+3，则 Y 的密度函数为( )6 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其分布函数分别为 FX(x)与 FY(y)，则Z=maxX，Y的分布函数 FZ(z)是( )（A）maxF X(z)，F Y(z)（B） FX(z)+FY(z)一 FX(z)FY(z)（
3、C） FX(z)FY(z)（D）7 设相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从 P(1)分布，则 PX=1|X+Y=2的值为( )8 已知随机变量 X 与 Y 的相关系数为 且 0，Z=aX+b，则 Y 与 Z 的相关系数仍为 的充要条件是( )（A）a=1 ，b 为任意实数（B） a0，b 为任意实数（C） a0，b 为任意实数（D）a0 ，b 为任意实数9 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，S n=X1+X2+Xn 则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X1，X 2，X n( )（A）有相同的数学期望（B）有相同的方差（C）服从同一指数
4、分布（D）服从同一离散型分布10 假设总体 X 服从参数为 的泊松分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其均值为 ，方差为 S2已知为 为 的无偏估计，则 a 等于( )（A）一 1（B） 0（C）（D）111 设 是从总体 X 中取出的简单随机样本 X1，X 2，X n 的样本均值，则 是 的矩估计，如果( )（A）XN(， 2)（B） X 服从参数为 的指数分布（C） PX=m=(1 一 )m 一 1，m=1，2，（D）X 服从0，上均匀分布二、填空题12 设 A，B，C 是两两相互独立的随机事件，且这三个事件不能同时发生，它们的概率相等，则 P(ABC)的最大值为
5、_13 设 10 件产品有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_14 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布， 则PX+Y=0=_；PY =_15 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 Px=E(X2)=_16 已知(X，Y)的概率分布为 且 PX2+Y2=1=05，则 PX2Y2=1=_17 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 则PX+Y1=_18 设随机变量 X 和 Y 的联合分布为 则 X 和Y 的协方差 C0v(X，Y)=_19 设随机变量 X 的密度函数为 一 z+则 E(X)：_，D(x)=_20 设 X1
6、，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本， Y=a(X1 一 2X2)2+b(3X3 一 4X4)2，则当 a=_，b=_ 时，统计量服从 2 分布，自由度为_21 设总体 X 服从(a，b)上的均匀分布， X1，X 2， ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 a，b 的矩估计量为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 随机变量 X 在 上服从均匀分布，令 Y=sinX，求随机变量 Y 的概率密度23 设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为 P(=i)=i=1， 2，3 又设 X=max(，)，y=min
7、( ，)( )写出二维随机变量的分布率：()求随机变量 X 的数学期望 E(X)24 将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒记 X 为 1 号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目求：()(X，Y) 的联合概率分布；()Y 的边缘分布；()在 X=0 条件下，关于 Y 的条件分布25 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 fU()； ()V=|XY| 的概率密度 fV()26 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记Yi=Xi ，i=1，2， n求：()Y i 的方差 D(Yi
8、)，i=1 ，2，n；()Y 1 与Yn 的协方差 Cov(Y1，Y n)27 设随机变量 X 的概率密度为 令 Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y) 的分布函数() 求 Y 的概率密度 fY(y)；()求28 设总体 X 的分布函数为 其中未知参数1，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求： () 的矩估计量；() 的最大似然估计量29 设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本， ()求 的矩估计量和最大似然估计量；() 求常数 a，b，使 的数学期望均为 ，并求30 检查产品质量时，在生产过程中每次抽取 10
9、 个产品来检查，抽查 100 次，得到每 10 个产品中次品数的统计分布如下：利用 2拟合检验准则检验生产过程中出现次品的概率是否可以认为是不变的，即每次抽查的 10 个产品中的次品数是否服从二项分布(取显著性水平 =005)考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 A、B：P(C(A 一 B)= =P(AC)一 P(ABC)=P(A)P(C)一 P(ABC)， P(C)P(AB)=P(C)P(A)一 P(AB)=P(A)P(C)一 P(A)P(B)P(C)尽管A，B，C 两两
10、独立，但未知 A，B，C 是否相互独立，从而不能判定 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立，故选项 A、B 均不正确与题设 P(A)，P(B) ，P(C)(0 ，1)矛盾，故排除 C 选项，应选 D【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 将题设条件两边乘以 P(B)，得 P(A 1+A2)B=P(A1B)+P(A2B)，P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)， 由乘法公式可知，上式即为选项 B，故选项 B 正确【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 如图 21 可立即得
11、到正确选项为 D，事实上，由题设可知【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 y=一 2x+3 是 x 的单调可导函数，其反函数根据随机变量函数的公式：【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=Pmax(X，Y)z=PXX，Yz =PXz PYz=FX(z)F Y(z)， 故选项 C 正确【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 直接计算 Y 与 Z 的相关系数来确定正确选项由于 Coy(Y，Z)=Coy(Y，aX+b)=aCov(X，Y)，D(Z)=D(aX
12、+b)=a 2(X)，所以故选 B【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查中心极限定理的应用条件，列维一林德伯格中心极限定理成立的条件是随机变量 X1，X 2，X n 独立同分布，且具有有限的数学期望和非零方差而选项 A、B 不能保证随机变量 X1，X 2，X n 同分布，故均不人选；选项 D 不能保证其期望、方差存在及方差非零，故也不人选，因此选 C【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意有 =，由此计算出 a 值，从而确定正确选项【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 A【试题解析】 若 XN(， 2)，则 E(X)=，
13、 的矩估计为 ，应选 A若 X服从参数为 的指数分布，则 对于选项C，X 服从参数为 的几何分布， E(X)【知识模块】 概率与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A：所取的两件产品中至少有一件是不合格品事件 B：所取的两件都是不合格品【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 因为 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以 E(X)=D(X)=1从而由 D(X)=E(X2)一E(X) 2 得 E(X2)=2故 PX=E(X2)=PX
14、=2=【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 03【试题解析】 由于 01+02+01+02=06+=1，即 +=04， 又05=PX 2+Y2=1=PX2=0，Y 2=1+PX2=1，Y 2=0 =PX=0，Y=1+PX=0，Y=一1+PX=1，Y=0 =+0 1+01 故 =03，=01 那么 PX2Y2=1=PX2=1，Y 2=1=PX=1， Y=1+PX=1，Y=一 1 =02+=03【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 已知二维随机变量(X，Y)的概率密度 f(x，y)，求满足一定条件的概率 Pg(X，Y)z 0，一般可转化为二重积分 进行计算根据题设
15、可得，如图 32 所示，【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 一 01【试题解析】 根据题意可知 显然，E(X)=05，E(1，)=(一 1)03+103=0E(XY)=一 PXY=一 1+PXY=1=一02+0 1= 一 01Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=一 01 一 0=一 01【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 根据题意置一 N(0，2 2)且相互独立，所以 X1 一 2X2N(0 ，20)，3X3 一 4X4N(0，100) ，故【知识模块】 概率与数理统计21 【正确
16、答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 根据分布函数法先求 Y 的分布函数 FY(y)由于 X 在 上服从均匀分布，因此 X 的概率密度 fY(x)与分布函数 FX(x)分别为当 y一1 时，F Y(y)=0；当)，l 时，F Y(x)=1因此 Y 的概率密度为 fY(x)为【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 () 根据 X=max(，)，Y=min(，) 的定义可知，PX Y=0 ，即 PX=1，Y=2=PX=1，Y=3=PX=2 ，Y=3=0，同时有，所以所求的分布律为【知识模块】 概率与数理统计2
17、4 【正确答案】 () 根据题意，(X，Y) 的全部可能取值为 (0，1)，(0 ，2)，(0，3)，(1，2)，(1，3)，(2，2) ，(3，1)，再分别计算相应的概率事件 x=0，Y=1表示“三封信均投入后 3 个邮筒中的某一个邮筒内 ”根据古典概型公式，样本空间所含样本点数为 43=64，有利于事件X=0，y=1的样本点数为 C3 和 1=3，于是类似地可以计算出各有关概率值，列表如下：()从表中看出，只取 1，2，3 三个可能值，相应概率分别是对表中 pij 的各列求和，所以Y 的边缘分布为表中最下行值在 X=0 条件下，关于 Y 的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下：【知
18、识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 根据 X 与 Y 相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出 U、V 的概率密度()分布函数法根据题设知(X，Y) 联合概率密度 所以 U=XY 的分布函数为(如图 37 所示) (1)当 u0 时，F U(u)=0；当u1 时，F U(u)=1；(2) 当 0u1 时，()公式法记 Z=XY=X+(一 Y)其中 X 与(一 Y)独立，概率密度分别为根据积公式得 Z 的概率密度【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 根据题设，知 X1，X 2，X n(n2)相互独立，且 E(Xi)=0，D(X i)=1(i=1，2，n
19、)，()因为已知X1，X 2，X n(n2) 相互独立，【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 () 设 Y 的分布函数为 FY(y)，即 FY(y)=P(Yy)=p(X2y)，则当 y0 时，F Y(y)=0【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 X 的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 直接根据定义求解()根据题意总体 X 的密度函数、分布函数分别为为求得 b，必须求 X(n)的分布函数 F(n)(x)及密度函数 f(n)(x)，X (n)=max(X1，X n)得【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 如果总体服从二项分布，则其概率函数为 p
20、(x；10，p)=C 10xpx(1一 p)10 一 x，x=0，1，2，10利用最大似然估计求得参数 p的估计值为 原假设为总体 X 服从二项分布XB(10，01)备择假设为不服从二项分布 XB(10，01)，如果原假设成立，概率函数为 p(x；10，01)=C 10x(01) x(09) 10 一 x，x=0，1，2，3，10列表计算统计量 2 的观测值如下：由上表得到统计量 2 的样本值 21686，自由度为因子区间的个数(合并之后)4减去利用样本观测值估计的参数的个数 1 减去 1，所以 k=411=2，在显著性水平 =005 的条件下查询 2 分布表得 2(k)=005 2(2)=599因为 2 005 2(2)，所以接受原假设，即生产过程中出现次品的概率认为是不变的，即每次抽查的 10个产品中的次品数服从二项分布【知识模块】 概率与数理统计
