1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A 与 B 满足条件 AB= ，则( )（A）AB= 。（B） AB=。（C） AB=A。（D）AB=B。2 设 A，B 是任意两个随机事件，则 =( )3 设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是 ( )（A）A 与 BC 独立。（B） AB 与 AC 独立。（C） AB 与 AC 独立。（D）AB 与 AC 独立。4 设随机变量 X 在0，1 上服从均匀分布，记事件 A=，则( )（A）A 与 B 互不相容。（B） B 包含
2、A。（C） A 与 B 对立。（D）A 与 B 相互独立。5 设相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从 P(1)分布，则 PX=1X+Y=2的值为( )6 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布。记 Y=maxX，1，则 E(Y)=( )（A）1。（B） 1+e-1。（C） 1-e-1。（D）e -1。7 设随机事件 A 与 B 互不相容，0P(A)1，0P(B) 1，记X 与 Y 的相关系数为 p，则( )（A）p=0。（B） p=1。（C） p0。（D）p0。8 设总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X n 为取自总体 X 的简单随机样本， 为样本均值，S 2 为样本方差，则( )（
3、A）E( -S2)=2-2。（B） E( +S2)=2+2。（C） E( -S2)=2-2。（D）E( -S2)=2+2。9 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， 是样本均值，记，则可以作出服从自由度为 n-1 的 t 分布统计量( )10 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，记 E(X)=，D(X)= 2，则( )（A）S 是 的无偏估计。（B） S2 是 2 的无偏估计。（C） 是 2 的无偏估计。（D） 是 E(X2)的无偏估计。二、填空题11 在区间(0 ，1) 中随机地取出两个数，则“ 两数之积小于 ”的概率为_。12 三个箱
4、子，第一个箱子中有 4 个黑球与 1 个白球，第二个箱中有 3 个黑球和 3个白球，第三个箱子中有 3 个黑球与 5 个白球。现随机地选取一个箱子，从中任取1 个球，则这个球为白球的概率是_；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是_。13 假设 X 是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1-X。已知PX029=075，则满足 PYk=025 的常数 k=_。14 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则概率=_。15 随机变量 X 在 上服从均匀分布，令 Y=sinX，则随机变量 Y 的概率密度函数 fY(y)=_。16 已知(X，Y)的概率分布为 且 PX
5、2+Y2=1=05，则 PX2Y2=1=_。17 设相互独立的两个随机变量 X 和 Y 均服从标准正态分布，则随机变量 X-Y 的概率密度函数的最大值等于_。18 设随机量 X 和 Y 相互独立，其概率密度为则 E(XY)=_。19 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y N(0 ，2)，则 E(X2+Y)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 已知 P(A)=05，P(B)=07，则()在怎样的条件下， P(AB)取得最大值?最大值是多少?()在怎样的条件下， P(AB)取得最小值?最小值是多少?21 设随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 Y=eX
6、 的概率密度 fX(y)。22 编号为 1，2，3 的三个球随意放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 求(X 1，X 2)的联合分布。23 设随机变量 X 和 Y 的联合密度为()试求 X 的概率密度 f(x)；()试求事件“X 大于 Y”的概率 PXY；()求条件概率 PY1X05。24 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品。从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求：()乙箱中次品件数的数学期望；()从乙箱中任取一件产品是次品的概率。25 设由流水线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)
7、，内径小于 10 或大于 12 的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系：问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大?26 设 X 的概率密度为 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本。 ()求 的矩估计量 ； ()求 。27 设总体 X 的概率密度为 其中参数(01)未知。X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值。()求参数 的矩估计量 ()判断 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由。考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每
8、题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由对称性可知选项 C、D 都不成立(否则，一个成立另一个必成立)，而若选项 A 成立 ，这与已知 AB= 相矛盾，所以正确选项是 B。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由事件运算法则的分配律知故选 A。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 经观察，即可知由选项 A 能够推得所需条件。事实上，若 A 与 BC独立，则有P(ABC)=P(A)P(BC)。而由题设知 P(BC)=P(B)P(C)。从而 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。故选 A。【知识模块】
9、概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 由图 3-2-1 可立即得到正确选项为 D，事实上，根据题设可知【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 PX=1X+Y=2= PX+Y=2=X=kPY=2-kPX=1，X+Y=2=PX=1，Y=1=PX=1PY=1 =e -1.e-1=e-2。所以 PX=1X+Y=2= 故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 随机变量 X 的密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 选项 B 不能选，否则选项 D 必成立。因此仅能在选项 A、C、D 中考虑，即考虑
10、 的符号，而相关系数符号取决于 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)，根据题设知 E(X)=P(A)，E(Y)=P(B) ，XY (因为 P(AB)=0)，所以 Cov(X，Y)=-E(X).E(Y) 0，故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 由 XN(， 2)，得 相互独立。故【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 B【试题解析】 由于 2(n-1)，且这两个随机变量相互独立，故 故选项 A 不正确。因为 S3 或 S4 与 不独立，所以 C 和 D 也不正确。故选 B。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】
11、根据排除法逐项分析。所以B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 记(0，1) 中任取的两个数为 X，Y，则(X，Y)=(x，y) 0x1，0 y1 ， 为基本事件全体，并且取 中任何一点的可能性都一样，故该试验是几何概型，如图 3-1-2 所示，事件 A=“两数之积小于，0x1，0y1，由几何概型可得【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 设事件 Ai=“取到第 i 箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，则第一个空应为 P(B)，第二个空应为 。显然 A1，A 2，A 3 是一完备事件组，由题意可得 P(Ai)= ， i=1
12、，2，3， P(BA 1)= 根据全概率公式和贝叶斯公式，可得【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 071【试题解析】 由于 PYk=P1-Xk=PX1-k=1-PX1-k=0 25，所以PX1-k=1-025=075。又因 PX029=075，得 1-k=029，即k=071。【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 根据题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 首先求出 Y 的分布函数 FY(y)。由于 X 在 上服从均匀分布，因此 X 的概率密度函数 fX(x)与分布函数 FX(x)分
13、别为FY(y)=PYy t=PsinXY。 当-1y1 时，F Y(y)=PXarcsiny=FX(arcsiny)=当 y-1 时，F Y(y)=0；当 y1 时， FY(y)=1。因此 Y 的概率密度函数fY(y)为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 03【试题解析】 由于 01+02+01+02=06+=1，即 +=04， 又05=PX 2+Y2=1=PX2=0，Y 2=1+PX2=1，Y 2=0 =PX=0，Y=1+PX=0，Y=-1+PX=1，Y=0 =+0 1+01。 故 =03，=0 1。 那么 PX2Y2=1=PX2=1，Y 2=1=PX=1， Y=1+PX=1，
14、Y=-1 =02+=03。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 根据题意可知，X-YN(0，2) ，其概率密度函数f(x)的最大值在 x=0 处，最大值为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 4【试题解析】 又由于 X 和 Y 相互独立，故 E(XY)=E(X)E(Y)=4。【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 1【试题解析】 因为 X 和 Y 相互独立，所以 X2 与 Y 相互独立， E(X 2+Y)=E(X2)+E(Y)， 由于 XN(0，1)，所以 E(X)=0，D(X)=1。 因此 E(X2)=D(X)+(EX)2=1，Y N(0，2)
15、，故 E(Y)=0，所以 E(X2+Y)=1。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 () 由于 因此 P(AB)P(A)，P(AB)P(B)， 即P(AB)minP(A)，P(B)。 已知 P(A)=05，P(B)=07，所以 P(AB)minP(A)，P(B)=P(A)=05， P(AB)的最大值是 05，P(AB)=P(A)=05 成立的条件是AB=A，即 A B。 ( )根据概率运算的加法原理， P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=05+07-P(AB)=12-P(AB)， 因此可得 P(AB)=12-P(AB)。 因
16、为 P(AB)1，所以 P(AB)=12-P(AB)12-1=0 2， 即 P(AB)取得的最小值是 02，故P(AB)=02 成立的条件是 P(AB)=1。【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 根据分布函数的定义，有 FY(y)=PYy=Pe Xy=于是当 y1 的时候，满足 FY(y)=PXlny= 因此所求概率密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 先求出 Xi 的分布，而后再求得联合分布的部分值，从而求得联合分布。 如果将 3 个数的任一排列作为一个基本事件，则基本事件总数为3!=6，PX 1=1=P1 号球落入 1 号盒= ，PX 1=0=1- ，同理
17、，PX2=1= ， PX2=0= 又 PX1=1，X 2=1=P1 号球落入 1 号盒，2 号球落入 2号盒= ，依次可求得(X 1，X 2)的联合分布为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 () 根据题意可得，当 x (0，1)时，f(x)=0 ；当 0x1，有()事件“X 大于 Y”的概率()条件概率【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 ()X 的可能取值为 0，1，2，3 ，所以 X 的概率分布为()设 A 表示事件 “从乙箱中任取一件产品是次品 ”，由于X=0，X=1，X=2，X=3构成完备事件组，因此根据全概率公式，有【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法，有 E(T)=-1PX10+20P10X12-5PX 12 =-(10-)+20(12-)-(10-)-51-(12-) =25(12-)-21(10-)-5， 可知销售利润的数学期望 E(T)是 的函数。要求 E(T)的最大值，令其一阶导数为 0，有因实际问题一定可取到最值，所以当 时，销售一个零件的平均利润最大。【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 () ()因为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计
