1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)=0，则( )（A）A 和 B 不相容(互斥)。（B） AB 是不可能事件。（C） AB 未必是不可能事件。（D）P(A)=0 或 P(B)=0。2 设 A，B 为随机事件，P(A)0，则 P(BA)=1 不等价于( )（A）P(A-B)=0。（B） P(B-A)=0。（C） P(AB)=P(A)。（D）P(AB)=P(B)。3 连续抛掷一枚硬币，第 k(kn)次正面向上在第 n 次抛掷时出现的概率为( )4 设 F1(x)，
2、F 2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x)与 f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（A）f 1(x)f2(x)。（B） 2f2(x)F1(x)。（C） f1(x)F2(x)。（D）f 1(x)F2(x)+f2(x)F2(x)。5 设随机变量 XN(， 2)，0，其分布函数 F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(a， b)为( )（A）(，) 。（B）（C）（D）(0 ，)。6 设随机变量 Xi (i=1，2)且满足 PX1X2=0=1，则 PX1=X2等于( )（A）0。（B）（C）（D）1。7 设随机变量 X 与 Y 相互独立。且 XN ，则与随机变量Z=Y-X 同分
3、布的随机变量是( )（A）X-Y。（B） X+Y。（C） X-2Y。（D）Y-2X。8 已知随机变量 X 与 Y 的相关系数大于零，则( )（A）D(X+Y)D(X)+D(Y)。（B） D(X+Y)D(X)+D(Y) 。（C） D(X-Y)D(X)+D(Y)。（D）D(X-Y)D(X)+D(Y)。9 已知(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)= ， D(X)=D(Y)=2，X 和 Y 的相关系数 =0，则 X 和 Y( )（A）独立且有相同的分布。（B）独立且有不相同的分布。（C）不独立且有相同的分布。（D）不独立且有不相同的分布。10 设 X1，X 2，X n，相互独立且都服从参数为
4、 (0)的泊松分布，则当n时，以 (x)为极限的是( )11 设 X1，X 2，X 2，X 4 是取自总体 N(0，1)的简单随机样本，已知服从 2(n)，则n+a=( )（A）5。（B） 4。（C） 3。（D）2。12 已知总体 X 服从正态分布 N(， 2)(2 已知)，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，均值为 ，则由 PaU b=1-，可以求得 置信度为 1- 的置信区间，其中 a、b 是( )（A）满足 PUb= 的唯一实数。（B）满足 PUb= 的唯一实数。（C）满足 PUb= 的唯一实数。（D）满足 PUb+PUa= 的任意实数。二、填空题13 袋中有 50
5、个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是_。14 假设盒内有 10 件产品，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向盒内放人一件正品，然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有 7 件正品的概率 =_。15 已知随机变量 X 的概率分布为 PX=k= (k=1，2，3)，当 X=k 时随机变量 Y在(0， k)上服从均匀分布，即 则 PY25=_。16 已知 X 的概率密度 f(x)= ，aX+b N(0 ，1)(a0)，则常数A=_，a=_，b=_。17 设二维随机变量(X，Y)在 xOy 平面上由
6、直线 y=x 与曲线 y=x2 所围成的区域上服从均匀分布，则 P0X =_。18 某车间生产的圆盘其直径服从区间(a，b) 上的均匀分布，则圆盘面积的数学期望为_。19 已知随机变量 XN(2，9)，Y 服从参数为 05 的指数分布，且 XY=-025，则 D(2X-3Y)=_。20 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 XN(0，2)，Y N(0 ，3)，则 D(X2+Y2)=_。21 设总体 XN(， 2)， 未知，X 1，X 2，X n 是取自该总体的样本，样本方差为 S2，对 H0： 216H 1： 216，其检验统计量为_，拒绝域为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
7、骤。22 设随机变量 X 的概率密度为 求 X 的分布函数F(x)。23 设随机变量 ，且 PX Y=1。()求 X 与 Y 的联合分布律，并讨论 X 与 Y 的独立性；() 令U=X+Y，V=XY，讨论 U 与 V 的独立性。24 设随机变量 X 与 Y 独立，X 在区间0，2上服从均匀分布，Y 服从参数为 2 的指数分布，求：()二维随机变量 (X， Y)的联合概率密度；()概率 PXY。25 设二维随机变量(X，Y)在区域 G=(x，y)1x+y2，0y1上服从均匀分布。试求： ()(X，Y)的边缘概率密度 fX(x)和 fY(y)； ()Z=X+Y 的概率密度 fZ(z)。26 设二维
8、离散型随机变量(X，Y)的概率分布为：()求P(X=2Y)；( )求 Cov(X-Y，Y)。27 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零，X 1，X 2，X n 为取自总体 X 的简单随机样本。()求 的矩估计量；()求 的最大似然估计量。考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 不可能事件与零概率事件之间的区别和联系：不可能事件发生的概率为零，但零概率事件未必是不可能事件。由 P(AB)=0 不能推出 AB 是不可能事件，故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确
9、答案】 B【试题解析】 P(BA)= =P(A)，然而 P(B-A)=P(B)-P(AB)，所以选项 B 正确。容易验证其余三个选项与已知条件是等价的，事实上： A 选项P(A-B)=P(A)-P(AB)=0 P(AB)=P(A)。 C 选项 P(AB)=P(A) P(BA)=1。 D 选项 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(B) P(A)=P(AB)。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 依据题意，总共抛掷 n 次，其中有 k 次出现正面，余下的为 n-k 次反面。第 n 次必是正面向上，前 n-1 次中有 n-k 次反面，k-1 次正面(如上图所示)
10、。根据伯努利公式，所以概率为【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f1(x)与 f2(x)均为连续函数，故它们的分布函数 F1(x)与 F2(x)也连续。根据概率密度的性质，应有 f(x)非负，且 。在四个选项中，只有 D 项满足。 故选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 XN(， 2)，其密度函数 F(X)= f(x)的拐点的 x 坐标 a应满足 F(a)=f(a)=0，故 a= 为 f(x)的驻点，当 x= 时，F()= ，故曲线拐点在，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】
11、 由 PX1X2=0=1 得知，PX 1X20=0。于是根据 X1，X 2 的分布律，有 PX 1=-1，X 2=-1=0，PX 1=-1，X 2=1=0。 PX 1=1，X 2=-1-0，PX 1=1，X 2=1=0。 再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其关系可得(X 1，X 2)的联合分布律如下表。 由上表显然可见，X 1=X2 有三种情况，每种情况的概率均为 0，因此 PX1=X2=0，故选项A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知，XN(1，1)，而 X+Y N(1，1)，故 X+Y 和 Z 是同分布的随机变量。【知识模块】 概率论与数理统计
12、8 【正确答案】 D【试题解析】 根据公式 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X，Y) 确定正确选项。由于 X与 Y 的相关系数 Cov(X，Y) 0。所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)D(X)+D(Y)。 D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)D(X)+D(Y)。 应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 二维正态分布独立和不相关等价，故首先可以得到 X 和 Y 独立；又(X， Y)服从二维正态分布，故其边缘分布服从一维正态分布，且 XN(， 2)，YN(， 2)。所以选 A。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正
13、确答案】 C【试题解析】 由于 X1，X 2，X n，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 E(Xi)=，D(X i)=，根据方差与期望的运算法则，有以 (x)为极限，故应选 C。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 由Y 2(n)可知 n=2，且 (X1+X2)N(0，1)，故则 n+a=3，选 C。【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 D【试题解析】 a、b 应使 PaUb=1-a a、b 应满足 PUb+PUa=,故选D。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A=第一个人取出的球是黄色的，事件 B=第一
14、个人取出的球是白色的 ，事件 C=第二个人取出的球是黄色的，则有根据全概率公式可得 P(C)=P(A).P(CA)+P(B).P(CB)【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 设事件 Ai=“盒内原有 i 件正品”，i=0，1，10；事件 B=“取出的产品是正品”，所以 A0，A 1，A 10 构成一个完备事件组，依题意有所求概率 P(A7B)可直接应用贝叶斯公式： 或先应用全概率公式求出 P(B)= ，再根据条件概率定义计算出 P(A7B)。【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 根据题设可知 PX=k=1，PX=k= 。根据全概率公式，可得【
15、知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 又因为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 由直线 y=x 与曲线 y=x2 所围成的区域面积为 ，所以(X，Y) 的概率密度函数为 f(x，y)= 于是【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 设圆盘直径为 X，其概率密度为 设圆盘面积为 Y，所以 那么有【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 90【试题解析】 D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)-2Cov(2X，3Y)=4D(X)+9D(y)-其中 D(X)=9，D(Y)=4，代入得 D(2X-3Y)=90。【知识模
16、块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 26【试题解析】 因 XN(0，2)，故 2(1)，所以 D(X2)=8，同理 D(Y2)=18。又由于 X 和 Y 相互独立，故 D(X2+Y2)=8+18=26。【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 2 统计量；【试题解析】 未知，对 2 的检验使用 2 检验，又根据题设知，假设为单边检验，所以统计量为 2= 2(n-1)，从而拒绝域为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 当 x1 时，F(x)=0 ；当 1x2 时，则当 x2 时，F(x)=1。 综上所述，X 的分布函数
17、F(x)为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 () 由 PXY=1 知，PX=Y =0。由此可得 X与 Y 的联合分布律为因为PX=-1，Y=-1PX=-1PY=-1，所以 X 与 Y 不独立。 ()由(X，Y) 的联合分布律知 PU=V=-1=PX=-1，Y=0= PU=-1，V=1=PX=0，Y=-1= PU=1，V=-1=PX=0，Y=1= PU=V=1=PX=1，V=0= 所以 U 与 V 的联合分布律与边缘分布律为即可验证 U 与 V 独立。【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 已知 X 在区间0，2 上服从均匀分布，Y 服从指数分布 e(2)，因此可
18、得 根据随机变量独立的性质，可得 ()当 x0 或者 x2时，f(x，y)=0，因此区域 xy 为 y 轴和 x=2 之间，且在直线 y=x 上方的无界区域，所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分，所以可表示为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 区域 G 如图 3-3-6 所示： 可知区域 G 是菱形，其面积为 1。故() FZ(z)=PZz=PX+Yz【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 ()P(X=2Y)=P(X=0，Y=0)+P(X=2，Y=1)= ()Cov(X-Y ，Y)=Cov(X ，Y)-Cov(Y，Y) ，Cov(X，Y)=E(XY)-EXEY，其中【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 ()E(X)=，得到矩估计量() 对于总体 X 的样本值 x1，x 2，x n，其似然函数为得到最大似然估计量为【知识模块】 概率论与数理统计
