1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 P(A)=p，P(B)=q ，且 A 与 B 互斥，则 A 与 B 恰有一个发生的概率为( )（A）p+q（B） 1-p+q（C） 1+p-q（D）p+q-2pq2 设 A，B 相互独立，则下面说法错误的是( )（A）A 与 相互独立（B） 与 B 相互独立（C）（D）A 与 B 一定互斥3 设 A，B，C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C) 1，则在下列给定的四对事件中可能不相互独立的是( )4 已知 f1(x)，f 2(x)均为随机变量的概率密度函数，则下
2、列函数可以作为概率密度函数的是( )（A）f 1(x)+f2(x)（B） f1(x)f2(x)（C） 2f1(x)-f2(x)（D）04f 1(x)+06f 2(x)5 设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)= (-x+)，则其分布函数为( )6 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布，XN(，4 2)，Y N( ，5 2)，记 p1=PX-4，p 2=PY+5，则( )（A）对任何实数 ，都有 p1=p2（B）对任何实数 ，都有 p1p 2（C）只对 的个别值，有 p1=p2（D）对任何实数 ，都有 p1p 27 已知 f1(x)，f 2(x)分别是某个随机变量的概率密度，则 f(x，y
3、)=f 1(x)f2(y)+h(x，y)为某个二维随机变量概率密度的充要条件是( )（A）h(x ，y)0，且 h(x，y)dxdy=1（B） h(x，y)0，且 h(x，y)dxdy=0 （C） h(x，y)-f 1(x)f2(y)，且 h(x，y)dxdy=1（D）h(x ，y)-f 1(x)f2(y)，且 h(x，y)dxdy=08 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且有相同的概率分布：PX i=-1= ，PX i=1= (i=1，2)，则( )（A）X 1 与 X1X2 独立且有相同的分布（B） X1 与 X1X2 独立且有不相同的分布（C） X1 与 X1X2 不独立且有相同的分
4、布（D）X 1 与 X1X2 不独立且有不相同的分布9 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则( )（A）X 与 Y 一定独立（B） (X，Y)服从二维正态分布（C） X 与 Y 未必独立（D）X+Y 服从一维正态分布10 设随机变量(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，y)=的密度函数是( )11 已知随机变量 X 的分布函数 F(z)在 x-1 处连续，且 F(1)-1，记Y= (abc0)，则 Y 的期望 E(Y)=( )（A）a+b+c（B） a（C） b（D）c12 设随机变量 XE(2)，YE(1) ，且相关系数 XY=-1，则( )（A）P(Y-2X+2=1（B
5、） P(Y=-2X-2=1（C） PY=2X-2=1（D）PY=-2X+2)=113 设随机变量 X，Y 的方差存在且不等于 0，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)是 X 和 Y( )（A）不相关的充分条件，但不是必要条件（B）独立的充分条件，但不是必要条件（C）不相关的充分必要条件（D）独立的充分必要条件14 设总体 X 的均值为 E(X)=1，方差为 D(X)=1，X 1，X 2，X 9 是总体 X 的简单随机样本，令统计量 y= ，则由切比雪夫不等式，有( )15 随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 独立同分布，都服从正态分布 N(1，1)，且服从 2 分布，则常数 k 和 2 分
6、布的自由度 n 分别为( )16 设 XN(a，2)，YN(b，2)，且 X，Y 独立，分别在 X，Y 中取容量为 m 和 n的简单随机样本，样本方差分别记为 SX2 和 SY2，则 T= (m-1)SX2+(n-1)SY2服从( )（A）t(m+n-2)（B） F(m-1，n-1)（C） 2(m+n-2)（D）t(m+n)17 设 为 的无偏估计，且 必为 2 的( )（A）无偏估计（B）有偏估计（C）一致估计（D）有效估计二、填空题18 设 A，B 是任意两个随机事件，则=_19 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件产品中有 1 件是不合格品，则另 1
7、件也是不合格品的概率为_20 设随机变量 X 的概率密度为 以 Y 表示对 X 的 3 次重复观察中事件 出现的次数，则 P(Y=2=_21 随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则 P-2X 4X 0=_ 22 设 X 和 Y 为两个随机变量，且 PX0，Y0= ，则 PminX，Y0=_23 已知连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)= ，则 X 的数学期望为_，X 的方差为_24 D(X)=4， D(Y)=9， XY=05，则 D(X-Y)=_，D(X+y)=_25 设随机变量 X 具有密度函数 则 PX-E(X)2=_.26 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，X 1，X 2，
8、 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其样本均值、样本方差分别为 ，S 2，则 ，E(S 2)=_，样本(X1， ，X n)的概率分布为_27 设总体 X 和 Y 均服从正态分布 N(， 2)，X 1， X2，X n 和 Y1，Y 2，Y n分别是来自总体 X 和 Y 的两个相互独立的简单随机样本，它们的样本方差分别为SX2 和 SY2，则统计量 T= (SX2+SY2)服从的分布及参数为_考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 A 与 B 恰有一个发生可以表示为 ，故其概率为
9、，故 P(AB)=0，因而 =P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)=p+q，故选择 A【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 A，B 相互独立，因此 A 与 相互独立，从而A、B、C 都是正确的说法，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 相互独立的随机事件 A1，A 2，A m 中任何一部分事件，包括它们的和、差、积、逆等运算的结果必与其他一部分事件或它们的运算结果都是相互独立的所以 A、C、D 三对事件必为相互独立的 当 P(C)1，P(AC)O 时，如果 独立，即 AC 与 C 也独立，则有 P(A
10、CC)=P(AC)P(C)，P(AC)=P(ACC)=P(AC)P(C) 因为 P(AC)0，等式两边同除以 P(AC)得 P(C)=1，与题目已知条件矛盾所以此时 AC 与 C 不独立，选 B【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 A 选项，函数 f1(x)+f2(x)dx=2，不满足概率密度的规范性，排除 A；B 选项，令 f1(x)=f2(x)= 则 f1(x)，f 2(x)均为随机变量的概率密度，而 f1(x)f2(x)= 不满足概率密度的规范性，排除 B；C 选项，令 f1(x)= 则 2f1(x)-f2(x)=，不满足概率密度的非负性，排除 C；D 选项，首
11、先 04f 1(x)+0 6f2(x)0，同时因此 04f 1(x)+06f 2(x)可以作为随机变量的概率密度故选 D【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 因 F(x)=f(x)，而 A、C 不满足这个条件，故排除 A、C；因 f(x)为连续函数，则 F(x)也是连续函数，而对 D，故排除 D；选择 B【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 XN(，4 2)，YN(，5 2)，则 p1=P(X-4= =(-1)，p2=PY+5= =1-(1)=(-1)，因此，对任何实数 ，都有 p1=p2，应选 A【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案
12、】 D【试题解析】 由概率密度的充要条件可知 f(x，y)=f 1(x)f2(y)+h(x，y)0， 且所以 h(x，y)-f 1(x)f2(y)，又由，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 X1X2 可取-1，1，且 PX 1X2=-1一 PX1=-1，X 2=1)+PX1=1，X 2=-1 =P(X1=-1PX2=1+PX1=1P(X2=-1 又 PX 1=-1，X 1X2=-1)=PX1=-1，X 2=1= 利用边缘概率和条件概率之间的关系，得到(X1，X 1X2)的概率分布： 从而 X1与 X1X2 有相同的概率分布，且由以上概率分布可知 P
13、X 1=i，X 1X2=j=PX1=i)PX1X2=j， i=-1，1，j=-1，1所以 X1 与 X1X2 相互独立，故应选 A【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系只有(X，Y) 服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的即使 X 与 Y都服从正态分布，甚至 X 与 Y 不相关也并不能推出(X，Y) 服从二维正态分布例如(X ， Y)的联合密度为 不难验证 X 与 y 都服从正态分布 N(0，1)，且相关系数 XY=0，而(X，Y) 不服从二维正态分布，X 与 Y 也不相互独立 本题仅仅已知 X 与 Y
14、 服从正态分布，因此，由它们不相关推不出 X 与 Y 一定独立，排除 A； 若 X 与 Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y) 服从二维正态分布，但题设并不知道 X，Y 是否独立，可排除 B； 同样要求 X 与 Y 相互独立时，才能推出 X+Y 服从一维正态分布，可排除 D故正确选项为 C【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 是一维随机变量，密度函数是一元函数，排除 A、B 对于 D，因为 ，所以 D 中所给函数不是某随机变量的密度函数，排除 D故选 C【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 D【试题解析】 F(x)在 x=1 处连续且 F(1)=1，
15、所以PX=1=F(1)-F(1-0)=0，PX 1=1-PX1=1-F(1)=0PX1)=P(X1-PX=1=F(1)-0=1E(Y)=aPX1+bPX=1+cPX 1=C【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 D【试题解析】 由于 XY=-1，因此 PY=aX+b=1其中 a0，b 为常数，又1=E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b= +b， 1=D(Y)=D(aX+b)=a 2D(X)= 所以 a=2，由a0 得 a=-2，nb=2 ，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 C【试题解析】 因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+ ，且 D(X)0，D(Y)
16、0，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y) XY=0(X，Y 不相关 )故选 C【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 B【试题解析】 由于 E(Y)=，因此由切比雪夫不等式，有 P Y-9=P Y-E(Y) 1- ，故选 B【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 A【试题解析】 利用正态分布的性质得到 XiN(4，4)，标准化得到所以 ，n=1故应选 A【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 C【试题解析】 因为 2(n-1)，且 2 分布具有可加性，所以 T 2(m+n-2)故选 C【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 B【试题解析】 因为 为 的
17、无偏估计，所以2故选 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题18 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 设 A=2 件产品中有 1 件是不合格品，B=2 件都是不合格品，则所求即为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 1-e -【试题解析】 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，故 PX0= ，从而 P-2X4X0=【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 PminX，Y0=1-pminX，Y0=1-PX0，Y0=【知识模块】 概率论与数
18、理统计23 【正确答案】 【试题解析】 将 f(x)改写为正态分布概率密度的一般形式 f(x)=由上式知，X 服从正态分布 ，所以 E(X)=1， D(X)=【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 7，19【试题解析】 D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)同理可得 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=19.【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 1【试题解析】 PX-E(X)2)=P-2 X-E(X)2=P-2X- 2【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【试题解析】 总体 X 服从泊松分布，即 PX=k= ，所以 E(X)=D(X)=(X1，X n)的概率分布为 PX1=x1，X n=xn【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 2(2n-2)【试题解析】 2(n-1)，且它们相互独立，故(SX2+SY2) 2(2n-2)【知识模块】 概率论与数理统计
