1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 33 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 甲、乙、丙 3 人依次从装有 7 个白球，3 个红球的袋中随机地摸 1 个球已知丙摸到了红球，则甲、乙摸到不同颜色球的概率为( )2 假设 X 是只有两个可能值的离散型随机变量，y 是连续型随机变量，且 X 和 Y相互独立，则随机变量 X+Y 的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰好有一个间断点（C）是连续函数（D）恰好有两个间断点3 设随机变量 X，Y，Z 两两不相关，方差相等且不为零，则 X+Y 与 X+Z 的相关系数为( ) （A）（B） 0（C） 1（D）14
2、假设随机变量 X 在区间1，1上均匀分布，则 arcsinX 和 arccosX 的相关系数等于( )（A）1（B） 0（C） 05（D）l5 设 Fn(x)是经验分布函数，基于来自总体 X 的容量为 n 的简单随机样本，F(x)是总体 X 的分布函数，则下列命题错误的为：F n(x)对于每个给定的 x，( )（A）是一分布函数（B）依概率收敛于 F(x)（C）是一个统计量（D）其数学期望是 F(x)6 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自均值为 的指数分布总体的样本，其中 为未知，则下列估计量不是 的无偏估计的为( )7 设总体 XN(， 02)， 02 已知，X 1，X 2，X N 为
3、来自总体 X 的样本，检验假设 H0：= 0； H1： 1 0，则当检验水平为 时，犯第二类错误的概率为( )二、填空题8 在 n 阶行列式 det(aij)nn 的展开式中任取一项，若此项不含元素 a11 的概率为，则此行列式的阶数 n=_9 设 X 服从参数为 的泊松分布，且 E(X2+2X4)=0，则 P(X1)=_10 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X 3 为取自 X 的样本，则 服从的分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 已知 P(A)=x，P(B)=2x，P(C)=3x，且 P(AB)P(BC)，试求 x 的最大值12 设随机变量 X 服从参数
4、为 0 的泊松分布，随机变量 Y 在 0 到 X 之间任取一个非负整数，试求概率 P(Y=2)13 设 x 是连续型随机变量，其概率密度为的概率密度 g(y)14 设随机变量 X 的密度函数为 Y=X22X5，试求y 的密度函数和 Cov(X，Y)14 假设某射手的命中率为 P(0P1)，他一次一次地对同一目标独立地射击直到恰好两次命中目标为止，以 X 表示首次命中已射击的次数，以 Y 表示射击的总次数，试求：15 随机变量 X 和 Y 的联合概率分布；16 随机变量 Y 关于 X 的条件概率分布；17 随机变量 X 关于 Y 的条件概率分布18 一枚均匀硬币重复掷 3 次，以 X 表示正面出
5、现的次数，以 Y 表示前两次掷出正面的次数，试求随机变量 X 和 Y 的联合概率分布19 掷两枚均匀的骰子，以 X 和 Y 分别表示掷出的最大点数和最小点数，试求随机变量 Y 关于X=i)(i=1，6)的条件概率分布问随机变量 X 和 Y 是否独立? 为什么?20 假设随机变量 X 和 Y 的联合概率密度 试求 f(x,y)的两个边缘概率密度 fX(x)和 fY(y)20 设随机变量 X 服从区间(0，2)上的均匀分布， Y 服从区间(X，2)上的均匀分布试求：21 X 和 Y 的联合密度；22 Y 的概率密度；23 概率 P(X+Y2)24 假设测量的随机误差 XN(0，10 2)试求在 1
6、00 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 并用泊松分布求出 的近似值(要求小数点后取两位有效数字，泊松分布数值表见表 31)25 设某个系统由 5 个相同的元件按如图 31 所示的方式联接而成，各元件的工作状态相互独立，而且每个元件的正常工作时间服从参数为 0 的指数分布，试求系统正常工作时间 T 的概率分布25 假设 D=(x，y) 0x2，0y1)，随机变量 X 和 Y 的联合分布是区域 D 上的均匀分布考虑随机变量26 求 X 和 Y 的相关系数 ；27 求 U 和 V 的相关系数 Y28 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 为取自正态总体 X
7、的简单随机样本，且求 E(X1Sn2)考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 33 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于丙摸到了红球，故甲、乙可看成是在 7 个白球，2 个红球中各摸1 个球，由古典概率公式得所求概率为 C71C21C92= 故选 B 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 不妨设 X 的分布律为 P(X=ai)=pi，i=1，2，Y 的密度函数为g(y)下面求 X+Y 的分布函数 F Z(z)=P(X+Yz) =P(X+yz)(X=a1)(X=a2) =P(X+Yz， X=a1)
8、(X+Yz，X=a 2) =P(X+Yz，X=a 1)+P(X+Yz，X=a 2) =P(Yza 1， X=a1)+P(Yza 2，X=a 2) =P(Yza 1)P(X=a1)+P(Yza 2)P(X=a2)再由变限积分一定是连续函数可知 X+Y 的分布函数 FZ(z)为连续函数故选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 Cov(X+Y，X+Z) =Cov(X，X)+Cov(Y，X)+Cov(X，Z)+Cov(Y ，Z) =D(X)+0+0+0 =D(X)， D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2D(X) ， D(X+Z)=D(X)+D(Z)=2D(X) ，于是 X
9、+Y 与 X+Z 的相关系数为故选 A【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 注意到 arcsinX+arccosX= ，从而 arcsinX 与 arccosX 的相关系数为1故选 A【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 经验分布函数 Fn(x)是样本的函数，对给定的 x，具有随机变量的属性故选 A【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 经计算有 E(T1)=， E(T 3)=， E(T 4)=， E(T 2)=2 故选 B【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 这是一个单侧检验，检验统计量应为
10、故选 A【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 应填 2 011【试题解析】 n 阶行列式的展开式中共有 n!项，而含有元素 a11 的项共有(n1)!，故 即 n=2011【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 应填 1e 1 【试题解析】 由 X 服从参数为 0 的泊松分布，故 E(X)=，D(X)=于是，由 E(X2+2X4)=E(X 2)+2E(X)4 =D(X)+E 2(X)+2E(X)4 =+ 2+24 = 2+34 =0 得 =1 或 =4(舍去)，所以 P(X1)=1P(X=0)=1 e 1 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 应填 F(
11、1，1)【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 因为 P(AB C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC) =x+2x+3xP(AB)P(BC)+P(AC) P(ABC) =6xP(AB) P(AB)+P(AC)P(ABC) =6xP(AB)P(ABAC) =6xP(AB)PA(BC)，而且 P(AB)P(A)=x，PA(BC)P(A)=x ，故 1P(ABC)6xxx=4x，即图 33 表明 x 在 A=D1，B=D 1+D2，C=D 2+D3+D4 时取到最大值，其中 D1，D 2
12、，D 3，D 4 将样本空间分成 4 等份：【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 于是(X=0)，(X=1)，(X=k) ，构成一个完备事件组由全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 先求 Y 的分布函数【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 先求 Y 的分布函数 F Y(y)P(Yy) =P(X22X5y) =P(X1)26+y) 当 y6 时，F Y(y)=0； 当6y5 时，当5y2 时，当2y3 时， 当 y3 时，F Y(y)=1故 y 的概率密度函数为下面计算 Cov(X，Y) ： Cov(X ，Y)=Cov(X，X 22X5) =Cov
13、(X，X 2)2Cov(X，X) =E(X 3)E(X)E(X 2)2(E(X 2)E 2(X)，而【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 因为 Y=n 表示第 n 次射击命中目标，且在前 n1 次射击中恰有一次击中目标，各次射击相互独立，故联合分布律为 P(X=m，Y=n)=P 2(1p)n2 ，n=2 ，3 ，；m=1 ，2，n1【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由于 =p(1p) m1 ，m=1，2，因此条件分布律为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 易知 X 的可能取
14、值为 0，1，2， 3Y 的司能取值为 0，1，2且记 Ai 为第 i 次出现正面，则 P(X=0，y=0)=P(X=0)= P(X=0，Y=1)=0 P(X=0，Y=2)=0 P(X=1，Y=2)=0 P(X=2，Y=0)=P(X=3，Y=0)=P(X=3，Y=1)=0即 X 与 Y 的联合概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设 X1 表示甲骰子出现的点数，X 2 表示乙骰子出现的点数，则 X=maxX1， X2，Y=minX 1，X 2，且 X1 与 X2 独立 P(X=i)=P(maxX1，X 2=i)当 ij 时，有 P(X=i,Y=j)=P(maxX1， X2
15、=i，minX 1，X 2=j) =P(X1=i，X 2=j)+P(X1=j，X 2=i)=P(X1=i)P(X2=j)+P(X1=j)P(X2=i) 当 i=j 时，有 P(X=i，Y=i)=P(maxX1， X2=i，minX 1，X 2=i) =P(X1=i，X 2=i) 故 Y 关于 X=i 的条件概率分布为 另外，由于 P(Y=jX=i)P(Y=j)，因此 X 与 Y 不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 X 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由已知可得 X 的概率密度为 Y 关于 X=x的条件密度为(0
16、x2) 故 X 和 Y 的联合密度为【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 Y 的概率密度为 f Y(y)= +f(x，y)dx【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 如图 35 所示，【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设 P 为每次测量误差的绝对值大于 196 的概率，则设 Y 为 100 次独立重复测量中事件 X196)出现的次数，则 Y 服从参数为 n=100，p=005 的二项分布，所求概率 =PY3=1PY 3=1 PY=0PY=1PY=2由泊松定理知，Y近似服从参数为 =np=100005=5 的泊松分布，故【知识模块】 概率论与数理统计25 【
17、正确答案】 设 TI 表示第 i 个元件的正常工作时间，i=1，2，5，则 T 的分布函数为 且 T1，T 2，T 5 相互独立 由全概率公式得T 的分布函数为 F T(t)=P(Tt) =P(TtT 3t)P(T3t)+P(TtT 3t)P(T 3t) =P(T 1t)(T2t)(T4t)(T5t)P(T3t) +P(T1t)(T2t)(T4t)(T5t)P(T3t)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 X 与 Y 的联合密度为于是 Cov(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0，即 X 与 Y 的相关系数 =0【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 先求 U 和 V 的联合分布律如图 312 所示，故 U 与 V 的联合分布律为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 由于 X1，X 2，X n 相互独立且同分布，故 E(X1Sn2)=E(X2Sn2)=E(XnSn2)于是【知识模块】 概率论与数理统计
