1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 34 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 5 个人以摸彩方式决定谁得一张电影票，今设 A 表示“ 第 i 个人摸到” ，i=1，2 ，3， 4，5，则下列结论中不正确的是 ( )2 假设随机变量 XN(a， 4)，YN(b，9)记 p1=P(Xa+2)，p 2=P(yb+3)，则( )（A）对于任意 a 和 b，有 p1=p2（B）对于任意 ab，有 p1p2（C）对于任意 a 和 b，有 p1p 2（D）对于任意 ab，有 p1p 23 已知(X，Y)服从二维正态分布 N(1， 2， 2， 2，)，则下列四对随
2、机变量中相互独立的是( ) （A）X 与 X+Y（B） X+Y 与 XY（C） X 与 XY（D）2X+Y 与 XY4 设随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 则( )5 设 X1，X 2，X n 是来自标准正态总体的简单随机样本， 和 S 相应为样本均值和样本标准差，则( ) 6 设 是参数 的无偏估计，且有 必为 2 的( )（A）无偏估计（B）一致估计（C）有效估计（D）有偏估计7 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X 2，X 10 是来自 X 的简单随机样本，统计量 服从 F 分布，则 i 等于( ) （A）4（B） 2（C） 3（D）5二、填空题8 10 件产品中有
3、 4 件次品，现随机地逐个进行检查，直到 4 件次品均被查出为止，则不连续出现 2 个次品的概率为_9 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1， 2 的泊松分布若 E(X+Y)12E(X+Y)=0，则概率 P(X+Y2)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 A，B 为两个任意事件，证明：11 设一个袋中共有 n 个黑球，现每次从中任意取出一球，然后放入一个白球若如此试验 n 次后，袋中白球数的数学期望为 a，试求第 n+1 次从袋中任取一球为白球的概率11 设随机变量 X 的概率分布为 P(X=1)=PX=2)= 在给定 X=i 的条件下，随机变量 Y
4、服从均匀分布 U(0，i)(i=1，2)12 求 y 的分布函数 FY(y)；13 求 E(Y)14 设随机变量 XN(0，1)，求 y=maxX，X 3)的概率密度 f(y)15 将一枚均匀的硬币接连掷 5 次，结果反面至少出现了一次，试求：(1)正面出现次数 X 的概率分布；(2)正面出现的次数与反面出现的次数之比 y 的概率分布15 设随机变量 X1 和 X2 各只有1，0，1 等三个可能值，且满足条件试在下列条件下分别求 X1 和 X2 的联合分布16 PX1X2=0=1；17 P(X1+X2=0)=118 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 P(X=1)=P(X=1)= ，P(Y=
5、1)=P(Y=1)= ，令 Z=XY，证明 X，Y，Z 两两独立，但不相互独立18 设随机变量(U，V) 在以点(2，0) ，(2，0)，(0，1)，(0，1)为顶点的四边形上服从均匀分布，随机变量19 求 X 和 Y 的联合分布律；20 求 X 和 Y 的相关系数；21 求 U 和 V 的边缘密度22 假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间(E(X)为 5 小时设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2 小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F(y)23 设(X，Y)服从区域 D=(x，y)1x1，0y1)上的均匀分布
6、，试求 的概率密度24 设(X，Y)的概率分布为 已知其中 F(x，y)表示 X 与 Y 的联合分布函数求常数 a，b，c 的值24 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其中总体 X 有密度25 求未知参数 (0)的矩估计量 ；26 判断 的无偏性；27 计算 考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 34 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 故选 B【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 p 1=P(Xa+2)=1P(Xa+2)故对任意 a 和 b，有p1=p2故选 A【知识模块
7、】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 Cov(X+Y，XY) =Cov(X，X)+Cov(Y，X) Cov(X，Y)Cov(Y，Y) =D(X) D(Y) = 2 2 =0 从而 X+Y 与 XY 的相关系数为零，即不相关 又因为(X+Y，XY)服从二维正态分布，故 X+Y 与 XY 相互独立故选 B【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 E(X)= + +xf(x，y)dxdy = 0101x(x+y)dxdy 类似可得 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 根据正态总体下样本的性质即知 D 为正确答案事实上，故选 D
8、【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 由 故选 D【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 即i=2故选 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 应填【试题解析】 4 件次品被查出来的不同方式共有 C104 种，这可看作古典概型中的基本事件总数，而有利事件数应为 C74，故所求概率为 C74C 104=【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 应填 12e 1 【试题解析】 由泊松分布的可加性有，X+Y 服从参数为 1+2 的泊松分布于是 E(X+Y)=1+2，D(X+Y)= 1+2， 从而由 E(X+Y)22E(X+Y
9、)=0 得 1+2+(1+2)22( 1+2)=0， 即 ( 1+2)2( 1+2)=0，从而 1+2=1 或 0(舍去) 故 P(X+Y2)=1 P(X+Y=0)P(X+Y=1) =1e 1 e 1 =12e 1【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 不妨设 P(A)P(B)于是 P(AB)P(A)P(B) P(B)P(A)P(B) P(B)P(B)P(B) =P(B)1P(B) 故P(AB)P(A)P(B) 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 设 X 表示 n 次取球后袋中所含白球数，则 X 的可能取值为1，2，n，
10、B=第 n+1 次从袋中取到白球 故由全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 注意到X=1)，X=2) 构成一个完备事件组，由全概率公式得 Y 的分布函数 FY(y)=PYy)=PX=1PYyX=1+PX=2PYyX=2于是， 当 y0 时， F Y(y)=0； 当0y1 时， 当 1y2 时， 当 y2 时， F Y(y)=1故随机变量 Y 的分布函数【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 随机变量 Y 的密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 先求 y 的分布函数 F Y(y)=P(Yy) =P(maxX，X
11、 3y) =P(Xy，X 3y) 因此，y 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 令 Z 表示反面出现的次数于是 (1)已知 Z1，于是X 的可能取值为 0，1，2，3，4 其他类似可得： 故在反面至少出现一次的条件下，X 的分布律为(2)正面出现的次数与反面出现的次数之比 Y 的可能取值为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由 P(X1 X2=0)=1 得 P(X1X20)=0，于是 P(X 1=1，X 2=1) P(X1=1，X 2=1) =P(X1=1，X 2=1)=P(X 1=1，X 2=1)=0再由联合分布与边缘分布
12、的关系可得 X1 和 X2 的联合分布为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由 P(X1+X2=0)=1 可知 P(X 1=1，X 2=1)+P(X1=0，X 2=0)+P(X1=1，X 2=1)=1， P(X 1+X20)=0故 X1 和 X2 的联合分布为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 易知(X，Y)的联合概率分布为 故 Z=XY的概率分布为 且(X，Z)的联合概率分布为这里 P(X=1，Z=1)=P(X=1，y=1)，其余类推 从而 X和 Z 独立，同理 Y 和 Z 也独立，由题设知 X，Y 独立但 P(X=1，Y=1 ，Z=1)=P(X=1，Y=1)=
13、两者不相等，所以 X，Y ，Z两两独立，但不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 如图 36 所示，【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 易得 X 与 Y 的边缘分布律为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 U 与 V 的联合密度为 其中 D 为四边形所在的区域，面积为 4 U 的密度为 类似可得 V的密度为【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设 X 的分布参数为 ， 由题设条件知 Y=minX，2， 当 y0 时，F(y)=0 ； 当 y2 时，F(y)=1； 当 0y2 时，有 F(y)=PYy=PminX，2y)=PXy= 所以 Y 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 因(X，Y)的联合密度为 故 Z 的分布函数为 故 Z的密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由于【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 因【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计
