1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 35 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 Xi 的分布函数为 Fi(x)，且密度函数 fi(x)至多有有限个间断点，i=1，2 则( )（A）若 F1(x)F2(x)，则 f1(x)f2(x)（B）若 F1(x)F2(x)，则 f1(x)f2(x)（C）若 f1(x)f2(x)，则 F1(x)F2(x)（D）若 f1(x)f2(x)，则 F1(x)F2(x)2 假设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)若 X 与X 有相同的分布数，则对于任意实数 x，有( )（A）F(x)=F(
2、x)（B） F(x)=F(x)（C） f(x)=f(x)（D）f(x)=f( x)3 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布是圆 D=(x，y)x 2+y2r2上的均匀分布(r1)，则( )（A）X 服从均匀分布（B） X 与 Y 之和服从均匀分布（C） Y 服从均匀分布（D）Y 关于 X=1 的条件分布是均匀分布4 设(X，Y) 为二维随机变量，则 X 与 Y 相互独立的充要条件为( )（A）X 3 与 Y3 相互独立（B） X与Y 相互独立（C） X2 与 Y2 相互独立（D）X 4 与 Y4 相互独立5 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且均服从(0，1)上的均匀分布，则下列随机变量中仍
3、服从某区间上均匀分布的是( )（A）XY（B） X+Y（C） X2（D）2X6 设总体 X 的概率密度函数为 f(x)，而 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X (1)，X (1/2)和 X(n)相应为 X1，X 2，X n 的最小观测值、中位数和最大观测值，则( ) （A）X 1 的概率密度为 f(x)（B） X(1)的概率密度为 f(x)（C） X(1/2)的概率密度为 f(x)（D）X (n)的概率密度为 f(x)7 已知批零件的长度 X(单位为 cm)服从正态总体 N(，1)，从中随机抽取 16 个零件，测得其长度的平均值为 40cm，则 的置信度为 095 的置信
4、区间是(注：标准正态分布函数值 (196)=0975，(1645)=095)( )（A）(39 51，4049)（B） (3959，4041)（C） (，3995)（D）(40 49，+)8 设 X1，X 2，x N 是来自正态总体 XN(， 2)的简单随机样本，为使 D=成为总体方差的无偏估计量，则应选 k 为( )二、填空题9 设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，则随机变量 Y=nX 服从的分布为_10 已知随机变量 X 和 Y 的分布律为 而且P(xy)= 则 X 与 Y 的相关系数为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 个乒乓球中有 9 个新球，3
5、个旧球，第一次比赛时，从中任取 3 个球，用完后放回去，第二次比赛又从中任意取出 3 个球(1)求第二次取出的 3 个球中有 2 个是新球的概率；(2)若第二次取出的 3 个球中有 2 个是新球，求第一次取到的 3 个球中恰有一个是新球的概率11 设随机变量 x 的概率密度为12 求 Y 的分布函数；13 求概率 PXY)14 设 求 Pmax(X，Y)0)15 考虑随机试验 E：接连不断地重复掷一枚骰子直到出现小于 5 的点为止，以 X表示最后掷出的点数，以 Y 表示掷骰子的次数，试求随机变量 X 和 Y 的联合概率分布15 假设 5 只晶体管中有两只次品，现在一只一只地检验直到查出两只次品
6、为止试求：16 查出一只次品晶体管所需检查的次数 X 的概率分布；17 查出两只次品晶体管所需检查的次数 Y 的概率分布18 X 和 Y 的联合概率分布19 设随机变量 X 的概率密度为 F(x)是 X 的分布函数求随机变量 Y=F(X)的分布函数19 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立且都服从参数为 P 的 01 分布，已知矩阵为正定矩阵的概率为 试求：20 参数 p 的值；21 随机变量 的分布律22 设随机变量 X 和 Y 相互独立，都服从区间(0，a)上的均匀分布，求 Z=XY 的概率密度 g(z)23 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，随机变量 k=1，2令U=Y1+Y
7、2，V=Y 1Y2，试求 U 与 V 的联合分布律24 在线段0 ，1 上任取 n 个点，试求其中最远两点的距离的数学期望25 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X 9 为来自 X 的简单随机样本，试确定 的值，使得概率25 设总体 x 的密度函数为 其中 0， ， 为未知参数，X1，X 2，X n 为取自 X 的样本26 求 ， 的矩估计；27 求 ， 的最大似然估计考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 35 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由积分的保号性即得 因为 f1(x)f2(x)，故 xf1(t)dt
8、xf2(t)dt， 即 F 1(x)F2(x)故选 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X 与X 有相同的分布函数，故P(Xx)=P(Xx)，即 P(Xx)=P(Xx)，于是 F(x)=1F( x)，两边求导得f(x)=f(x)故选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 (X，Y) 的联合密度为 X 的密度为 FX(x)= +f(x,y)dy即在 x=1 条件下，Y 服从 上的均匀分布故选 D【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 根据独立的性质易知 B、C、D 均为必要条件，只有 A 为充要条件故选 A【
9、知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 易求得 2X 服从(0，2)上的均匀分布故选 D【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 简单随机样本的定义可知 X1 与总体 X 同分布故选 A【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 单正态总体 N(， 2)，在 2 已知时， 的置信区间为1/2 表示标准正态分布的下=1，n=16， 0.975=196 代入即得故选 A【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 X i+1X iN(0，2 2)，于是 E(X i+1 Xi)2=D(Xi+1X i)+E2(Xi+1X
10、 i)=22 E(D)=k E(xi+1X i)2 =2(n1) 2k要 D 为 2 的无偏估计，即 E(D)=2，故 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题9 【正确答案】 应填 B(n，1p)【试题解析】 因为 X 可以看成“将一枚硬币抛 n 次正面向上的次数”，于是 Y 即为反面向上的次数，所以 YB(n，1P)【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 应填【试题解析】 由 P(X=Y)=P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y=1)以及边缘分布律与联合分布律的关系有 故 P00=0， 即 X 与 Y 的联合分布律为 故 X 与 Y 的相关系数为 p(X，Y)=【知识模块】
11、 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 设 Ai=第一次比赛时取出 i 个新球)，i=0，1，2，3，B=第二次比赛时取出的 3 个球中有 2 个是新球(1)由全概率公式得(2)由贝耶斯公式得【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 Y 的分布函数 F Y(y)=PYy)当 Y1 时，F Y(y)=0；当 Y2 时，FY(y)=1；当 1Y2 时，F Y(y)=PY=1)+P1Yy =PX2)+P1Xy【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 PXY)=PX1)+P1X2)=PX2)=【知识模块】 概
12、率论与数理统计14 【正确答案】 Pmax(X，Y)0 =P(X0)(Y0) =P(X0)+P(Y0)P(X0，Y0)【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 解 X 的可能取值为 1，2，3，4 Y 的可能取值为 1，2，且(X=m，Y=n)表示第 n 次首次出现小于 5 的点数，即 m 点，而前 n1 次均出现不小于 5 的点，即 5 点或 6 点 故 X 与 Y 的联合分布律为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 X 的可能取值为 1，2，3，4，记 Ai 表示第 i 次检查到次品，于是故 X 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计1
13、7 【正确答案】 Y 的可能取值为 2，3，4，5，且故 Y 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 类似可得其他值均为 ，即 X 与 Y 的联合概率分布律为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 不求 F(x)的表达式，直接用分布函数法 Y 的分布函数为 G(y)=PYy)=PF(X)y，因为 F(x)为分布函数，从而 0F(x)1，故 当 y0 时，G(y)=0； 当 y1 时，G(y)=1； 当 0y1 时，F(x)单调增加，于是有 G(y)=PF(X)y=PXF1 (y)=FF1 (y)=y所以 Y=F(X)的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计【知
14、识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 因为矩阵为正定阵的充要条件为其所有顺序主子式都大于零，所以，有 PX10，X 1X3X 220= 即 PX1=1， X2=0，X 3=1=p2(1p)=【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 Y=X 1 X3X 22 的所有取值为1，0，1， PY=1=PX1=1，X 2=1，X 3=0+PX1=0，X 2=1，X 3=1+PX1=0，X 2=1，X 3=0)= PY=0=PX1=0，X 2=0，X 3=0+PX1=1，X 2=1， X3=1+PX1=0，X 2=0,X3=1+Px1=1，X 2=0，X 3=0= PY=1=PX 1=1，
15、X 2=0，X 3=1= 所以，Y的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 如图 37 所示， X 与 Y 的联合密度为 当 za 时，F Z(z)=1；当 za 时，F Z(z)=0；当0za 时， 当az 0 时，故 Z 的概率密度函数为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 U 的可能取值为 0，1，2，且 P(U=0)=P(Y 1+Y2=0) =P(Y1=0，Y 2=0) =P(X1，X2) =P(X1) =F(1) ， P(U=1)=P(Y 1+Y2=1) =P(Y1=0，Y 2=1)+P(Y1=1，Y 2=0) =P(X1，X 2)+P(X 1，X2)
16、=P(1X2) =F(2)F(1)，P(U=2)=P(Y 1+Y2=2) =P(Y1=1，Y 2=1) =P(X1，X 2) =P(X2) =1F(2) 于是 U 的分布律为类似可得 V 的分布律为另外， P(U=0，V=1)=P(Y1+Y2=0，Y 1Y2=1)=0， P(U=1 ，V=1)=P(Y 1+Y2=1，Y 1Y2=1)=0， P(U=2，V=0)=P(Y1+Y2=2，Y 1Y2=0)=0再由联合分布律与边缘分布律的关系即得【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设 Xi 为在0 ，1中任取的第 i 个点的坐标，i=1，2，n则X1，X 2，X n 独立同分布，且都服从(0，1)上的均匀分布，即其分布函数为则最远两点的距离为 X=X(n)X (1)，从而 E(X)=EX (n)EX (1)因为所以【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由总体 XN(0， 2)得 于是将上式对 求导得【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 因为 E(X)=+，E(X 2)=2+2(+)，于是，令【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计
