1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 39 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)=g(x)h(y)，其中 g(x)0，h(y)0，a= -+g(x)dx，b= -+h(y)dy 存在且不为零，则 X 与 Y 独立，其密度函数 fX(x)，f Y(y)分别为（A）f X(x)=g(x)，f Y(y)=h(y)（B） fX(x)=ag(x)，f Y(y)=bh(y)（C） fX(x)=bg(x)，f Y(y)=ah(y)（D）f X(x)=g(x)，f Y(y)=abh(y)2 假设 X 是只可能取两个值的离散型
2、随机变量，Y 是连续型随机变量，且 X 与 Y相互独立，则随机变量 X+Y 的分布函数（A）是连续函数（B）是阶梯函数（C）恰有一个间断点（D）至少有两个间断点3 设随机变量 X 与 Y 独立，且 X YN(0，1)，则概率 PXY0的值为4 已知随机变量 X 与 Y 均服从 0 一 1 分布，且 EXY= 则 PX+Y1=5 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，记 U=XY， V=X+Y，则随机变量 U 与 V（A）不独立（B）独立（C）相关系数不为零（D）相关系数为零6 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，其中 2 为已知，则当样本容量 n 一定时，总体均值 的置信区间长度 l 增大，
3、其置信度 1 一 的值（A）随之增大（B）随之减小（C）增减不变（D）增减不定二、填空题7 设 G=(x， y)|0x3，0y1 是一矩形，向矩形 G 上均匀地掷一随机点(X ，Y)，则点(X，Y) 落到圆 x2+y24 上的概率为_8 设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为 f(x，y) ，则随机变量(2X，Y+1)的概率密度函数 f1(x，y)=_9 已知随机变量 X 与 Y 的联合概率分布为 又PX+Y=1 =04，则 =_；=_；PX+Y1 =_；PX 2Y2=1=_.10 已知随机变量 X 在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布，则 E(XY
4、)=_11 已知某零件的横截面是一个圆，对横截面的直径进行测量，其值在区间(1，2)上服从均匀分布，则横截面面积的数学期望为_，方差为_12 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 XN(1，2)，Y N( 一 3，4)，则随机变量Z=一 2X+3Y+5 的概率密度为 f(z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为其中 0 为常数，求：(I)PX，Y2；()PX+Y14 设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为试求：(I)X 与 Y的边缘分布律，并判断 X 与 Y 是否相互独立； ()PX=Y15 设二维正态随机变量(X，Y)
5、的概率密度为 f(x， y)，已知条件概率密度 fX|Y(x|y)=试求：(I)常数 A 和 B；()f X(x)和 fY(y)；()f(x，y)16 设随机变量 且 P|X|Y|=1(I)求 X 与Y 的联合分布律，并讨论 X 与 Y 的独立性；()令 U=X+Y，V=X-Y，讨论 U 与V 的独立性17 设二维随机变量(X，Y)的分布律为 (I)求常数a；() 求两个边缘分布律；()说明 X 与 Y 是否独立；()求 3X+4Y 的分布律；(V)求 PX+Y1 18 设随机变量 ，YE(1)，且 X 与 Y 相互独立记 Z=(2X 一 1)Y，(Y，Z)的分布函数为 F(y，z) 试求：(
6、I)Z 的概率密度 fZ(z)；()F(2 ，一 1)的值19 将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒记 X 为 1 号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目求：(I)(X，Y)的联合概率分布； ()Y 的边缘分布；()在 X=0 条件下，关于 Y 的条件分布20 设随机变量 Yi(i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数为 p 的 01 分布令求随机变量(X 1，X 2)的联合概率分布21 已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为并且 PX+Y=1=1，求：(I)(X，Y)的联合分布；()X 与 Y 是否独立? 为什么?22 在时刻 t=0 时开始计时，设事件 A1，A 2 分别在
7、时刻 X，Y 发生，且 X 与 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为求 A1 先于 A2 发生的概率23 已知(X，Y)在以点(0，0) ，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布(I)求(X ，Y) 的联合密度函数 f(x，y)；()计算概率 PX0，Y 024 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0yx3 一 y，y1上服从均匀分布，求边缘密度 fX(x)及在 X=x 条件下，关于 Y 的条件概率密度25 设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X 取到 x(0x1)时，随机变量 Y 等可能地在(x，1) 上取值试求： (I)(X，Y)
8、的联合概率密度；()关于 Y 的边缘概率密度函数；()PX+Y1 26 设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，在 X=x(一x+) 的条件下，随机变量 Y 服从正态分布 N(x，1)求在 Y=y 条件下关于 X 的条件概率密度27 已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的 01 分布，即 PX=0=PX=1= PY=0=PY=1= 定义随机变量 求 Z 的分布；(X，Z)的联合分布；并问 X 与 Z 是否独立28 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，如果 X 服从标准正态分布，Y 的概率分布为PY=一 1= ，求：(I)Z=XY 的概率密度 fZ(z)；()V=|XY|
9、的概率密度 fV(v)29 已知随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，Y 服从标准正态分布，X 与 Y 独立现对 X 进行 n 次独立重复观察，用 Z 表示观察值大于 2 的次数，求 T=Y+Z 的分布函数 FT(t)30 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从参数为 p 的几何分布，即 PX=m=pqm-1，m=1 ，2，0p1，q=1 一 p，Y 服从标准正态分布 N(0，1)求： (I)U=X+Y 的分布函数； ( )V=XY 的分布函数31 汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车 A，B ，C 同时进入该加油站，假设 A、B 首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三
10、辆车 C 加油假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为 的指数分布(I)求第三辆车C 在加油站等待加油时间 T 的概率密度；()求第三辆车 C 在加油站度过时间 S 的概率密度32 设总体 XN(， 2),， 2 未知，而 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本. (I)求使得 a+f(x;,2)dx=0 05 的点 a 的最大似然估计，其中 f(x；, 2)是 X 的概率密度； ( )求 PX2的最大似然估计考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 39 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然我们需要通过联合密
11、度函数计算边缘密度函数来确定正确选项由于 f X(x)=-+f(x，y)dy= -+g(x)h(y)dy=g(x)-+h(y)dy=bg(x)， f Y(y)=-+g(x)h(y)dx=ah(y)， 又 1= -+-+f(x，y)dxdy= -+g(x)dx-+h(y)dy=ab， 所以f(x，y)=g(x)h(y)=abg(x)h(y)=bg(x)ah(y)=f X(x)fY(y)，X 与 Y 独立，故选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 设 X 的概率分布为 PX=a=p，PX=b=1 一 p=q(ab)，而 Y 的分布函数为 F(y)，U=X+Y因为
12、X 与 Y 相互独立，故由全概率公式有F(u)=Px+yu =pPX+YU|X=A+qPX+YuX=b=pPYu 一 a+qPYu 一 b=pF(u 一 a)+qF(u 一 b)由此可见 X+Y 的分布函数 F(u)是连续函数故选 (A)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 X 即 PX=0=PX=1= 可以将事件“X=0”和事件“X=1”看成一完备事件组，由全概率公式有 PXY0=PXY0，X=0+PXY0，X=1 =PX=0+PY0，X=1 其中 (x)是标准正态分布 N(0，1) 的分布函数， (0)= 选(D) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】
13、C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 X 与 Y 独立同分布，因此 E(X)=E(Y)，E(X 2)=E(Y2)又 E(U)=E(X 一 Y)=E(X)一 E(Y)=0， E(UV)=E(XY)(X+Y)=E(X 2 一 Y2)=E(X2)一 E(Y2)=0， Cov(U，V)=E(UV)一 E(U)E(V)=0， 从而可知 U 与 V 的相关系数为零，故选(D)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 依题设，二维随机变量(X，Y)在矩形 G 上服从均匀分布，且SG=3，于是(X
14、，Y) 的联合概率密度为 又矩形 G 上的点(X，Y) 落到圆 X2+Y24 上的区域如图 31 所示，分成三角形和扇形两部分，则有【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 设随机变量(2X，Y+1)的分布函数为 F1(x，y)，则【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 =03，=01，04；03【试题解析】 由 01+02+01+02=1 及 PX+Y=1=PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=+0 1=04 解得 =03，=0 1于是 PX+Y1= X=i，Y=j =PX=0，Y=一 1+PX=0，Y=0+PX=1，Y=一 1 =0 1+02+01=04： PX2
15、Y2=1：PX=1，Y=一 1+PX=1，Y=1=0 1+02=03【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 1【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布，所以 Z=一 2X+3Y+5 服从正态分布要求 f(z)= 则需确定参数 与 的值又 E(Z)=，D(Z)= 2，因此归结为求 E(Z)与 D(Z)根据数学期望和方差的性质及 E(X)=1， D(X)=2， E(Y)=一 3， D(Y)=4，可得 E(Z)=E( 一 2X+3Y+5)=一2E(X)+3E(Y
16、)+5 =(一 2)1+3(一 3)+5 =一 6， D(Z)=D( 一 2X+3Y+5)=(一 2)2D(X)+32D(Y)=42+94=44因此 Z 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 (I)利用(X，Y)的概率密度，可得【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 (I)由于边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以 假如随机变量 X 与 Y 相互独立，就应该对任意的 i， j，都有 pij=pip j，而本题中p14=0，但是 p1与 p4 均不为零，所以 p14p1p 4，故 X 与 Y 不是
17、相互独立的【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 (I)由 P|X|Y|=1 知，P|X|=|Y|=0由此可得 X 与 Y 的联合分布律为 因为 PX=一 1，Y=一1PX=一 1PY=一 1，所以 X 与 Y 不独立 ()由(X，Y)的联合分布律知U，V 的取值均为一 1，1，且 故 U与 V 的联合分布律与边缘分布律为 可验证U 与 V 独立【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (I)()由(X，Y) 的分布律，得 所以，两个边缘分布律分别为()因为 PX=一1，Y=3= 故 X 与 Y 不独立()由(X，Y) 的分布
18、律，得所以3X+4Y 的分布律为(V)由()可得 X+Y 的分布律为 所以 PX+Y1=PX+Y=2+PX+Y=3=【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 ()F(2，一 1)=PY2，Z一 1=PY2，(2X 一 1)Y一 1 =PX=0PY2，(2X一 1)Y一 1|X=0+PX=1PY2，(2X 一 1)Y一 1|X=1【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 (I)(X，Y)的全部可能取值为(0， 1)，(0，2)，(0，3)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(3，1) ，再分别计算相应概率 事件X=0，Y=1表示“三封信均投入后 3 个邮筒中的某一个邮筒内”依古
19、典概型公式，样本空间所含样本点数为43=64，有利于事件X=0，Y=1 的样本点数为 C31=3，于是另一种计算事件X=0，Y=1的概率的方法是用乘法公式： 类似地可以计算出各有关概率值，列表如下：()从表中看出 Y只取 1，2，3 三个可能值，相应概率分别是对表中 pij 的各列求和于是 Y 的边缘分布为表中最后一行的值在 X=0 条件下，关于 Y 的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下：【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 易见随机变量(X 1，X 2)是离散型的，它的全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) 现在要计算出取各相应值的概率。注意到事件
20、Y1，Y 2，Y 3 相互独立且服从同参数 p 的 0 一 1 分布，因此它们的和 Y1+Y2+Y3服从二项分布 B(3，p)于是 PX 1=0，X 2=0 =PY1+Y2+Y31，Y 1+Y2+Y32 =PY=0+PY=3=q3+p3， PX1=0，X 2=1=PY1+Y2+Y31，Y 1+Y2+Y3=2 =PY=2=3p2q，PX 1=1，X 2=0 =PY1+Y2+Y3=1，Y 1+Y2+Y32=Py=1 =3pq2， PX 1=1，X 2=1=PY1+Y2+Y3=1，Y 1+Y2+Y3=2=P =0由上计算可知(X 1，X 2)的联合概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确
21、答案】 (I)由题设 PX+Y=1=1，即 PX=一 1，Y=2+PX=0 ，Y=1+PX=1，Y=0=1 ，故其余概率值均为零，即 PX=一 1，Y=0=PX= 一 1，Y=1=PX=0，Y=0=PX=0，Y=2=PX=1，Y=1=PX=1 ，Y=2=0，由此可求得联合分布为 ()因为 PX=一1，Y=0=0PX=一 1PY=0= ，故 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由 X 和 Y 的独立性，知 X 和 Y 的联合概率密度为按题意需求概率 PXY如图 32，则有【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 (I)由于以(0 ，0)，(1，一 1)，(
22、1， 1)为顶点的三角形面积为12=1(如图 33) ，故【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 如图 34 所示，区域 D 是一个底边平行于 x 轴的等腰梯形，其面积 (1+3)1=2，因此(X，Y)的联合概率密度为当 x0 或 x3 时，由于 fX(x)=0，因此条件密度 fY|X(y|x)不存在注意在 x0 或x3 时，f Y|X(|x)不是零，而是不存在【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (I)根据题设 X 在(0 ，1)上服从均匀分布，其概率密度函数为而变量 Y，在 X=X 的条件下，在区间(X ，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 再根据条件概率密度的
23、定义，可得联合概率密度()利用求得的联合概率密度，不难求出关于 Y 的边缘概率密度()由图 35 可以看出【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 依题意，X 的概率密度为 在 X=x 的条件下，关于 Y 的条件概率密度为 根据条件概率密度的定义可得X 与 Y 的联合概率密度为根据二维正态分布的性质可知，二维正态分布(X，Y)的边缘分布是一维正态分布，于是 Y 的概率密度为 从上面式子可以看出，在 Y=y 条件下关于 X 的条件分布是正态分布【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求
24、得 Z 及(X，Z)的分布，进而判断 X、Z 是否独立由题设知(X，Y) 则 Z、(X ，Z)的分布为 由此可知 Z 服从参数 p=的 0-1 分布；(X ，Z) 的联合概率分布为 因PX=i，Z=j= =PX=iPZ=j(i，j=0， 1)，故 X 与 Z 独立【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 (I)依题意 PY=一 1= XN(0，1)且 X 与 Y 相互独立，于是 Z=XY 的分布函数为 F Z(z)=PXYz=PY=一 1PXYz|Y=一 1+PY=1PXYz|Y=1 =PY=一 1P一 Xz|Y=一 1+PY=1PXz|Y=1 =PY=一 1PX一 z+PY=1PXz
25、即 Z=XY 服从标准正态分布，其概率密度为 ()由于 V=|XY|只取非负值，因此当 v0 时，其分布函数 FV(v)=P|XY|v=0；当 v0 时，F V(v)=P一 vXYv=PY=一 1P一 vXYv|Y=一 1+PY=1P一 vXYv|Y=1由于 FV(v)是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此 V 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 由题意知 ZB(n，p)，其中 p=PX2= 2+e-xdx=e-2，即ZB(n，e -2)，又 X 与 Y 独立，故 Y 与 Z 独立，Z 为离散型随机变量，应用全概率公式可以求得 T=Y+Z 的分布函数 FT(t)事实
26、上，由于 ，所以，根据全概率公式可得其中 p=e-2，tR 【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 (I)根据全概率公式有【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 首先我们需要求出 T、S 与各辆车加油时间 Xi(i=1，2，3)之间的关系假设第 i 辆车加油时间为 Xi(i=1，2，3)，则 Xi 独立同分布，且概率密度都为 依题意，第三辆车 G 在加油站等待加油时间 T=min(X1，X 2)，度过时间=等待时间+加油时间，即 S=T+X3=min(X1，X 2)+X3(I) 由于 T=min(X1，X 2)，其中 X1 与 X2 独立，所以 T 的分布函数 F T(t) =Pmin(X1，X 2)t=1 一 Pmin(X1， X2)t=1 一 PX1tPX 2tT 的密度函数即 T=min(X1，X 2)服从参数为 2 的指数分布 ()S=T+X3=min(X1，X 2)+X3，T 与 X3 独立且已知其概率密度，由卷积公式求得 S 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 已知 ， 的最大似然估计值分别为(I)a +f(x;,2)dx=F(+；， 2)一 F(a； ， 2)=其中，F 为 X 的分布函数由最大似然估计的不变性，得 a 的最大似然估计为 ()由最大似然估计的不变性，知 PX2的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计
