1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为其中 A 为常数，则 F = ( )2 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= (0)，则概率 PX +a(a 0)的值 ( )（A）与 a 无关，随 增大而增大（B）与 a 无关，随 增大而减小（C）与 无关，随 a 增大而增大（D）与 无关，随 a 增大而减小3 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布，XN(，4 2)，Y N( ，5 2)，记 p1=PX-4)，p 2=PY+5)，则 ( )（A）对任意实数 ，都有
2、p1=p2（B）对任意实数 ，都有 p1p 2（C）只对 的个别值，才有 p1=p2（D）对任意实数 ，都有 p1p 24 设 X 的概率密度为 f(x)= ，则 Y=2X 的概率密度为 ( )5 已知随机向量(X 1，X 2)的概率密度为 f1(x1，x 2)，设 Y1=2X1， ，则随机向量(Y 1，Y 2)的概率密度为 f2(y1，y 2)= ( )二、填空题6 设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度为 则常数 k=_7 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X2 在(0，4)内的密度函数为 fY(y)=_8 设二维随机变量(X，Y)在区域 D= 上服从均匀分布，
3、则(X，Y) 的关于 X 的边缘概率密度 fX(z)在点 x=e 处的值为_9 设二维随机变量(X，Y)在 G= 上服从均匀分布，则条件概率 =_10 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= ，则对 x0，f Y X(yx)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 已知随机变量 X1 与 X2 的概率分布，而且 PX1X2=0-111 求 X1 与 X2 的联合分布；12 问 X1 与 X2 是否独立? 为什么 ?13 设随机变量 X 与 Y 相互独立，概率密度分别为求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度 fZ(z)14 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 求随机
4、变量 Z=X-Y 的概率密度 fZ(z)15 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求二维随机变量(X 2，Y 2)的概率密度16 设二次方程 x2-Xx+Y=0 的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求 X 与 Y 的概率密度17 设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布，证明：Z=X+Y 服从参数为 2n， p 的二项分布18 设 ， 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为，i=1，2， 3，又设 X=max，) ，=min ，试写出二维随机变量(X ， Y)的分布律及边缘分布律，并求 P=19 设随机变量 X 与 Y 相互独立
5、，都服从均匀分布 U(0，1)求 Z=X-Y 的概率密度及20 设(X，Y)的概率密度为 问 X，Y 是否独立?21 设随机变量(X，Y) 的概率密度为求 Z=X2+Y 的概率密度 fZ(z)22 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且 Xi 服从参数为 i 的指数分布，其密度为 求 PX1=minX1，X 2，X n)23 设 X 关于 Y 的条件概率密度为 而 Y 的概率密度为 求24 设(X，Y)服从 G=(x，y)x 2+y21上的均匀分布，试求给定 Y=y 的条件下 X的条件概率密度函数 fX Y(xy)25 设试验成功的概率为 ，独立重复试验直到成功两次为止，试求试验次数的
6、数学期望26 市场上有两种股票，股票 A 的价格为 60 元股，每股年收益为 R1 元，其均值为 7，方差为 50股票 B 的价格为 40 元股，每股年收益为 R2 元，其均值为32，方差为 25，设 R1 和 R2 互相独立某投资者有 10000 元，拟购买 s1 股股票A，s 2 股股票 B，剩下的 s3 元存银行，设银行 1 年期定期存款利率为 5，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于 800 元，并使投资收益的方差最小，求这个投资策略(s 1，s 2，s 3)，并计算该策略的收益的标准差27 设随机变量服从几何分布，其分布律为 P(X=k)=(1-p)k-1p，0p1，k=1，2，求
7、 EX 与 DX考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由密度函数的性质， 可得 A=e-于是与 无关，随 a 增大而增大【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 用 代表标准正态分布 N(0，1)的分布函数，有由于 (-1)=1-(1)，所以p1=p2【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 F Y(y)=PYy)=P2Xy)= 所以，f Y(y)=，故选(C)【知识模块】
8、概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1，X 2)的分布函数为 F1(x1，x 2)，(Y 1，Y 2)的分布函数为F2(y1，y 2)，则【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 方法一 因为 ，所以，【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 D 如图 3-2 阴影部分所示，它的面积 所以(X ， Y)的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 1【试题解析】 G 如图 3-3 中OAB，它的面积 S= ，所以(X，Y) 的概率密度为由于关于 Y
9、 的边缘概率密度其中，D 如图 3-3 带阴影的三角形【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x，y)的表达式知 X 与 Y 相互独立，且关于 X 与关于 Y 的边缘概率密度分别为 由此可知，当x0 时，由 fX(x)0 知 fYX (yx)=f Y(y)=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 由联合分布与边缘分布的关系可知，X 1 与 X2 的联合分布有如下形式： 其中 p12=p32=0 是由于 PX1X2=0)=1，所以， P(X1X20)=0再根据边缘分布与联合分
10、布的关系可写出联合分布如下：【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 由联合分布表可以看出 PX1=-1，X 2=0= ，而所以，X 1 与 X2 不独立【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 本题可以按以下公式先算出 Z 的分布函数 FZ(z)：F Z(z)= fX(x)fY(y)dxdy(其中 Dz=(x，y)2x+yz)，然后对 FZ(z)求导算出 fZ(z)，但较麻烦 记 U=2X，则由随机变量的函数的概率密度计算公式得于是，Z=2X+Y=U+Y(其中 U 与 Y 相互独立)的概率密度即 fU(u)fY(z-u)仅在Dz=(u，z)0u2，z-u0)(如图 3-8 的
11、阴影部分)上取值 在 uOz 平面的其他部分都取值为 0，所以【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 由于 X，Y 不是相互独立的，所以记 V=-Y 时，(X，V) 的概率密度不易计算应先计算 Z 的分布函数，再计算概率密度 fZ(z) 记 Z 的分布函数为FZ(z)，则 FZ(z)=PZx)=PX-Yz= ，其中 Dz=(x，y)x-yz)( 直线x-y=z 的上方部分)，由 Dz 与 D=(x，y)0x1，0yx)(如图 3-9 的带阴影的OSC)相对位置可得： 当 z0 时，D z 与 D 不相交，所以 当 0z1 时，D zD=四边形 OABC，【知识模块】 概率论与数理统计
12、15 【正确答案】 由 f(x，y)的表达式知，X 与 Y 相互独立，且它们的概率密度都为记 u=g(x)=x2，它在 f(x)0 的区间(0 ，1)内单调可导，且反函数为 x=h(u)= (0u 1)，所以 U=X2 的概率密度同样地，V=Y 2 的概率密度为 (u)= 由 X 与 Y 相互独立知 X2 与 Y2 相互独立，从而(X 2，Y 2)的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 设二次方程的两个根为 X1，X 2，则它们的概率密度都为 f(t)=记 X 的概率密度为 fX(x)，则由 X=X1+X2 得 fX(x)=其中 f(t)f(x-t)= 即 f(t)f(x
13、-t)仅在图 3-10 的带阴影的平行四边形中取值为 ，在 tOx 平面的其余部分取值为零因此，当 x0 或 x4 时，f X(x)=0；记 Y 的概率密度为 fY(y)，则由 Y=X1X2 得当 y0 或y4 时，f Y(y)=0；当 0y4 时，【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 PZ=k=PX+Y=k= X=iPY=k-i故 Z=X+Y 服从参数为 2n，p 的二项分布【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 X 的可能值为 1，2，3，Y 的可能值为 1，2，3 PX=1，Y=1)=Pmax，=1，min，=1=P=1 ，=1= 以此类推可求出(X，Y)的分布律及
14、边缘分布列如下：【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 U=X-Y 的密度为当 u-1 或 u1 时，f u(u)=0；所以，Z=X-Y=U的密度为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 边缘密度为因为 f(x，y)=f X(x).fY(y)，所以 X，Y 独立【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设 Z 的分布函数为 FZ(z)，则【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 方法一 PX1=minX1，X 2，X n=PX1minX2，X 3，X n，记 Y=minX2，X 3，X n，则有(X1，y)的概率密度为 f(x，y)=f1(x)fY(y) 方
15、法二 利用连续型的全概率公式【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 (X，Y) 的概率密度为如图 3-12 所示，则【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 因为(X，Y)服从 G=(x，y)x 2+y21上的均匀分布，所以所以，当-1 y1 时，有【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 设 X 表示所需试验次数，则 X 的可能取值为 2，3，于是【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设投资策略为(s 1，s 2，s 3)，则该投资策略的收益为 S= ，平均收益及方差为：ES=s 17+s232+(10000-60s 1-40s2)5， 问题为求 的最小值 约束条件为：ES=s 17+s232+(10000-60s 1-40s2)5800 用拉格朗日乘数法求解该问题，令 L= +800-s17-s232-(10000-60s 1-40s2)5，其中 是待定系数，最优解应满足的一阶条件为：解此方程组得：s1=6356 股，s 2=3814 股，s 3=46608 元该投资策略的方差和标准差分别为：DS=506356 2+253814 2238 360，= =48822【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 其中q=1-p【知识模块】 概率论与数理统计
