1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 45 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设二维随机变量(X，Y)满足 E(XY)EXEY，则 X 与 Y（A）相关（B）不相关（C）独立（D）不独立2 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于（A）一 1（B） 0（C） （D）13 对于任意二随机变量 X 和 Y，与命题“X 和 Y 不相关” 不等价的是（A）EXY EXEY （B） Cov(X，Y)0（C） DXYDXDY（D）D(XY) DXDY4 假设随机变量 X 在区间一 1，1上均匀分布
2、，则 UarcsinX 和 VarccosX 的相关系数等于（A）一 1（B） 0（C） 05（D）15 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且方差 20，记 ，则 X1 一 的相关系数为（A）一 1（B） 0（C） （D）16 设随机变量 X 的方差存在，并且满足不等式 PXEX3 ，则一定有（A）DX2（B） PXEX 3 （C） DX2（D）PXEX3 7 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，则根据辛钦大数定律，当 n时 依概率收敛于其数学期望，只要X n，n1（A）有相同的期望（B）有相同的方差（C）有相同的分布（D）服从同参数 p 的 01 分布8 设随机
3、变量 X1，X n，相互独立，记 YnX 2n 一 X2n1 (n1)，根据大数定律，当 n时 依概率收敛到零，只要X n，n1 （A）数学期望存在（B）有相同的数学期望与方差（C）服从同一离散型分布（D）服从同一连续型分布二、填空题9 两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击如果第 i 名射手每次命中的概率为 pi(0i10 将长度为 L 的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为 _11 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 Z2X 一 1，则 Y 与 Z 的相关系数为_12 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 05，EXEY0，EX 2EY 22，则
4、E(XY) 2_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设某网络服务器首次失效时间服从 E()，现随机购得 4 台，求下列事件的概率：(I)事件 A：至少有一台的寿命 (首次失效时间)等于此类服务器期望寿命；()事件 B：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命14 设随机变量 X 服从(0，1)上的均匀分布，求下列 Yi(i1，2，3，4) 的数学期望和方差：(I)Y 1e X； ( )Y 2一 2lnX； ()Y 3 ； ()Y 4X 215 设 X 和 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为其中 0，0 是常数，引入随机变量 求 E(Z)和 D(Z)16 设随机变量
5、X，Y 相互独立，已知 X 在0，1上服从均匀分布，y 服从参数为1 的指数分布求(I)随机变量 Z2XY 的密度函数；()Cov(Y ，Z)，并判断 X与 Z 的独立性17 设二维随机变量(U，V)一 N(2，2；4，1； )，记 XU 一 bV，YV(I) 问当常数 b 为何值时，X 与 Y 独立?() 求(X，Y)的密度函数 f(x，y)18 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为试求：(I)数学期望 EX，EY；() 方差DX，DY；() 协方差 Cov(X，Y) ，D(5X 一 3Y)19 设二维随机变量(X，Y)在区域 D(x，Y) 0x1 ，0y2上服从均匀分布，令 Zmin(
6、X，Y) ，求 EZ 与 DZ20 设 X1，X 2，X 12 是取自总体 X 的一个简单随机样本，EX，DX记Y1X 1X 8，Y 2X 5X 12，求 Y1 与 Y2 的相关系数21 写了 n 封信，但信封上的地址是以随机的次序写的，设 Y 表示地址恰好写对的信的数目，求 EY 及 DY22 设随机变量 X 和 Y 独立，并且都服从正态分布 N(， 2)，求随机变量Zmin(X，Y)的数学期望23 将一颗骰子重复投掷 n 次，随机变量 X 表示出现点数小于 3 的次数，y 表示出现点数不小于 3 的次数求 3Xy 与 X 一 3y 的相关系数24 设随机变量 U 服从二项分布 B(2， )
7、随机变量求随机变量 XY 与 XY 的方差和 X 与 Y 的协方差25 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D(x，y)x 2y 21上服从均匀分布(I)问 X 与 y 是否相互独立； ()求 X 与 Y 的相关系数考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 45 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 E(XY)EXEY，故 Cov(X，Y) E(XY)一 EXEY0，X 与 Y 不相关，应选(B)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 依题意，YnX，故 XY一 1应选(A)一般来说，两个随机变量
8、X 与 Y 的相关系数 XY 满足 XY1若 YaX b ，则当 a0 时，XY1 ，当 aXY一 1【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 Cov(X，Y)EXYEXEY0 是“X 和 Y 不相关”的充分必要条件，可见(A) 与(B)等价由 D(XY)DXDY 的充分必要条件是 Cov(X，Y)0，可见(B)与(D) 等价于是， “X 和 Y 不相关”与(A) ，(B)和(D)等价故应选(C) 选项(C)不成立是明显的，为说明选项 (C)不成立，只需举一反例设 X 和 Y同服从参数为 p(02 的 0 一 1 分布： PXY1 PX 1，Y 1P 2，PXY 0
9、1 一 p2 因此 DXYp 2(1 一 p2)p2(1 一 p)2DXDY【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 注意到 UarcsinX 和 VarecosX 满足下列关系：arcsinX arxcosX，即 U一 V ，由于 U 是 V 的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数 1.应选(A)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xi 独立同分布，故 DXi 2， ，Cov(X 1，X i)0(i1) ，故应选(B) (注：容易计算 D(X1 一 )【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 因事件
10、X EX ，即选项(D)正确进一步分析，满足不等式PlXEX3 的随机变量，其方差既可能不等于 2，亦可以等于 2，因此结论(A)与(C)都不能选比如： X 服从参数为 P 的 01 分布，DXpq 0 因此(A)不成立若 X 服从参数 n8，P05 的二项分布，则有EX4，DX2但是 PXEX3PX 一 43PX0PX 1PX7 PX8 因比(B)也不成立【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X1，X 2，X n，相互独立的条件之外，还要求 X1，X 2，X n，同分布与期望存在，只有选项 (D)同时满足后面的两个条件，应选(D)【
11、知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xn 相互独立，所以 Yn 相互独立选项 (A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在 ”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B) 事实上，若 EXn，DX n 2 存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意 0有 即依概率收敛到零【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数一 1：未击中的次数以 Xi 表示第
12、i 名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数 Xi1 服从参数为 pi 的几何分布，因此 PXik(1 一 pi)kpi1，2，且 E(X i1) ，i 1，2，于是EXiE(X i1)一 1 1，两射手脱靶总数 XX 1X 2 的期望为EXEX 1EX 2 .【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 设 X 为折点到左端点的距离，Y 为较短段的长，则 XU(0 ，L)，且于是 E(Y)Eg(X) g(x)f(x)dx【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 0.9【试题解析】 Cov(Y，Z)Cov(Y，2X 一 1)2Cov(X，Y) ，DZ D(2X 一
13、 1)4DXY 与 Z 的相关系数 YZ 为【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 6【试题解析】 DXEX 2 一(Ex) 22，DY2，Cov(X，Y) XY1，E(XY)EXEY0，E(X Y) 2D(XY)E(X y) 2D(X Y) DX2Cov(X，Y)DY2226【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 设服务器首次失效时间为 X，则 XE()(I)由题设 XE(A)可知，X 为连续型随机变量由于连续型随机变量取任何固定值的概率是 0，因此 P(A)0(详细写作：因 pPX E(X)0，故 P(A) 0)()由于
14、XE()，则 E(X) ，即服务器的期望寿命为 从而一台服务器的寿命小于此类服务器期望寿命 E(X)的概率为 而每台服务器的寿命可能小于 E(X)，也可能超过 E(X)，从而 4 台服务器中寿命小于 E(X)的台数应该服从二项分布，故所求概率为 P(B) p0(1 一 po)34e 3 (1 一 e1 )【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 直接用随机变量函数的期望公式，即(4，4)式，故() EY1 01exdxe1，EY 12 01e2xdx (e21)DY1EY 12 一(EY 1)2 (e21)一(e一 1)2 (e 一 1)(3 一 e)() EY2 012lnxdx 2
15、xlnx 2 01dx2EY 21 014ln2xdx4xln 2x 2 01lnxdx，8 01lnxdx8，DY 22844() 01 dX，故 EY3 不存在，DY 3 也不存在() EY4 01x2dx EY 42 01x4dx ，【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由于 Z 为 0 一 1 分布，故 E(Z)PZ1，D(z) PZ1PZ0 而 PZ1 P2XY fX(x)fY(y)dxdyPZ0 1 一PZ1 2(2)，所以 E(Z)(2) ， D(Z)2(2) 2【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 (X，Y) 的联合密度(I)方法 1。分布函数法F Z(
16、z)PZzP2XYz当 zZ(z)0；当 0z2 时，如图 41，F Z(z)f(x，y)dxdy ey dy 1 一 e(z 2x) dz (1 一ez 当 z2 时，Z 的概率密度fZ(z)为 (II)由于 X，Y 相互独立，所以 Cov(X，Y)0Cov(Y，Z)Cov(y，2X Y)2Cov(X ，Y) DY011 由于 Cov(X，Z) Cov(x，2X y)2DxCov(X ，Y) 0，所以 X 与 Z 不独立【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (I)由于 XU 一 bV，YV 且 10，故(X ，Y)服从一维正态分布，所以 X 与 Y 独立等价于 X 与 Y 不相关
17、，即 Cov(X，Y) 0，从而有Cov(UbV，V)0，Cov(U，V)一 bDV0，即 一 b10，解得 b1，即当 b1 时，X 与 Y 独立()由正态分布的性质知 XUV 服从正态分布，且 EX EUEV220DXD(U V)DUDV 一 2Cov(U，V)4123，所以 XN(0，3)，同理 YVN(2，1)又因为 X 与 Y 独立，故【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 (I)先求出 X 与 Y 的边缘密度，再计算 EX，EY 等.EX xfX(x)dx 014x4dxEX yfY(y)dx 014y2(1y 2)dy () EX2 014x5dx ，DX EX2(EX
18、) 2 EY2 014y3(1y 2)dy ，DY ()EXY 01dx0x8xydy 01 ，Cov(X，Y)EXY EXEYD(5X 一 3Y)25DX 一 30Cov(X，Y)9DY【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 先求出 z 的分布函数 FZ(z)与概率密度 fZ(z)，再计算 EZ 与DZ当 zZ(z)0，当 z1 时，F Z(z)1，当 0zz 1 一 PXz ，Y z1 一PXzPYz1(1 z)(1 )(3zz 2)，【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 根据简单随机样本的性质，X 1， X2，X 12 相互独立且与总体X 同分布，于是有 EXi ，
19、DX i 2，Cov(X i，X j).DY1D(X 1X 8)DX 1DX 880 2，DY 2D(X 5X 12)DX 5DX 1280 2，Cov(Y 1，Y 2)Cov(X 1X 8，X 5X 12)Cov(X 5，X 5)Cov(X 6，X 6)Cov(X 7，X 7)Cov(X 8，X 8)4 2，于是 Y1 与 Y2的相关系数为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 EX kPX k1 ，DX k ，k1，n，E(X kXl)PX k1，X t1PX k1PX t1 X k 1 ，Cov(X k，X lE(X kXlEX kEXl，【知识模块】 概率论与数理统计22 【
20、正确答案】 设 U(X 一 ) ，V(Y 一 ) ，有ZminU，V minU，VU 和 V 服从标准正态分布 N(0，1)，其联合密度为 由求随机变量函数的数学期望的一般式，有(见图 44)EminU，V minu，v(u，v)dudv minu，vexp dudv在上面的积分中作换元：设 有EminU，VEZEminX， YEminU，V 一 同样可以求得 EmaxX ，Y 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 依题意，X 服从二项分布，参数 p 为掷一颗骰子出现点数小于 3的概率，即 p ，因此有 xB(n， )， ；ynXB(n， )， ；Cov(X，Y)Cov(X，n 一
21、 X)一 DX又 D(3XY) 9DX 6Cov(X，y) DY 4DX ，D(X 一 3Y)DX 一6Cov(X，Y)9DY16DX ，Cov(3XY，X 一 3Y)3DX 一 8Cov(X，Y) 一3Dy8DX 于是，3XY 与 X 一 3Y 的相关系数 为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 先求出 X 与 Y 的概率分布及 XY 的概率分布。即 PX 一1PUOPU0 ， PX1 ，PY一 1PU ， PY1 ，PXY一 1PX一 1，Y1PX 1 ，Y一 l0 ，P XY1 1 PXY一 1 其次计算 EX，EY，DX，D Y 与 E(XY)即EX一 PX一 1PX 1
22、，E(XY)一 PXY一 1PXY 10最后应用公式可得 Cov(X，Y)E(XY)一 EXEY ，D(XY)DX2Cov(X，Y)DY2，D(XY) DX 一 2Cov(X，y)DY1【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 依题意，(X，Y)的联合密度为 (I)为判断 X 与 Y 的相互独立性，先要计算边缘密度 fX(x)与 fY(y)当x1 时，f X(x)0类似地，有 当 xy0 时，f(0，0) ，而fx(0)fy(0) 显然它们不相等，因此随机变量 X 与 Y 不是相互独立的或 fX(x)fY(y)f(x，y) ，故 X 与 Y 不相互独立在这里，被积函数是奇函数，而积分区间一 1，1 又是关于原点对称的区间，故积分值为零类似地，有 EY0，故 Cov(X，Y)E(XY)一 EXEY0， 【知识模块】 概率论与数理统计
