1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 50 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为任意两个不相容的事件且 P(A)0，P(B) 0，则下列结论正确的是( )（A）（B）（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)=P(A)2 设 XN(，4 2)，YN(，5 2)，令 P=P(X 一 4)，q=P(Y+5) ，则( )（A）pq（B） pq（C） p=q（D）p，q 的大小由 的取值确定3 设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2，则对任意常数 C 有( )（A）E(XC) 2=E(X 一 )2（B） E(X C)2E(X)
2、2（C） E(XC)2=E(X2)一 C2（D）E(XC) 2E(X 一 )24 设随机变量 XF(m，n)，令 PXF (m，n) =(0 1)，若 P(Xk)=，则k 等于( ) （A）F (m，n)（B） F1 (m，n)（C）（D）5 若事件 A1，A 2，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（A）A 1，A 2，A 3 相互独立（B） 两两独立（C） P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)（D） 相互独立6 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 y=minX，2的分布函数( )（A）是阶梯函数（B）恰有一个间断点（C）至少有两个间断点（D）是连续函
3、数7 若(X，Y) 服从二维正态分布，则 X，Y 一定相互独立；若 XY=0，则X，Y 一定相互独立；X 和 Y 都服从一维正态分布； X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布，上述几种说法中正确的是( )（A）（B） （C） （D）二、填空题8 设事件 A，B 相互独立，P(A)=0 3，且 P(A+ )=07，则 P(B)=_9 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P(X=0)= P(X=1)，则 P(X1)=_10 设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)=_11 设随机变量 X 在一 1，2上服从均匀分布，随机变量 Y= ，则 D(Y)=_12 设
4、X 为总体，E(X)= ， D(X)=2，X 1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本，S2= ，则 E(S2)=_13 设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=05， =_14 设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p=_时，成功次数的标准差最大，其最大值为_15 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，则 E(X)=_，D(X)=_16 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，S 2= ，则D(S2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= ，求
5、：17 (X， Y)的边缘密度函数；18 Z=2XY 的密度函数19 设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时问服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动，求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度20 设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差21 设总体 X 的分布律为 P(X=k)=(1p) k1 p(k=1，2，)，其中 p 是未知参数，X1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量21 设总体 X 的
6、概率密度为 f(x)= ，其中未知参数 0，设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单样本22 求 的最大似然估计量；23 该估计量是否是无偏估计量?说明理由24 设 ，求矩阵 A 可对角化的概率24 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 U= ，求：25 (U， V)的分布；26 U，V 的相关系数27 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)分布，令 Z=maxX ，Y ，求E(Z)28 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n1 为总体 X 的简单随机样本，记 服从的分布29 某种元件使用寿命 XN(，10 2)，按照客户要求该元件使用寿命不能低于1000
7、h，现从该批产品中随机抽取 25 件，其平均使用寿命为 =995，在显著性水平 =005 下确定该批产品是否合格?考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 50 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 不相容，所以 P(AB)=0，又 P(AB)=P(A)一 P(AB)，所以 P(AB)=P(A)，选(D)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 E(X-C) 2 E(X-)2=E(X2)一 2CE(X)+C2一E(X 2)一 2E(X)+2 =C
8、2+2E(X)E(X)C 一E(X) 2=CE(X)20，选(B)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 B【试题解析】 根据左右分位点的定义，选(B)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A1，A 2，A 3 两两独立，所以 也两两独立，但不一相互独立，选(B)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 B【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=Pmin(X，2)y=1 一 Pmin(X，2)y=1 一P(Xy，2 y)=1 一 P(Xy)P(2y)当 y2 时，F Y(y)=1；当 y2 时，F Y(y)=1 一P(Xy)=P(Xy)=F X(y)，而 FX(x)= ，
9、所以当 0y2 时，F Y(y)=1e y ；当y0 时，F Y(y)=0，即 FY(y)= ，显然 FY(y)在 y=2 处间断，选(B)【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 X，Y 都服从一维正态分布，aX+bY 服从一维正态分布，且 X，Y 独立与不相关等价，所以选(B)【知识模块】 概率统计二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 1 一 e2【试题解析】 X 的分布律为 P(X=k)= e (k=0，1，2，)，由 P(X=0)= P(X=1)得 =2，P(X1)=1 一 P(X=0)=1
10、 一 e2 【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 【试题解析】 P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1， Y=1)+P(X=2，Y=0)，由 X，Y 相互独立得 P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，随机变量 Y 的可能取值为一1，0，1，【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 0.2【试题解析】 因为 相互独立，故 =P(A)1 一 P(B)=0405=0 2【知
11、识模块】 概率统计14 【正确答案】 p= ，最大值为 5【试题解析】 设成功的次数为 X，则 XB(100，p)，D(X)=100p(1p) ，标准差为 令 f(p)=p(1-p)(0P1)，由 f(p)=12p=0 得 =一 20，所以 时，成功次数的标准差最大，最大值为 5【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 E(X)=1，D(X)=【试题解析】 因为【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 当 0x1 时，f X(x)= f(x， y)dy=02xdy=2
12、x，当 x0 或 x1时，f X(x)=0，所以 fX(x)= ，同理 fY(y)= 【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 当 z0 时，F(z)=0；当 z2 时，F(z)=1；当 0z 2 时，【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 用 X，Y 分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则T=X+Y，由已知条件得 X，Y 的密度为 fX(x)= 当 t0 时，F T(t)=0；当 t0 时，FT(t)=P(X+Yt)= =250te5x dx0tx e5y dy=50te 5x1 一 e5(tx) dx=50t(e5x e5t )dx=(1 一 e5t )一 5te5t T 的密度
13、函数为 f(t)= 【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 显然 XB(10，p)，其中 p=P(16L22)，因为 LN(18，4)，所以 N(0，1) ，所以 p=P(16L22)=(1 2)=(2)一 (一 1)=(2)+(1)一1=08185 因此 E(X)=np=1008185=8 185，D(X)=npq=100 8185(1 08185)=14856【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 为样本值，似然函数为【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 参数 的无偏估计量【知识模块】 概率统
14、计24 【正确答案】 由E 一 A= =(1)( 一 2)(Y)=0 得矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=Y若 Y1，2 时，矩阵 A 一定可以对角化；当 Y=1 时，A=，=1 为二重特征值，因为 r(EA)=2，所以 A 不可对角化；当 Y=2 时，A=，=2 为二重特征值，因为 r(2EA)=1 ，所以 A 可对角化，故 A 可对角化的概率为 P(Y1，2)+P(Y=2)=P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)= 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以 X 的分布函数为(U，V) 的可能取值为(0，0) ，
15、(0，1)，(1，0)，(1，1)P(U=0，V=0)=P(X1，X2)=P(X1)=F(1)=1 一 e2 ；P(U=0，V=1)=P(X1，X2)=0；P(U=1，V=1)=P(X1，X2)=P(X 2)=1 一 F(2)=e4 ；P(U=1，V=0)=P(X1，X2)=e 2 一 e4 (U，V) 的联合分布律为【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 由 U 得 E(U)=e2 ，E(V)=e 4 ，E(UV)=e 4 ，E(U 2)=e2 ，E(V 2)=e4 ，则 D(U)=E(U2)一E(U) 2=e2 一 e4 ，D(V)=E(V 2)一E(V)2=e4 e 8 ，Cov(U，
16、V)=E(UV)一 E(U)E(V)=e4 一 e6 ，于是 UV= 【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 因为 X，Y 都服从 N(， 2)分布，所以 U= N(0 ，1) ，且U，V 相互独立，则 X=U+，Y=V+ ，故 Z=maxX，Y=maxU ，V+，由U，V 相互独立得(U，V)的联合密度函数为 f(，)= (一 ，+)于是E(Z)=EmaxU，V+而 EmaxU，V= d max，f(，)d【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 令 H0：1 000，H 1： 1000，因为总体方差已知，所以选取统计量 ，左临界点为一 z005 =一 1645，因为 =一 251645，所以拒绝 H0，即该批产品不合格【知识模块】 概率统计
