1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 55 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，Y E(1)，则 P(X+Y1)等于( )（A）（B） 1-e（C） e（D）2e2 设随机变量 XU0，2，Y=X 2，则 X，Y( )（A）相关且相互独立（B）不相互独立但不相关（C）不相关且相互独立（D）相关但不相互独立3 设随机变量 X 的分布函数为 F(z)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（A）F(x 2)（B） F(一 x)（C） 1 一 F(x)（D）F(2x 一 1)4 对于随机变量 X1，X
2、 2，X n，下列说法不正确的是( )（A）若 X1，X 2，X n 两两不相关，则 D(X1+X2+Xn)= D(Xi)（B）若 X1，X 2，X n 相互独立，则 D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)（C）若 X1，X 2，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2)，则（D）若 D(X1+X2+X)一 D(X1)+D(X2)+D(K)，则 X1，X 2，K 两两不相关二、填空题5 设事件 A，B，C 两两独立，满足 ABC= ，P(A)=P(B)=P(C) ，且 P(A+B+C)=，则 P(A)=_6 设随机变量 XN(0，1)，且 Y=9X2，则 Y 的密度函数为
3、7 设常数 a0，1 ，随机变量 XU0，1，Y= Xa，则 E(XY)=_8 设随机变量 X 方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 PX E(X)2_9 设 X1，X 2，X 3，X 4，X 5 为来自正态总体 XN(0，4)的简单随机样本，Y=a(X 1一 2X2)2+b(3X34X4)2+cX52(abc0)，且 Y 2 (n)，则a=_，b=_，c=_10 一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为_11 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为 FX(x)= ，F y(y)= ，令U=X+Y，则 U 的分
4、布函数为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 10 件产品中 4 件为次品，6 件为正品，现抽取 2 件产品12 求第一件为正品，第二件为次品的概率；13 在第一件为正品的情况下，求第二件为次品的概率；14 逐个抽取，求第二件为正品的概率15 一批产品有 10 个正品 2 个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率16 设 X 的密度函数为 f(x)= ，求 k 的取值范围16 设(X，Y)的联合密度函数为 f(X，y)= 17 求 a；18 求 X，Y 的边缘密度，并判断其独立性；19 求 fXY (x y)20 设随机变量 XU(0，1)，Y
5、E(1) ，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度21 设 X1，X 2，X 7 是总体 XN(0，4)的简单随机样本，求 P 22 一自动生产包装机包装食盐，每袋重量服从正态分布 N(， 2)，任取 9 袋测得其平均重量为 =99078，样本方差为 s2=1143 2，求 的置信度为 095 的置信区间23 将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率23 设随机变量 X 满足 发生的情况下，X 在(-1，1)内任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比24 求 X 的分布函数；25 求 P(X0)26 设随机变量 X
6、N(， 2)，YU 一 ，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求fZ(z)26 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i=Xi(i=1，2，n)求：27 D(Yi)(i=1， 2，n)；28 Cov(Y1，Y n)；29 P(Y1+Yn0)30 设总体 XU0， ，其中 0，求 的极大似然估计量，判断其是否是 的无偏估计量考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 55 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 XU(0，2)，YE(1) 得【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由
7、 XU0，2得 fX(x)= E(X)=1，E(Y)=E(X 2)= ，因为E(XY)E(X)E(Y)，所以 X，Y 一定相关，故 X，Y 不独立，选(D)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 函数 (x)可作为某一随机变量的分布函数的充分必要条件是：(1)0(x)1； (2)(x)单调不减；(3)(x)右连续； (4)(一 )=0，(+)=1 显然只有 F(2x1)满足条件，选 (D)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 D【试题解析】 若 X1，X 2，X n 相互独立，则(B)，(C) 是正确的，若X1，X 2，X n 两两不相关，则 (A)是正确的，选 (D)【知识
8、模块】 概率统计二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 由 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)+P(ABC)且 ABC= ，P(A)=P(B)=P(C)，得【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 【试题解析】 F Y(y)=P(Yy)=P(9X2y)当 y0时，F Y(y)=0；【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 【试题解析】 E(XY)=EXXa= 01xx af(x)dx=01xx adx= 【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【试题解析】 PXE(X)2 【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 【试题解析】 因为 X12X2
9、N(0，20)，3X 34X4N(0 ，100)，X 5N(0 ，4) ，【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 【试题解析】 令 Ai=所取产品为 i 等品(i=1，2，3)，P(A 1)=06，P(A 2)=0 3， P(A3)=01，所求概率为【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 F U()=P(U)=P(X+Y)，当 0 时，F U()=0；当 01 时，FU()=P(U)=P(X+Y)=P(X=0，Y)=P(X=0)P(Y)= 当 12 时，F U()=P(X=0，Y)+P(X=1，Y 一 1)= 当 2时， FU()=1，所以 FU()= 【知识模块】 概率统计
10、三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 令 Ai=第 i 次取到正品(i=1 ，2)，则 【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 令 A1=第一次抽取正品， A2=第一次抽取次品，B=第二次抽取次品，【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 显然 k6，当 3k6 时，P(Xk)= k6 ；当 1k3时，P(Xk)=36 ；当 0k 1 时，P(Xk)= k1 ；当 k0 时，P(Xk)=1 ，所以1k3【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计17 【正
11、确答案】 由 dx f(x，y)dy=a 0 xdxx ey dy=a0 xex dx=1，得a=1【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 当 x0时，f X(x)=0； 当 x0 时， fX(x)= f(x，y)dy=x xey dy=xex 【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 设 Ai=第 i 本书正好在第 i 个位置，B=至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同，则 B=A1+A2+A3，且 故 P(B)=P(
12、A1)+P(A2)+P(A3)一 P(A1A2)一 P(A1A3)一 P(A2A3)+P(A1A2A3)= 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 当 x一 1 时，F(x)=0 ；【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 P(X0)=F(0)= 【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 因为 XN(， 2)，YU 一 ，所以 X，Y 的密度函数为又 X，Y 相互独立，所以 X，Y 的联合密度函数为【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 Cov(Y 1，Y n)=【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 Y 1+Yn=X1+Xn 一 ，因为 X1，X 2，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y1+Yn 服从正态分布，E(Y 1+Yn)= 【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 总体 X 的密度函数和分布函数分别为【知识模块】 概率统计
