1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 62 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 和 B 为任意二不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有2 在最简单的全概率公式 P(B)=P(B)P(B|A)+P( )P(B| )中，要求事件 A 与 B 必须满足的条件是（A）0P(A)1，B 为任意随机事件（B） A 与 B 为互不相容事件（C） A 与 B 为对立事件（D）A 与 B 为相互独立事件3 设随机变量 X 的分布函数 F(x)= 则 PX=1=（A）0（B） 12（C） e 1 （D）1e 1 4 设随机变量 X 服从正态分布( ，4 2)
2、，YN(，5 2)；记 p1=PX4，p2=PY+5，则（A）p 1=p2.（B） p1p 2（C） p1p 2（D）因 未知，无法比较 p1 与 p2 的大小5 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其分布函数分别为 FX(x)与 FY(y)，则Z=maxX，Y的分布函数 FZ(z)是（A）maxF X(z)，F Y(z)（B） FX(z)+FY(z)F X(z)FY(z).（C） FX(z) FY(z)（D）12F X(z)+FY(z)6 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于（A）1（B） 0（C） 12（D）1二、填空题7
3、口袋内有四个同样的球，分别标有号码 1，2，3，4每次从中任取一个球(每次取后放回去)，连续两次如果第 i 次取到球上的编号记为 ai，i=1，2，记事件 A表示事件“a 124a2”，则该试验的样本空间 =_；事件 A=_；概率P(A)=_8 设 f(x)=k (x)是一概率密度，则 k=_9 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，且都服从 p=23 的 01 分布，则随机变量 Z=maxX，Y的分布律为_10 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 Z=2X1，则 Y 与 Z 的相关系数为_11 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XB(5，08)，Y N(1，1)，则P0X+
4、Y10_12 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，而 X1，X 2，X 15 是取自总体 X 的简单随机样本，则 服从_分布，分布参数为_13 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，a Xi2+b 是总体方差 2的无偏估计量，则 a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 假设从单位正方形区域 D=(x，y)|0x1，0y1中随机地选取一点，以该点的两个坐标 x 与 y 作为直角三角形的两条直角边，求该直角三角形的面积大于14 概率 p15 设随机变量 X 在(0，1)上服从均匀分布，现有一常数 a，任取 X 的四个值，已知至少有一个大于 a
5、 的概率为 09，问 a 是多少?16 设 f(x)是非负随机变量的概率密度，求 Y= 的概率密度16 设二维随机变量(X，Y)的联合分布为 其中a，b，c 为常数，且 EXY=01，Px0|Y2=58，记 Z=X+Y求：17 a，b，c 之值；18 Z 的概率分布；19 PZ=X与 PZ=Y20 假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)|0x2，0y1上服从均匀分布记 ()求 U 和 V 的联合分布；()求 U 和 V 的相关系数 20 设二维随机变量(U，V)N(2 ，2；4，1；12)，记 X=UbY=V21 问当常数 b 为何值时，X 与 Y 独立?22 求(X，Y)的密度
6、函数(x ，y) 23 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0x1，0y2上服从均匀分布，令Z=min(X，Y) ，求 EZ 与 DZ。24 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|x 2+y21上服从均匀分布 ()问 X 与 Y 是否相互独立； ()求 X 与 Y 的相关系数25 有 100 道单项选择题，每个题中有 4 个备选答案，且其中只有一个答案是正确的规定选择正确得 1 分，选择错误得 0 分假设无知者对于每一个题都是从 4 个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过 40 分的概率26 设总体 X 服从韦布尔分布，密度函数为 其中0 为已知
7、，0 是未知参数，试根据来自 X 的简单随机样本X1，X 2，X n，求 的最大似然估计量考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 62 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为故应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 A ，故 B=B=(A )B=AB BP(B)=P(AB B)=P(AB)+P( B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| )应选(A)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由 PX=x=F(x)F(x 0)，可知 PX=1=F(1)F(10
8、)故应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 p 1=PX4=( )=(1)=1(1)，p 2=PY+5=1 PY+5=1 ( )=1(1)，计算得知 p1=p2，应选(A)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=Pmax(X，Y)z=PXz ，Yz=PXzPyz=FX(z)F Y(z)，应选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 依题意，Y=nX，故 XY=1应选(A)一般来说，两个随机变量 X 与 Y 的相关系数 XY 满足| XY|1若 Y=aX+b，则当 a0 时， XY=1，当a0
9、时， XY=1【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 (1，1)，(1，4)，(2，1) ，(4，4)；(2 ，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2) ，(4，3)，(4，4)；716【试题解析】 =(i，j) ：i，j=1，2，3，4=(1，1)，(1，4)，(2，1)，(4 ，4)； A=(i ，j) ：i 24j，i，j=1，2，3，4 =(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3) ，(4，4)； P(A)=#A #=716【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 将 f(x)= 作变换，得将其与正态分布 N
10、(1，12)的密度比较，可得【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 显然 Z 也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且 PZ=0=Pmax(X，Y)=0=PX=0 ，Y=0=PX=0PY=0=19，PZ=1=1 PZ=0=8 9于是 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 0.9【试题解析】 Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X1)=2Cov(X，Y) ，DZ=D(2X1)=4DX Y与 Z 的相关系数 YZ 为 YZ= =XY=09【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 0928【试题解析】 由于 EX=4，DX=08，EY=1 ，D
11、Y=1 ，所以 E(X+Y)=EX+EY=5， D(X+Y)=DX+DY=18根据切比雪夫不等式 P0X+Y 10=P|X+Y5|51 即 P0X+Y100928 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 F ；(10 ，5)【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X 15 相互独立且都服从分布N(0， 2)，所以 X12+X102 与 X112+X102 相互独立，由于 XiN(0，1)，因此 1 2(X12+X102) 2(10)，1 2(X112+X152) 2(5)，【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 样本方差 S2是总体方差 2 的无
12、偏估计，所以【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 设事件 A=“直角形面积大于 14”，依题意，事件 A 所在区域D1=(x，y)|0x1，0y1，12xy14)，如图 13，则【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 依题意 0a1 且 PXa=1a，PXa=a ，且a4=109=01，a= 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由于 X 是只取非负值的随机变量，所以在 (0，+) 内 y= 是 x 的单调可导函数，其反函数 x=h(y)=y2 的定义域为(0 ，+)，h(y)=2y0，根据公式，Y= 的概率密
13、度 fY(y)为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由联合分布性质，有 01+a+02+b+02+01+c=1，即a+b+c=04 由 EXY=012a06+0 2+3c=01 3c2a=04 由 PX0|Y2 3a5c=07 联立，解方程组 得 a=01，b=01，c=02【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由(X，Y)的联合分布及 Z=X+Y，可知 Z 的取值为0，1，2，3，4由于 PZ=0=PX=1，Y=1=01，PZ=1=PX=0，Y=1+PX=1， Y=2=01+01=02，PZ=2=PX=0，Y=2+PX= 1，Y=3+P
14、X=1，Y=1=0 2+02=04PZ=3=PX=0，Y=3+PX=1 ，Y=2=01， PZ=4=PX=1，Y=3=02，从而得 Z 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 由 X，Y 的边缘分布可知 PZ=Y=PX+Y=Y=PX=0=03， PZ=X=Px+Y=X=PY=0=P( )=0【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 ()(U ， V)是二维离散型随机变量，只取 (0，0)，(1 ，0)，(1，1)各值，且 PU=0，V=0=PXY ，X2Y=PXY=14，PU=1，V=0=PXY，X2Y=PYX2Y=1 4，PU=1，V=1=PX Y，X 2Y=P
15、X2Y=12于是(X，Y)的联合分布为()从()中分布表看出EU=34，DU=316，EV=1 2，DV=1 4；EUV=PU=1，V=1=12， Cov(U，V)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由于 X=UbV，Y=V ，且 =10，故(X，Y) 服从二维正态分布，所以 X 与 Y 独立等价于 X 与 Y 不相关，即 Cov(X，Y)=0 ，从而有Cov(UbV，V)=0，Cov(U ，V)bDV=0，即 b1=0解得 b=1，即当b=1 时， X 与 Y 独立【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由正态分布的性质知 X=UV 服从
16、正态分布，且EX=EUEV=22=0DX=D(UV)=DU+DV2Cov(U，V)=4+12 =3，所以 XN(0，3)，同理 Y=VN(2 ，1)又因为 X 与 Y 独立，故 f(x， y)=fX(x)fY(y)【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 先求出 Z 的分布函数 FZ(z)与概率密度 fZ(z)，再计算 EZ 与DZ当 z0 时，F Z(z)=0，当 z1时，F Z(z)=1，当 0z1 时，F Z(z)=PZz=Pmin(X，Y)z=1 Pmin(X，Y)z=1 PXz，Yz=1=PXzPY z=1(1z)(1 )=12(3zz 2)，f Z(z) EZ= +zfZ(
17、z)dz=01z( z)dz=512，EZ 2=01z2( z)dz=14； DZ= =11144【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 依题意，(X，Y)的联合密度为 ()为判断 X 与 Y 的相互独立性，先要计算边缘密度 fX(x)与 fY(y)f X(x)= +f(x，y)dy当|x|1 时，f X(x)=0类似地，有 fY(y) 当 x=y=0 时，f(0，0)=1，而 fX(0)fY(0)=4 2显然它们不相等，因此随机变量 X 与 Y 不是相互独立的或fX(x)f Y(y)f(x，y) ，故 X 与 Y 不相互独立()EX= +xfX(x)dx=1 1x dx=0在这里，
18、被积函数是奇函数，而积分区间1，1又是关于原点对称的区间，故积分值为零类似地，有 EY=0E(XY)= + +xyf(x，y)dxdy 故 Cov(X，Y)=E(XY)EXEY=0，【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 设 X 表示 100 个题中他能选对的题数，则 X 服从二项分布B(100，025)，从而 EX=25，DX=18 75，应用拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(25，1875)，于是 PX40=1PX401(346)=00003【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 是样本 X1， ，X n 的观测值，当xi0(i=1，2，n)时其似然函数为因此 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计
