1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 68 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 AB C，则必有：（A）P(C)P(A)P(B) 1（B） P(C)P(A)(B) 1（C） P(C) P(AB)（D）P(C)P(A B)2 设 0P(A)1，0P(B)1，P(AB)P( )1，则 A 与 B 必（A）不相容（B）对立（C）独立（D）不独立3 设三事件 A，B，C 两两独立，则 A，B，C 相互独立的充分必要条件是：（A）A 与 BC 独立（B） AB 与 AC 独立（C） AB 与 AC 独立（D）AB 与 AC 独立4 设三事件 A，B，C 相
2、互独立且 0P(C)1，则下述事件中不独立的是：（A） 与 C（B） AC 与 （C） （D） 5 设事件 A 与 B 独立且不相容，则 minP(A)，P(B)_（A）1（B） 0（C）（D）不能确定6 对事件 A，B，已知 P(A)1，则必有：（A）A（B） B A（C） A 与 B 独立（D）P(B)P(A)7 抛 n 次硬币(该币每次出现正面的概率均为 p)，则共出现偶数次正面的概率为：（A）C n2kp2k(1p) n-2k（B） p2k（C）（D）二、填空题8 对事件 A，B，已知 P( A) ，P(B ) ，P(AB) ，则 P(A)_P(B)_，P(A )_9 设 10 件产品
3、中有 4 件不合格品，从中任取 2 件已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_10 对二事件 A、B，已知 P(A)06，P(B)07，那么 P(AB)可能取到的最大值是_，P(AB)可能取到的最小值是_11 设一批产品中一、二、三等品各占 60，30，10，现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为_12 3 架飞机(一长二僚) 去执行轰炸任务，途中要过一敌方的高炮阵地，各机通过的概率均为 08，通过后轰炸成功的概率均为 03，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功求最终轰炸成功的概率为_13 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(
4、4，5)，Y N(2，9)，Z N(2，2)，则 P0XY Z3_( )07734)14 对随机变量 X，Y，Z，已知EXEY1， EZ1， DXDY1，DZ4， (X，Y) 0， X，Z ， Y，Z ( 为相关系数)则 E(XYZ)_，D(XYZ)_，cov(2XY， 3ZX)_15 设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如表) 其中 ， 未知，但已知 E(Y) ，则 _， _，E(X)_，E(XY)_16 设(X，Y)在 D： ya(a 0)上服从均匀分布，则 E(X)_，E(Y)_，E(XY)_17 对随机变量 X，Y，已知 3X5Y11，则 X 和 Y 的相关系数为_三、解答题解答应写出
5、文字说明、证明过程或演算步骤。18 将 n 个同样的盒子和 n 只同样的小球分别编号为 1，2，n将这 n 个小球随机地投入 n 个盒子中，每个盒子中投入一只小球问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?19 某厂生产的各台仪器，可直接出厂的占 07，需调试的占 03，调试后可出厂的占 08，不能出厂的(不合格品)占 02现生产了 n(n2)台仪器(设每台仪器的生产过程相互独立)，求：(1)全部能出厂的概率；(2)恰有 2 台不能出厂的概率；(3)至少有 2 台不能出厂的概率20 袋中有 a 白 b 黑共 a b 只球，现从中随机、不放回地一只一只地取球，直至袋中所剩之球同色为止求袋
6、中所剩之球全为白球的概率21 设事件 A、B、C 两两独立，且 ABC，P(A) P(B)P(C)p，问 P 可能取的最大值是多少?22 随机变量 X 可能取的值为1，01，且如 EX01，EX 209求的分布列23 往ABC 中任取一点 P，而ABC 与ABP 的面积分别记为 S 与 S1，若已知S12求 ES124 已知线段 AB4，CD1，现分别独立地在 AB 上任取点 A1，住 CD 上任取点C1作一个以 AA1 为底、CC 1 为高的三角形，设此三角形的而积为 S，求 P(S1)和 D(S)25 设随机变量 X 在区间(1，1)上服从均匀分布， YX 2，求(X ，Y)的协方差矩阵和
7、相关系数26 现有 k 个人在某大楼的一层进入电梯，该楼共，n1 层，电梯在任一层时若无人下电悌则电梯不停(以后均无人再入电梯)现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值27 设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布，这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分圳为 100 和 150(小时)，而成本分别为 c、和 2c 元，如果制得的元件寿命不超过 200 小时，则须进行加工，费用为 100 元，为使平均费用较低，问 c 取值时，用第 2 种方法较好 ?28 设做一次实验的费用为 1000 元，如果实验失败，则要另外再花 300 元对设备调
8、整才能进行下一次的实验，设各次实验相互独立，成功的概率均为 02并假定实验一定要进行到出现成功为止，求整个实验程序的平均费用29 现有奖券 100 万张，其中一等奖 1 张，奖金 5 万元；二等奖 4 张，每张奖金2500 元；三等奖 40 张，每张奖金 250 元；四等奖 400 张，每张奖金 25 元而每张奖券 2 元，试计算买一张奖券的平均收益30 设随机变量(X，Y) N(0，1；0，1；) ，求 Emax(X，Y)31 设随机变量 X1，X 2，X n 独立同分布且。DX 1 2，令 ，试求 Xi 与 Xj 相关系数32 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到两次成功
9、为止设 X 为所需要进行的试验次数，求 X 的概率分布及 E(X)考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 68 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 1P(AB)P(A)P(B) P(AB) ，P(C)P(AB)P(A)P(B)1，可见应选 B【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由 P(AB)1P( )P(A )， 得 P(AB)P(A)P(B)，故应选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 “两两独立”指 P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C).P(
10、BC) P(B)P(C)；而“相互独立”指上述 3 个式子，另加 P(ABC)P(A).P(B)P(C)共 4 个式子成立沣意 P(ABC)P(A(BC)，只有选项 A 可选【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 AB 与 中都含 C 的运算(即有公共的事件 C)，无法保证独立而另 3 项选择却都是“相互独立”的【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 AB ，得 0P(AB)P(A)P(B) ，可见 P(A)与 P(B)中至少有一个为 0，故 minP(A)，P(B)0【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 “概率为 0
11、或 1 的事件与任一事件独立”，可见应选 C注意由“P(A)1”推不出“A”，而有可能 B 呢! 故另 3 个选项不行【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 Cnkpk(1p) n-k1，又 Cnk(p) k(1p) n-kp(1p)n(12p) n， 二式相加得： 2 Cnkpk(1p) n-k1(12p) n， 故应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 ， P(A)3P(A)3P(AB) ，得P(A )1P( B) 1P(B) P(AB) 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 记 A 取的 2 件产品
12、中至少有 1 件是不合格品 ，B取的 2 件产品都是不合格品 ，则 P(A)1P( )1 ，P(B) ，且 BA，有 ABB所求概率为 P(BA) 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 06；03【试题解析】 注意 AB A，P(AB)P(A)06而若 A B(这与 P(A)06P(B) 07 不矛盾 )，则 P(AB)P(A)06，可见 P(AB)可能取的最大值是 06；又1P(AB)P(A)P(B)P(AB) 13P(AB) ， P(AB)03 而当 AB 时，P(AB) 03或见 P(AB)可能取的最小值是 03【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】
13、记 Ai取得 i 等品，i12，3则 P( )09而 P(A1 )P(A 1)06故【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 0476544【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 02734【试题解析】 E(XYZ)EXEYEZ4220，D(XYZ)DXDYDZ592216 XYZN(0，16)， 故P0XY Z3 (0)077340502734【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 1； ；3【试题解析】 E(XYZ)EXEYEZ1，D(XYZ) DXDYDZ2coy(X ，Y) 2coy(X ，Z)2cov(Y，Z) 11402 X，Z62 22( )2 cov
14、(2XY，3ZX)6cov(X，Z)2Dx3cov(Y，Z)cov(Y，X) 6 (X，Z)2DX3. (Y，Z) . 0 6 2213( )23【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 0；0；0【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 Y ，(X，Y)的相关系数为1(若 YaXb)，则(X， Y)的相关系数为 )【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 记 Aii 号小球被投入到第 i 号盒中 ，i1，2，n 则 P(Ai) ，i1，n P(A iAj)
15、 ，1ijn，P(A 1A2An) 所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 对一台仪器而言，记 A可直接出厂，B最终能出厂 ，则A B，P(A)07，P(B )08， P(B)P(B)P(A)P( B)094 故(1)Cnn.094 n.(1094) n-n094 n； (2)C nn-2.094 n-2.006 2： (3) 1C nn094 nC nn-1.094 n-1.0061094 nn.006.094 n-1【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 我们将球一只一只地全部取完(这不影响所求之概率)，则 P袋中全剩白球 P最后一只取白球 (抽签原理)【知识
16、模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 P(A BC)P(A)IP(B)P(C) P(AB)P(AC) P(BC)P(ABC)3p3p 2，又 P(ABC)P(AB)P(A)(B)P(AB)2pp 2， 2pp 23pp 2， 斛得 p (p0 显然无意思)； 取 1， 2， 3， 4，p( i) ，i1，4，A 1， 2，B 1， 3，C 2,3， 则 P(A)P(B)P(C) ，而此 A、B、C 两两独立且 ABC，可见 p 可能取的最大值应为 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由题意，X 的分布列可设为：X 且知：abc1，01EX ac，09E(X 2)(1) 2.
17、a1 2.cac 可解得a04，b 01，c 0 5，代问分布列表达式即可【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 如图建立坐标系，设 AB 长为 r， ABC 高为 h，c 点坐标为(u，h)，设ABC 所围区域为 G，则 G 的面积 S rh12又设 P 点坐标为(X， Y)，则随机变量 (X，Y)在 G 上服从均匀分布，其概率密度为而 S1 rY易得线段 AC 的方程为 y，BC的方程为 r y， 故 EYES1， 而 rh24，ES 14【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 AA 1 长度为 X，CC 1 长度为 Y，则知 X 与 Y 为二相互独立的随机变量分别服从
18、区间0，4和0，1 上的均匀分布，(X，Y) 的概率密度为其中 D(，y) 04，0y1，而 S 故P(S1)P(XY2) 其中G 为图中阴影部分而DSES 2(ES) 2 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 X 的概率密度为： 故 EX0，DX ， DYE(Y 2)(EY) 2E(X 4)EX 2)2， cov(X，Y) cov(X，X 3)E(X 3)EX.EX 20， 故知(X，Y) 的相关系数 (X，Y) 0，协方差阵为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 记 Xi 则 P(Xi0)， EXi1 ，i2 ，3，n1 而 X Xi 为电梯停的次数，故知平均停的次
19、数为 EX【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 记用第一、第二种方法制得的元件的寿命分别为 X、Y ，费用分别为 、，则知 X、Y 的概率密度分别为：且 P(X200) 1e 2 ， P(Y200) E(c 100)P(X200) c.P(X200)c100p(X200) ，E(2c 100)P(Y200)2cP(y 200)2c100P(Y200)， 于是 EEc 100.P(Y200)P(X200)c100(e 2 )， 可见c100( e 2 )时，EE ，用第 2 种方法较好 (平均费用较低)【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 设需进行 X 次试验，则所需费用
20、为 Y1000300(X1)，而P(Xk)08 k-1.02，k1，2， 记 g() kk-1， 1，则于是 EXk.08 k-1.0202g(08)02. 5， 故EY1000 300(EX1) 2200(元)【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 记 X 和 分别为买 1 张奖券的所得的奖金和净收益(单位为元)，则 X2，而 X 的概率分布为：EEX22192(元)【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 E(X Y)EX EY0，D(XY)DXDY2cov(X，Y)1122(1)， XY (0，2(1)，得 EX Y 而 max(X，Y) XYXY 故 Emax(X，Y)【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 可见 ，故 Xi 与 Xj 的相关系数为【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 P(XP)P前 k1 次试验中恰出现 1 次成功，第 k 次试验成功 ，k2，3， 设出现第 1 次成功时进行了 次试验，从第 1 次成功( 不含)到第 2 次成功 (含)进行了 次试验，则X，且 与 服从同一几何分布： P(k) ，k1，2， 可算得 EE 故 EXEE 【知识模块】 概率论与数理统计
