1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 77 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X1，X 2 为相互独立的连续型随机变量，分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为 ( )（A）F 1(x)+F2(x)（B） F1(x)F 2(x)（C） F1(x)F2(x)（D）F 1(x)F 2(x)2 已知随机变量 Xn(n=1，2，)相互独立且都在(1，1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 = ( )（A）(0)（B） (1)（C）（D）(2)3 设 P(B)0，A 1，A 2 互不相容，则下列各式中不一定正
2、确的是 ( )（A）P(A 1A2B)=0（B） P(A1A2B)=P(A 1B)+P(A 2B)（C）（D）4 设随机变量(X，Y) 的概率密度 f(x，y)满足 f(x， y)=f(x，y)，且 XY 存在，则XY=( )（A）1（B） 0（C）一 1（D）一 1 或 15 设 X1，X 2，X 8 和 Y1，Y 2，Y 10 分别是来自正态总体 N(1，4)和N(2，5)的简单随机样本，且相互独立，S 12，S 22 分别为这两个样本的方差，则服从 F(7，9)分布的统计量是 ( )6 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN( 1， 12)，Y N( 2， 22)，若则( )（A）
3、1 2（B） 1 2（C） 1 2（D） 1 2二、填空题7 设事件 A，B，C 两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则P(ABC)的最大值为_8 设随机变量 X 的概率密度为 为_9 设随机变量 X 的数学期望 EX=75，方差 DX=5，由切比雪夫不等式估计得PX75k005，则 k=_10 设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度为 f(x)=ke x22x1 ( x+)， 则常数 k=_11 设随机变量 X 与 Y 的分布律为且相关系数 则(X， Y)的分布律为 _12 设总体 XN(，8)，X 1，X 2，X 36 是来自 X 的简单随机样本， 是它的均值如果 是未知参
4、数 的置信区间，则置信水平为 _13 市场上某产品由甲、乙两厂各生产 ，已知甲厂和乙厂的产品指标分别服从分布函数 F1(x)和 F2(x)，现从市场上任取一件产品，则其指标服从的分布函数为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 ，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布15 设随机变量 X 的概率密度为 已知EX=2，P1 X3= 求： (1)a ，b，c 的值；(2)随机变量 Y=ex 的数学期望和方差16 设 X1，X 2
5、，X n 为总体 X 的一个样本，EX=，DX= 2+ ，求 EX，DX和 E(S2)17 某种零件的尺寸方差为 2=121，抽取一批这类零件中的 6 件检查，得尺寸数据如下(单位：毫米) ： 3256，2966，3 164，3000，2187，3 103， 设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是 3250 毫米(=0 05)18 设事件 A 出现的概率为 p=05，试利用切比雪夫不等式，估计在 1 000 次独立重复试验中事件 A 出现的次数在 450 到 550 次之间的概率 18 设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是 06，乙命中目标的概率是05，求下列事件的概率
6、：19 从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；20 甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率21 某考生想借张宇编著的张宇高等数学 18 讲，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率均为 05；若有，能否借到的概率也均为05，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率22 设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从均匀分布 U(0，1)求 Z=X Y 的概率密度及23 若随机变量序列 X1，X 2，X n，满足条件 试证明：X n服从大数定律24 设 X1，X 2，X n 是取自均匀分布在(0，)上的一个样本，试证：Tn=m
7、axX1，X 2，X n是 的相合估计量25 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为 =100，今抽了一个容量为 26 的样本，计算平均值为 1 580，问在显著性水平 =005 下，能否认为这批产品的指标的期望值 不低于 1 60025 产品寿命 X 是一个随机变量，其分布函数与概率密度分别为 F(x)，f(x)产品已工作到时刻 x，在时刻 x 后的单位时间x 内发生失效的概率称为产品在时刻 z的瞬时失效率，记为 (x)26 证明27 设某产品寿命的瞬时失效率函数为 (x)=a，其中参数 0，求产品寿命 X 的数学期望考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 77 答案与解析一、选择题下列每
8、题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法因为 F1(x)，F 2(x)都是分布函数，所以故(A)不正确 故(B)不正确对于 D，由于型未定式极限，因此不能保证 故(D)不正确容易证明 F1(x)F2(x)是单调不减的右连续函数，且 =1，故其一定是某一随机变量的分布函数，所以 C 正确【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知 EXn=0， 由中心极限定理，对任意 x 有【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由 A1A2= ，得 P(A1A2)=0，于是：P(A 1A2B)= =0，A 正确
9、； P(A1A2B)=P(A 1B)+P(A 2B)P(A 1A2B)=P(A1B)+P(A 2B)，B 正确； =1P(A 1 A2 B)=1 P(A 1B)(A 2B)不一定等于 1，C 错误；=1P(A 1A2 B)=10=1 ，D 正确【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 E(XY)= +ydy +xf(x，y)dx( +ydy +(t)f( t，y)dt = +ydy +(t)f(t ，y)dt= +ydy +xf(x， y)dx=E(XY)，所以 E(XY)=0 同理，EX= +x +f(x，y)dydx=0 ，所以 XY=0 类似地，当 f(x，y
10、)=f(x ，y)时，XY=0【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由 因此本题选 D【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 XN( 1， 12)，YN( 2， 22)，故XYN( 1 2， 12+22)于是 PX Y)=PX Y0=1PX Y0可知=21【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 依题意有 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(A)P(B) P(A)P(C)P(B)P(C)+P( )=3 P(A)3P(A) 2
11、故 P(ABC)的最大值为=【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 10【试题解析】 PX75k=PXEXk)即 k=10【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 +f(x)dx=k +e(x1)2 d(x1)【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 设(X，Y) 的分布律如下(边缘分布律也表示于表中)则 E(XY)=p11，从而有由此得 所以(X，Y) 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 0.966【试题解析】 由题设可知由此得置信水平 1=0966【知识
12、模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 F1(x)+F2(x)【试题解析】 设随机变量 1，为甲厂产品指标，随机变量 2 为乙厂产品指标，随机变量 为任取一件产品指标，事件 A 为“所取一件产品属甲厂生产” 根据全概率公式，所求分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 PX=0=P第一个路口即为红灯= PX=1)=P第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯= 以此类推，得 X 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 (1)由题意有，1= +f(x)dx=02axdx+24(cx+b)dx=2a+2b+6c，2
13、= +xf(x)dx=02ax2dx+24(cx+b)xdx解方程组(2)EY=E(eX)= +exf(x)dx= E(Y2)=E(e2X)= +e2xf(x)dx= DY=E(Y2)(EY)2= e2(e21) 2【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 依题意有 EX i=，DX i=2， 进而有 E(Xi2)=DXi+(EXi)2=2+2，【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 问题是在 2 已知的条件下检验假设 H0：=3250因此 H0 的拒绝域为Zz 2 ，其中 z0025 =196，故又因Z=677196，所以否定 H0，即不能认为平均尺寸是 3250 毫米【知
14、识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 设 X 是“1 000 次独立重复试验中事件 A 出现的次数” ，则 X B(1 000，05) ， EX=1 00005=500，DX=1 00005 2=250利用切比雪夫不等式，知 =P450X550=P X500 50 =09【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 该随机试验分为两个阶段：选人， A 甲 ，A 乙 ； 射击，B= 目标被命中 则【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 该随机试验不分阶段，记 A 甲 =甲命中，A 乙 =乙命中，B=目标被命中 ，则【知识模块】 概率论与数理统计
15、21 【正确答案】 设 A=该生能借到此书 ，B i=从第 i 馆借到，=1，2，3则P(B1)=P(B2)=P(B3)=P第 i 馆有此书且能借到= 于是【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 U=XY 的概率密度为 f U(u)= +fX(u+y)fY(y)dy=01fX(u+y)dy当 u1 或 u1 时，f U(u)=0；当1u0 时， fU(u)=01fX(u+y)dy=u 11dy=1+u；当 0u1 时，f U(u)=01fX(u+y)dy=01u 1dy=1u，即所以 Z=XY=U的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由切比雪夫不等式，对任意的
16、 0 有所以对任意的 0，故X n服从大数定律【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 T n=X(n)的分布函数为 Tn的概率密度为 fT(t)=FT(t)=nf(t)Fn1 (t)=由切比雪夫不等式有 因此可知：当n时， 故 Tn 是 的相合估计量【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 问题是在 2 已知的条件下检验假设 H0：1 600；H 1：1 600 H 0 的否定域为 Zz 2 ，其中z 0025 =196 因为 Z=102196=z 0025 ，所以接受 H0，即可以认为这批产品的指标的期望值 不低于 1600【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 将 (x)= 代入得 上式两边积分得 0xdT=0xlnlF(t)dt，x+C=lnlF(x) ，即 1F(x)=e (x+C) ，又 F(0)=Px0=0，则 C=0，故 F(x)=1e x ，即产品寿命服从指数分布，所以【知识模块】 概率论与数理统计
