1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，C 为随机事件，且 A 发生必导致 B 与 C 最多有一个发生，则有( )2 设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B A，且 P(A)P(B)1，则一定有( )（A）P(AB)=P(A)+P(B)。（B） P(A-B)=P(A)-P(B)。（C） P(AB)=P(A)P(BA)。（D）P(AB)P(A)。3 袋中有 5 个球，其中白球 2 个，黑球 3 个。甲、乙两人依次从袋中各取一球，记A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球 ”。 若取后放回，此时记 p1=P
2、a)，p 2=P(B)； 若取后不放回，此时记 p3=P(A)，P 4=P(B)。 则( )（A）p 1p2p3p4。（B） p1=p2p3p4。（C） p1=p2=p3p4。（D）p 1=p2=p3=p4。4 假设 X 为随机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0 的充分必要条件是( )（A）X 是离散型随机变量。（B） X 不是离散型随机变量。（C） X 的分布函数是连续函数。（D）X 的概率密度是连续函数。5 设随机变量 X 的密度函数为 fX(x)，Y=-2X+3，则 Y 的密度函数为( )6 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区
3、间或区域上均匀分布的是( )（A）X 2。（B） X-Y。（C） X+Y。（D）(X，Y)。7 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其分布函数分别为 FX(x)与 FY(y)，则Z=maxX，Y的分布函数 FZ(z)是( )（A）maxF X(z)，F Y(z)。（B） FX(z)+FY(z)-FX(z)FY(z)。（C） FX(z)FY(z)。（D） FX(z)+FY(z)。8 对任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X).E(Y)，则( )（A）D(XY)=D(X).D(Y)。（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)。（C） X 与 Y 独立。（D）X 与 Y 不独立。9 设 X
4、1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， 与 S2 分别是样本均值与样本方差，则( )二、填空题10 设 A、B 是两个随机事件，且 P(A)= =_。11 已知事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b。如果事件 C 发生必然导致事件A 与 B 同时发生，则事件 A，B，C 均不发生的概率为_。12 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，而 XB(0kn)=_。13 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X2 在(0，4)内的概率密度 fY(y)=_。14 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 (2x+1)(2y
5、1)，其中 (x)为标准正态分布函数，则(X，Y) N_ 。15 设随机变量 X 服从1，3上的均匀分布，则 =_。16 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为 04，则 X2 的数学期望 E(X2)=_。17 假设随机变量 X 服从-1，1上的均匀分布，a 是区间-1 ，1上的一个定点，Y为点 X 到 a 的距离，当 a=_时，随机变量 X 与 Y 不相关。18 设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 与 32 之间的概率 =_。(3)=0998 7，(1)=0 8413)19 已知总体 X 服从参
6、数为 的泊松分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 +(2-3a)S2 是 的无偏估计，则 a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们存一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率。21 已知一本书中每页印刷错误的个数 X 服从参数为 02 的泊松分布，写出 X 的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1 个的概率。22 设随机变量 X 在 1，2，3 中等可能地取值，随机变量 Y 在
7、1X 中等可能地取值。求：( )二维随机变量 (X，Y) 的联合分布律及边缘分布律；()求在 Y=2 的条件下 X 的条件分布。23 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= ()计算两个边缘概率密度；() 求条件概率密度 fYX (yx=2)；()求条件概率 PY1X1。24 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 PX=i= (i=-1，0，1) ，Y 的概率密度为 fY(y)= 记 Z=X+Y。()求 ()求 Z 的概率密度 fZ(z)。25 某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相对独立，当出现 1 个不合格产品时即停机检修。设开机后第
8、1 次停机时已生产了的产品个数为 X，求 X 的数学期望 E(X)和方差 D(X)。26 已知总体 X 的数学期望 E(X)=，方差 D(X)=2，X 1，X 2，X n 是取自总体X 容量为 2n 的简单随机样本，样本均值为 ，求 E(Y)。27 设总体 X 的概率分布为其中 (0 )是未知参数，利用总体 X 的样本值 3，1，3，0，3，1，2，3 求 的矩估计值和最大似然估计值。考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 B 与 C 最多有一个发生(即 B 与 C 同时发生的反面)等
9、价于事件 。当 A 发生时必导致 B 与 C 最多有一个发生，说明 ，故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 B A，则 AB=B，AB=A。当 P(A)0，选项 A 不成立；当P(A)=0 时，条件概率 P(BA) 不存在，选项 C 不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设 P(A)P(B) ，故选项 B 不成立。对于选项 D，根据题设条件 0P(A)P(B)1，可知条件概率 P(AB)存在，并且故应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 依据取球方式知 p1=p2=p3，又因为“抽签结果与先后顺序无关”，得p3=p4，
10、所以正确答案是 D。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 对任意实数 a 有 PX=a=0 是连续型随机变量的必要条件但非充分条件，因此选项 B、D 不能选，又离散型随机变量必有 a 使 PX=a0，选项 A 不能选，故正确选项是 C。事实上，PX=a=0 F(a)-F(a-0)=0 对任意实数a，F(a)=F(a-0) F(x)是 x 的连续函数。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 y=-2x+3 是 x 的单调可导函数，其反函数 x=h(y)=根据随机变量函数的公式：故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【
11、试题解析】 根据 X，Y 的独立性可知，(X，Y)的联合密度 f(x，y)=因此(X，Y)服从区域 D=(x，y)0x1，0y1上的二维均匀分布，故选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=Pmax(X，Y)z=PXz ，Yz =PXz.PYz=F X(z).FY(z)，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY)-E(X).E(Y) ， 可见 D(X+Y)=D(X)+D(Y) E(XY)=E(X).E(Y)，故选项 B 正确。 对于随机变量 X 与 Y
12、下面四个结论是等价的。 Cov(X，Y)=0；X 与 Y 不相关；E(XY)=E(X)E(Y)；D(X+Y)=D(X)+D(Y)。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 根据正态总体抽样分布公式知应选 D。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 根据乘法公式 根据减法公式，有【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 (1-a)(1-b)【试题解析】 所求的概率为 ，已知“事件 C 发生必导致 A、B 同时发生”，显然是用于化简 的。已知 由吸收律可知，又因为 A 与 B 独立，故所求的概率为【知识模块】 概率论与数理统计12
13、正确答案】 【试题解析】 因为 XiB ，X i 是一次伯努利试验结果， Xi 相互独立。所以X1+X2+Xn 可以看成 n 次独立重复试验。即 所以【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 首先求出在(0，4)上 Y 的分布函数 FY(y)。当 0y4 时，有 FY(y)=PYy=PX2Y= 故 fY(y)=FY(y)=【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 (X，Y) 的分布函数为 (2x+1)(2y-1)，所以可知 X，Y 独立。(2x+1)(2y-1)= =FX(x)FY(y)，根据正态分布XN(， 2)的标准化可知【知识模块】 概率论与
14、数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 随机变量 X 的密度函数【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 184【试题解析】 根据题意可知，X 服从 n=10，p=0 4 的二项分布，因此有 E(X)=np=4，D(X)=np(1-p)=24， 因此 E(X 2)=D(X)+E2(X)=184。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 0【试题解析】 已知 Xf(x)= E(X)=0，依题意 Y=X-a，a应使 E(XY)=E(X)E(Y)=0。其中【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 084【试题解析】 令 X=“在 100 次独立重复试验中成功的次数”，则 X
15、 服从参数为(n，p)的二项分布，其中 n=100，p=020，且根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知随机变量 近似服从标准正态分布 N(0，1)。因此试验成功的次数介于 16 和 32 之间的概率 =P16X32(3)-(-1)=(3)-1-(1) =0998 7-(1-0841 3)=084。【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 根据 = 求 a。根据题意可得 E(X)=D(X)=，那么=，E(S 2)=D(X)=，则 +(2-3a)E(S2)=a+(2-3a)=(2-2a)=，解得 a=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
16、步骤。20 【正确答案】 设甲、乙两艘船到达的时间分别为 x，y，并把(x，y)视为直角坐标系里的一个点的坐标，则 x，y 满足条件 0x24，0y24。所以总的基本事件数为坐标系中边长为 24 的正方形的面积，如图 3-1-4 所示。用事件 A 表示 “两艘船中任何一艘都不需要等候码头空出” ，则 x，y 满足不等式 y-x1，x-y2。则上述不等式组表示的区域为图中阴影部分的面积，即事件 A 的基本事件数。 容易求得正方形面积为 S=242，阴影部分面积为 s= ，根据几何概型，可得【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由题意可知，Xp(02)，X 的概率函数为将 X=0， 1
17、2，3代入函数，可得 p(0)08187，p(1)01637， p(2)0016 4，p(3)00011， p(4)00001，p(5)0。 X 的概率分布表如下：一页上印刷错误不多于 1 个的概率 p=p(0)+p(1)09824。【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 () 由题意可知 PX=1 ，Y=2=PX=1，Y=3=PX=2，Y=3=0。 由乘法公式，可得 PX=1，Y=1=PX=1.PY=1 X=1= 尸X=2，Y=1=PX=2.PY=1 X=2= PX=3，Y=1=PX=3.PY=1X=3= PX=2，Y=2=PX=2.PY=2 X=2= PX=3，Y=2=PX=3
18、PY=2X=3= PX=3，Y=3=PX=3.Py=3X=3= 所以X，Y的联合分布律为进一步得到边缘分布()在 Y=2的条件下 X 可能的取值为 2，3，因此从而得到在 Y=2 条件下随机变量 X 的条件分布为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 () 当 x0 时 fX(x)=0；当 x0 时，f X(x)= =e-x，即当 y0 时，f Y(y)=0；当 f1(x).f2(x)=0 时，f Y(y)= =ye-y，即 ()X1，Y1 所对应的区域如图 3-3-3 所示：则 PY1X1【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确
19、答案】 令 q=1-p，所以 X 的概率分布为 PX=k=q k-1p(k=1，2，)， 故X 的数学期望为 因为故 X 的方差为 D(X)=E(X2)-E2(X)=【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 因为总体分布未知，将 Y 化简，根据数字特征性质计算 E(Y)。因为=2nv+2n2+2n2-22-4n2=2(n-1)2。【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 E(X)=0 2+12(1-)+22+3(1-2)=3-4，令 E(X)= ，则 的矩估计量为 。根据给定的样本观察值可得(3+1+3+0+3+1+2+3)=2，因此 的矩估计值 对于给定的样本值似然函数为 L()=46(1-)2(1-2)4，则 lnL()=ln4+6ln+2ln(1-)+4ln(1-2)，于是 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计
