1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 126 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 等于 ( )（A）c 2 m（B） m（C） cm（D）c 3m2 设 A 是 n 阶方阵，且 A3=O，则 ( )（A）A 不可逆，且 EA 不可逆（B） A 可逆，但 E+A 不可逆（C） A2A+E 及 A2+A+E 均可逆（D）A 不可逆，且必有 A2=03 设 1， 2， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，则下列向量中 1 2， 12 2+3，(1 3)， 1+324 3，是相应的齐次方程组 Ax=O 的解向量的个数为 ( )（A）4（B） 3（C） 2（D）1
2、4 设 A 为 mn 矩阵，则齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关5 已知 1， 2， 3， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关； 如果 1， 2， 3 线性相关，2， 3， 4 线性相关，则 1， 2， 4 也线性相关； 如果 r1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)，则 4 可以由 1， 2， 3 线性表出其中正确的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3
3、6 齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，若存在 3 阶矩阵BO，使得 AB=O，则 ( )（A）=2 且B=0（B） =2 且B 0（C） =1 且B =0（D）=1 且B07 下列矩阵中不能相似于对角矩阵的矩阵是 ( )二、填空题8 已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1=l， 2=2 为 A 的两个特征值， B=2，则行列式 =_9 设 则(A *)1=_10 设 A 是 n 阶实对称矩阵， 1， 2， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 111T 的特征值是_11 已知 A22A+E=0，则 (A+E)1 =_12 已知 4
4、 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中1， 2 线性无关，若 =1+22 3=1+2+3+4=1+32+3+24， 则 Ax= 的通解为_13 设 Dn= 其中 n3则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 B=2AE ，证明：B 2=E 的充分必要条件是 A2=A15 设 求 An(n3)16 问 为何值时，方程组 无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解17 已知 R3 的两个基分别为求由基1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵 P18 A是 n 阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是 1，
5、证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值19 设 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=0，A=E+ T，试计算： (1)A； (2)An；(3)A 1 20 已知 问 取何值时，有：(1) 可由 1， 2， 3 线性表出，且表达式唯一； (2) 可由 1， 2， 3 线性表出，但表达式不唯一； (3) 不能由 1， 2， 3 线性表出21 设 R3 中两个基 1=1，1，0 T， 2=0，1，1 T， 3=1，0，1 T； 1=1，0，0T， 2=1，1，0 T， 3=1，1，1 T (1) 求 1， 2， 3 到 1， 2， 3 的过渡矩阵； (2)
6、已知 在基 1， 2， 3 下的坐标为1，0，2 T，求 在基 1， 2， 3 下的坐标； (3)求在上述两个基下有相同坐标的向量22 设 A，B 是 n 阶方阵，证明：AB，BA 有相同的特征值23 设 求实对称矩阵 B，使 A=B223 设向量 =a1，a 2，a 2T，=b 1，b 2，b nT 都是非零向量，且满足条件T=0，记 n 阶矩阵 A=T，求：24 A2； 25 A 的特征值和特征向量；26 A 能否相似于对角矩阵，说明理由27 设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1=1，1，2，3 T， 2=1，1，4，1T， 3=5，1，8，9 T 是齐次线性方程组 Bx=0 的解向量
7、，求 Bx=0 的解空间的一个标淮正交基28 设方程组 问：(1)a，b 为何值时，方程组有唯一解；(2)a，b 为何值时，方程组无解；(3)a ，n 为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解考研数学一（线性代数）模拟试卷 126 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因故选 B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 A 3=O，有 E 3+A3=(E+A)(A2A+E)=E， E 3A 3=(EA)(A 2+A+E)=E，故 A2 A+E 及 A2+A+E 均可逆，由以上两式知，EA，E+A 也均可逆，故A，B
8、 不成立，同时 D 也不成立，例：【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由 A1=A2=A3=b 可知 A( 1 2)=A1A 2=bb=0， A(12 2+3)=A12A 1+A1=b2b+b=0，A(1+324 3)=A1+3A14A 3=b+3b4b=0 ，因此这 4 个向量都是 Ax=0 的解，故选 A【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 A 的列向量线性无关AX=0 有唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 如果 1， 2， 3 线性无关，由于 1， 2， 3， 4 为 4 个 3 维向量，故
9、1， 2， 3， 4 线性相关，则 1 必能由 1， 2， 3 线性表出，可知 是正确的令 则 1， 2， 3 线性相关，2， 3， 4 线性相关，但 1， 2， 4 线性无关，可知是错误的 由 1， 1+2， 2+3 1， 2， 2+3 1， 2， 3， 4， 1+4， 2+4， 3+4 4， 1， 2， 3 1， 2， 3， 4可知 r( 1， 1+2， 2+3)=r(1， 2， 3)， r(4， 1+4， 2+4， 3+4)=r(1， 2， 3， 4)，故当 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)时，也有 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 4)，
10、因此 4可以由 1， 2， 3 线性表出，可知 是正确的故选 C【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 BO ，AB=O，故AX=0 有非零解，所以A=0，即A =(1) 2=0，=1，又 AO，故 B 不可逆，故=1，且 B=0【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 因 D 是对称矩阵，必相似于对角矩阵， c 有三个不同的特征值，能相似于对角矩阵A，B 的特征值均为 =1(二重)， =2(单根)当 =1 时，只对应一个线性无关的特征向量，故 A不能相似于对角矩阵而当 =1 时， 有两个线性无关特征向量，故 B 能相似于对角矩阵，故选 A【知识模块】 线性代数二
11、、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 设 3 为 A 的另一特征值则由 AB 知，A = B =2 ，且123=A =2，可见 3=1，从而 A，B 有相同的特征值 1=1， 2=2， 3=1于是有 A+E=( 1+1)(2+1)(3+1)=12， (2B)*= 22B* =43B *=4 3B 2=256，故【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 0， 2， 3， n【试题解析】 因 A 是实对称矩阵， 2， 3， n 互不相同，所以对应的特征向量 1， 2， n 相互正交，故 Bi=(A 111T)i= 故 B 的特征值为 0， 2
12、， 3， n【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 由 A22A+E=O ，得(A+E)(A3E)=4E，故【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 k1，k 2 均为任意常数【试题解析】 由 =1+22 3=1+1+3+4=1+32+3+24 可知均为 Ax= 的解，故 1 2=均为 Ax=0 的解 由于 1， 2 线性无关，可知 r(A)2又由于 Ax=0 有两个线性无关的解 1 2， 2 3，可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量，也即 4r(A)2，即 r(A)2 综上，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故 1 2， 2 3 即为 Ax=
13、0 的基础解系故 Ax=的通解为 k1，k 2 均为任意常数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2【试题解析】 将 Dn 按第一行 (或列)展开，得 Dn=(a+2)Dn1 2a=(a+2)Dn1 2aDn 2，D naD n1 =2(Dn1 aD n2 )，故【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为 B=2AE，B 2=(2AE)(2AE)=4A 24A+E ，所以 4A2=4A+E=E4A24A=OA 2=A【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 =E+B，又 EB=BE，B n=O(n3)，所以当 n3 时，有 A n=(E
14、+B)n=En+nEn1 B+ En2 2B2【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 方程组改写为当 1 且时，方程组有唯一解；当 =1 时，方程组有无穷多解，且当 时，方程组无解【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由 1， 2， 3=1， 2， 3P，可得 P=1， 2， 31 1， 2， 3=【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 不失一般性，设【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)(2)An=(E+T)n=En+nEn1 T+ En2 (T)2+ 当 k2 时，有 ( T)k=(T)(T)( T)=(T)(T)( T)T=O，故 An=E+nT(3)A 2=(E+T)
15、(E+T)=E+2T+TT=E+2T=2E+2TE=2AE得 2AA 2=E，A(2EA)=E ，故A1 =2EA=E T【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 1， 2， 3 ，=(1)当 0 且 3 时， 可由 1， 2， 3 线性表出，且表达式唯一(2) 当 =0 时， 可由 1， 2， 3 线性表出，但表达式不唯一(3)当 =3 时， 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)设 1， 2， 3=1， 2， 3C，则 C=1， 2， 31 1， 2， 3= (2)设(3)设 为所求向量，则 故(a1， 2， 3 1， 2， 3) =0即解得两个基
16、下有相同坐标的向量的坐标是 x 1，x 2，x 3T=k1，0，1 T，故两个基下有相同坐标的向量是 其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 利用特征值的定义设 AB 有任一特征值 ，其对应的特征向量为考，则AB= 式两端左边乘 B，得BAB=BA(B)=(B) 若 B0，式说明，BA 也有特征值 (其对应的特征向量为 B)，若 B=0，由式知，=0， 0，得仰有特征值 =0，从而AB=0，且BA=BA=AB= AB=0，从而 BA 也有特征值 =0，故AB 和 BA 有相同的特征值【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 EA= =(9)2=0=1=0， 2=3=9当
17、1=0 时，(0EA)X=0，则对应特征向量 1=1，2，2 T；当 2=3=9 时，(9EA)X=0，则对应特征向量 2=2，2，1 T， 3=2，1，2T单位化后得正交矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 A=T 和 T=0，有 A 2=AA=(T)(T)=(T)T=(T)T=(T)TT=0， 即 A 是 n 阶幂零矩阵(A 2=0)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 直接用特征值的定义 A= T=， 由 式若 T=0，则=0，又 0，得 =0 若 T0，式两端左边乘 T，得 TT=(T)T=(T)T(T)=0.(T)=T，得 =0， 故 A 的全部
18、特征值为 0【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A 不能相似于对角矩阵，因 0，0，故 A=T0，r(A)=r0(其实 r(A)=1)从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 nrn 个，故 A 不能相似对角化【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 先求 BX=0 的基础解系由 r(B54)=2，有 Bx=0 的基础解系含4r(B)=2 个线性无关的解向量显然 1， 2 线性无关，则 1， 2 为 Bx=0 的一个基础解系 将 1， 2 正交单位化得 Bx=0 的解空间的一个标准正交基：【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 设方程组(1)当 r(A)=r(Ab)=5 即 a70，a 10，a1 且 a7 时方程组有唯一解 (2) 当a=1，b2 时或 a=7，b8 时均有 r(A)=4r(Ab)=5，方程组无解 (3) 当 r(A)=r(Ab)5 即 a=1，b=2 时有 r(A)=r(Ab)=45，方程组有无穷多解k1 为任意常数当 a=7，b=8 时 r(A)=r(Ab)=45 有无穷多解k2 为任意常数【知识模块】 线性代数
