[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷126及答案与解析.doc

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1、考研数学一(线性代数)模拟试卷 126 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 等于 ( )(A)c 2 m(B) m(C) cm(D)c 3m2 设 A 是 n 阶方阵,且 A3=O,则 ( )(A)A 不可逆,且 EA 不可逆(B) A 可逆,但 E+A 不可逆(C) A2A+E 及 A2+A+E 均可逆(D)A 不可逆,且必有 A2=03 设 1, 2, 3 均为线性方程组 Ax=b 的解,则下列向量中 1 2, 12 2+3,(1 3), 1+324 3,是相应的齐次方程组 Ax=O 的解向量的个数为 ( )(A)4(B) 3(C) 2(D)1

2、4 设 A 为 mn 矩阵,则齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )(A)A 的列向量线性无关(B) A 的列向量线性相关(C) A 的行向量线性无关(D)A 的行向量线性相关5 已知 1, 2, 3, 4 为 3 维非零列向量,则下列结论: 如果 4 不能由1, 2, 3 线性表出,则 1, 2, 3 线性相关; 如果 1, 2, 3 线性相关,2, 3, 4 线性相关,则 1, 2, 4 也线性相关; 如果 r1, 1+2, 2+3)=r(4, 1+4, 2+4, 3+4),则 4 可以由 1, 2, 3 线性表出其中正确的个数为 ( )(A)0(B) 1(C) 2(D)3

3、6 齐次线性方程组 的系数矩阵为 A,若存在 3 阶矩阵BO,使得 AB=O,则 ( )(A)=2 且B=0(B) =2 且B 0(C) =1 且B =0(D)=1 且B07 下列矩阵中不能相似于对角矩阵的矩阵是 ( )二、填空题8 已知 A,B 为 3 阶相似矩阵, 1=l, 2=2 为 A 的两个特征值, B=2,则行列式 =_9 设 则(A *)1=_10 设 A 是 n 阶实对称矩阵, 1, 2, n 是 A 的 n 个互不相同的特征值, 1 是A 的对应于 1 的一个单位特征向量,则矩阵 B=A 111T 的特征值是_11 已知 A22A+E=0,则 (A+E)1 =_12 已知 4

4、 阶方阵 A=1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4 均为 4 维列向量,其中1, 2 线性无关,若 =1+22 3=1+2+3+4=1+32+3+24, 则 Ax= 的通解为_13 设 Dn= 其中 n3则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 B=2AE ,证明:B 2=E 的充分必要条件是 A2=A15 设 求 An(n3)16 问 为何值时,方程组 无解,有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解17 已知 R3 的两个基分别为求由基1, 2, 3 到基 1, 2, 3 的过渡矩阵 P18 A是 n 阶行列式,其中有一行(或一列)元素全是 1,

5、证明:这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值19 设 =a1,a 2,a nT0,=b 1,b 2,b nT0,且 T=0,A=E+ T,试计算: (1)A; (2)An;(3)A 1 20 已知 问 取何值时,有:(1) 可由 1, 2, 3 线性表出,且表达式唯一; (2) 可由 1, 2, 3 线性表出,但表达式不唯一; (3) 不能由 1, 2, 3 线性表出21 设 R3 中两个基 1=1,1,0 T, 2=0,1,1 T, 3=1,0,1 T; 1=1,0,0T, 2=1,1,0 T, 3=1,1,1 T (1) 求 1, 2, 3 到 1, 2, 3 的过渡矩阵; (2)

6、已知 在基 1, 2, 3 下的坐标为1,0,2 T,求 在基 1, 2, 3 下的坐标; (3)求在上述两个基下有相同坐标的向量22 设 A,B 是 n 阶方阵,证明:AB,BA 有相同的特征值23 设 求实对称矩阵 B,使 A=B223 设向量 =a1,a 2,a 2T,=b 1,b 2,b nT 都是非零向量,且满足条件T=0,记 n 阶矩阵 A=T,求:24 A2; 25 A 的特征值和特征向量;26 A 能否相似于对角矩阵,说明理由27 设 B 是秩为 2 的 54 矩阵, 1=1,1,2,3 T, 2=1,1,4,1T, 3=5,1,8,9 T 是齐次线性方程组 Bx=0 的解向量

7、,求 Bx=0 的解空间的一个标淮正交基28 设方程组 问:(1)a,b 为何值时,方程组有唯一解;(2)a,b 为何值时,方程组无解;(3)a ,n 为何值时,方程组有无穷多解,并求其通解考研数学一(线性代数)模拟试卷 126 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因故选 B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 A 3=O,有 E 3+A3=(E+A)(A2A+E)=E, E 3A 3=(EA)(A 2+A+E)=E,故 A2 A+E 及 A2+A+E 均可逆,由以上两式知,EA,E+A 也均可逆,故A,B

8、 不成立,同时 D 也不成立,例:【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由 A1=A2=A3=b 可知 A( 1 2)=A1A 2=bb=0, A(12 2+3)=A12A 1+A1=b2b+b=0,A(1+324 3)=A1+3A14A 3=b+3b4b=0 ,因此这 4 个向量都是 Ax=0 的解,故选 A【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 A 的列向量线性无关AX=0 有唯一零解,是充要条件,当然也是充分条件【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 如果 1, 2, 3 线性无关,由于 1, 2, 3, 4 为 4 个 3 维向量,故

9、1, 2, 3, 4 线性相关,则 1 必能由 1, 2, 3 线性表出,可知 是正确的令 则 1, 2, 3 线性相关,2, 3, 4 线性相关,但 1, 2, 4 线性无关,可知是错误的 由 1, 1+2, 2+3 1, 2, 2+3 1, 2, 3, 4, 1+4, 2+4, 3+4 4, 1, 2, 3 1, 2, 3, 4可知 r( 1, 1+2, 2+3)=r(1, 2, 3), r(4, 1+4, 2+4, 3+4)=r(1, 2, 3, 4),故当 r(1, 1+2, 2+3)=r(4, 1+4, 2+4, 3+4)时,也有 r( 1, 2, 3)=r(1, 2, 3, 4),

10、因此 4可以由 1, 2, 3 线性表出,可知 是正确的故选 C【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 BO ,AB=O,故AX=0 有非零解,所以A=0,即A =(1) 2=0,=1,又 AO,故 B 不可逆,故=1,且 B=0【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 因 D 是对称矩阵,必相似于对角矩阵, c 有三个不同的特征值,能相似于对角矩阵A,B 的特征值均为 =1(二重), =2(单根)当 =1 时,只对应一个线性无关的特征向量,故 A不能相似于对角矩阵而当 =1 时, 有两个线性无关特征向量,故 B 能相似于对角矩阵,故选 A【知识模块】 线性代数二

11、、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 设 3 为 A 的另一特征值则由 AB 知,A = B =2 ,且123=A =2,可见 3=1,从而 A,B 有相同的特征值 1=1, 2=2, 3=1于是有 A+E=( 1+1)(2+1)(3+1)=12, (2B)*= 22B* =43B *=4 3B 2=256,故【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 0, 2, 3, n【试题解析】 因 A 是实对称矩阵, 2, 3, n 互不相同,所以对应的特征向量 1, 2, n 相互正交,故 Bi=(A 111T)i= 故 B 的特征值为 0, 2

12、, 3, n【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 由 A22A+E=O ,得(A+E)(A3E)=4E,故【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 k1,k 2 均为任意常数【试题解析】 由 =1+22 3=1+1+3+4=1+32+3+24 可知均为 Ax= 的解,故 1 2=均为 Ax=0 的解 由于 1, 2 线性无关,可知 r(A)2又由于 Ax=0 有两个线性无关的解 1 2, 2 3,可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量,也即 4r(A)2,即 r(A)2 综上,r(A)=2,Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量,故 1 2, 2 3 即为 Ax=

13、0 的基础解系故 Ax=的通解为 k1,k 2 均为任意常数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2【试题解析】 将 Dn 按第一行 (或列)展开,得 Dn=(a+2)Dn1 2a=(a+2)Dn1 2aDn 2,D naD n1 =2(Dn1 aD n2 ),故【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为 B=2AE,B 2=(2AE)(2AE)=4A 24A+E ,所以 4A2=4A+E=E4A24A=OA 2=A【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 =E+B,又 EB=BE,B n=O(n3),所以当 n3 时,有 A n=(E

14、+B)n=En+nEn1 B+ En2 2B2【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 方程组改写为当 1 且时,方程组有唯一解;当 =1 时,方程组有无穷多解,且当 时,方程组无解【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由 1, 2, 3=1, 2, 3P,可得 P=1, 2, 31 1, 2, 3=【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 不失一般性,设【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)(2)An=(E+T)n=En+nEn1 T+ En2 (T)2+ 当 k2 时,有 ( T)k=(T)(T)( T)=(T)(T)( T)T=O,故 An=E+nT(3)A 2=(E+T)

15、(E+T)=E+2T+TT=E+2T=2E+2TE=2AE得 2AA 2=E,A(2EA)=E ,故A1 =2EA=E T【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 1, 2, 3 ,=(1)当 0 且 3 时, 可由 1, 2, 3 线性表出,且表达式唯一(2) 当 =0 时, 可由 1, 2, 3 线性表出,但表达式不唯一(3)当 =3 时, 不能由 1, 2, 3 线性表出【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)设 1, 2, 3=1, 2, 3C,则 C=1, 2, 31 1, 2, 3= (2)设(3)设 为所求向量,则 故(a1, 2, 3 1, 2, 3) =0即解得两个基

16、下有相同坐标的向量的坐标是 x 1,x 2,x 3T=k1,0,1 T,故两个基下有相同坐标的向量是 其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 利用特征值的定义设 AB 有任一特征值 ,其对应的特征向量为考,则AB= 式两端左边乘 B,得BAB=BA(B)=(B) 若 B0,式说明,BA 也有特征值 (其对应的特征向量为 B),若 B=0,由式知,=0, 0,得仰有特征值 =0,从而AB=0,且BA=BA=AB= AB=0,从而 BA 也有特征值 =0,故AB 和 BA 有相同的特征值【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 EA= =(9)2=0=1=0, 2=3=9当

17、1=0 时,(0EA)X=0,则对应特征向量 1=1,2,2 T;当 2=3=9 时,(9EA)X=0,则对应特征向量 2=2,2,1 T, 3=2,1,2T单位化后得正交矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 A=T 和 T=0,有 A 2=AA=(T)(T)=(T)T=(T)T=(T)TT=0, 即 A 是 n 阶幂零矩阵(A 2=0)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 直接用特征值的定义 A= T=, 由 式若 T=0,则=0,又 0,得 =0 若 T0,式两端左边乘 T,得 TT=(T)T=(T)T(T)=0.(T)=T,得 =0, 故 A 的全部

18、特征值为 0【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A 不能相似于对角矩阵,因 0,0,故 A=T0,r(A)=r0(其实 r(A)=1)从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 nrn 个,故 A 不能相似对角化【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 先求 BX=0 的基础解系由 r(B54)=2,有 Bx=0 的基础解系含4r(B)=2 个线性无关的解向量显然 1, 2 线性无关,则 1, 2 为 Bx=0 的一个基础解系 将 1, 2 正交单位化得 Bx=0 的解空间的一个标准正交基:【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 设方程组(1)当 r(A)=r(Ab)=5 即 a70,a 10,a1 且 a7 时方程组有唯一解 (2) 当a=1,b2 时或 a=7,b8 时均有 r(A)=4r(Ab)=5,方程组无解 (3) 当 r(A)=r(Ab)5 即 a=1,b=2 时有 r(A)=r(Ab)=45,方程组有无穷多解k1 为任意常数当 a=7,b=8 时 r(A)=r(Ab)=45 有无穷多解k2 为任意常数【知识模块】 线性代数

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