1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 52 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足 AB+B+A+2E=O，则B+E =( )（A）-6 。（B） 6。（C）（D）2 下列命题中 如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A-1=B； 如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2=E，则 (BA)2=E； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆。 正确的是( )（A） 。（B） 。（C） 。（D） 。3 设 A= ，B 是 42 的非零矩阵，且 AB=
2、O，则( )（A）a=1 时， B 的秩必为 2。（B） a=1 时，B 的秩必为 1。（C） a1 时,B 的秩必为 1。（D）a1 时，B 的秩必为 2。4 现有四个向量组 (1， 2，3) T，(3，-1，5) T，(0，4，-2) T，(1，3，0) T； (a，1，b， 0，0) T，(c，0，d，2，0) T，(e，0，f ，0，3) T； (a，1，2，3)T， (b，1，2， 3)T，(c，3，4，5) T，(d，0，0，0) T； (1，0，3，1) T，(-1，3，0，-2) T，(2，1，7，2) T，(4，2，14，5) T。 则下列结论正确的是( )（A）线性相关的向
3、量组为；线性无关的向量组为。（B）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为 。（C）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为 。（D）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为 。5 设向量组： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则( )（A）当 rs 时，向量组必线性相关。（B）当 rs 时，向量组必线性相关。（C）当 rs 时，向量组必线性相关。（D）当 rs 时，向量组必线性相关。6 已知 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么向量 1-2， 1+2-23， (2-1)， 1-32+23 中，是方程组 Ax=0 解向量的共有( )（A）4。
4、（B） 3。（C） 2。（D）1。7 设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组(1)Ax=0 和(2)A TAx=0，必有( )（A）(1)的解是 (2)的解，(2)的解也是(1)的解。（B） (1)的解是(2)的解，(2) 的解不是(1)的解。（C） (2)的解是(1)的解，(1) 的解不是(2)的解。（D）(2)的解不是 (1)的解，(1)的解也不是(2)的解。8 三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有( )（A）秩 r(A)=0。（B）秩 r(A)=1。（C）秩 r(A)=2。（D）条件不足，不能确定。9 已知矩阵 A= ，那么下列矩阵中与矩阵 A 相似的矩阵个数
5、为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。10 下列二次型中是正定二次型的是( )（A）f 1=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2。（B） f2=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2。（C） f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2。（D）f 4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4-x1)2。二、填空题11 已知 A 为三阶方阵，A 2-A-2E=O，且 0A 5，则A+2E =_。12 设 A= ，B=(E+A) -1(E-A)，则(E+B) -1=_。13 设 A 是 43 矩阵，且
6、A 的秩 r(A)=2，而 B= ，则 r(AB)=_。14 与 1=(1， 2，3，-1) T， 2=(0，1，1，2) T， 3=(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是_。15 设 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_。16 已知 A=12 是 A= 的特征值，则 a=_。17 设三阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为1， 2， 3，令 P=(33， 1，2 2)，则 P-1AP=_。18 设 f= +2ax1x2-2x1x3+4x2x3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19
7、设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。 ( )计算并化简 PQ； ()证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b。20 设向量组 1=(a，0，10) T， 2=(-2，1，5) T， 3=(-1，1，4) T，=(1 ，b，c) T，试问：当 a，b， c 满足什么条件时， () 可由 1， 2， 3 线性表出，且表示唯一； () 不可由 1， 2， 3 线性表出； () 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。21 设 A= ()计算行列式A ；()当实数 a 为何值时，方程组
8、Ax=b 有无穷多解，并求其通解。22 设四元齐次线性方程组 求：()方程组(1)与(2)的基础解系； ()(1)与(2)的公共解。23 已知 p= 的一个特征向量。()求参数a，b 及特征向量 p 所对应的特征值； () 问 A 能不能相似对角化?并说明理由。24 设 A= ，且存在正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵。若 Q 的第一列为 (1，2，1) T，求 a，Q。25 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记()证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T；()若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的
9、标准形为 。考研数学一（线性代数）模拟试卷 52 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 化简矩阵方程，构造 B+E，用因式分解法，则有 A(B+E)+(B+E)=-E，即 (A+E)(B+E)=-E， 两边取行列式，由行列式乘法公式得 A+E.B+E =1 ，又A+E=，因此选 C。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 如果 A、B 均为 n 阶矩阵，命题 当然正确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故不正确。例如 显然 A 不可逆。 若 A、B 为 n 阶矩阵，(AB) 2=E，即(AB)(AB)=E，则可
10、知 A、B 均可逆，于是ABA=B-1，从而 BABA=E，即(BA) 2=E。因此正确。若设显然 A、B 都不可逆，但 A+B= 可逆，可知不正确。 由于 A、B 为均 n 阶不可逆矩阵，知A =B=0 ，且结合行列式乘法公式，有AB= AB=0 ，故 AB 必不可逆。因此正确。 所以应选D。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 当 a=1 时，易见 r(A)=1；当 a1 时，则即 r(A)=3。 由于AB=0，A 是 34 矩阵，所以 r(A)+r(B)4。 当 a=1 时，r(A)=1 ，1r(B)3。而 B是 42 矩阵，所以 B 的秩可能为 1 也可能为 2，因此
11、选项 A、B 均不正确。 当 a1时，r(A)=3，必有 r(B)=1，选项 D 不正确。所以应选 C。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 向量组是四个三维向量，从而线性相关，可排除 B。 由于(1，0， 0)T，(0 ，2，0) T，(0 ，0，3) T 线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关。所以应排除 C。 向量组中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1， 2， 4 线性相关，那么添加 3 后，向量组 必线性相关。应排除 A。 由排除法，所以应选 D。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组可由向量组线性表示，故
12、r()r( )S 。又因为当 rs 时，必有 r()r，即向量组的秩小于其所含向量的个数，此时向量组必线性相关，所以应选 D。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 由 Ai=b(i=1，2，3) 有 A( 1-2)=A1-A2=b-b=0， A( 1+2-23)=A1+A2-2A3=b+b-2b=0，A( 1-32+23)=A1-3A2+2A3=b-3b+2b=0，即 1-2， 1+2-33， (2-1)， 1-32+23 均是齐次方程组 Ax=0 的解。所以应选 A。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 如果 是(1)的解，有 A=0，可得 A TA=AT
13、(A)=AT0=0， 即 是(2)的解。故(1)的解必是(2)的解。 反之，若 是(2)的解，有 ATA=0，用 T 左乘可得 0= T0=T(ATA)=(TAT)(A)=(A)T(A)， 若设 A=(b1，b 2，b n)，那么(A)T(A)=b12+b22+bn2=0 bi=0(i=1，2，n)， 即 A=0，说明 是(1)的解。因此(2)的解也必是 (1)的解。所以应选 A。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 考查下列矩阵 它们的特征值全是零，而秩分别为 0，1，2。所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的。所以应选 D。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试
14、题解析】 二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 ，那么只要和矩阵 A 有相同的特征值，它就一定和 A 相似，也就一定与 A 相似。和分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1 和 3，所以它们均与 A 相似，对于和，由 可见与 A相似，而与 A 不相似。所以应选 C。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 f=x TAx 正定 对任意的 x0，均有 xTAx0；反之，若存在 x0，使得 f=xTAx0 则 f 或 A 不正定。 A 选项因 f1(1，1，1)=0，故不正定。 B 选项因f2(-1，1，1)=0，故不正定。 C 选项因 f3(1，-1，1，1)=0，
15、故不正定。 由排除法，故选 D。【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 4【试题解析】 设 A 的特征值 i 对应的特征向量是 xi(xi0，i=1，2，3)，则Axi=xi。 由 A2-A-2E=O 可知，特征向量 xi 满足(A 2-A-2E)xi=0，从而有 i2-2=0，解得 i=-1 或 i=2。再根据 A= 123 及 0A5 可得， 1=2=-1， 3=2。 由 Axi=Axi 可得(A+2E)x i=(i+2)xi，即 A+2E 的特征值 i(i=1，2，3)满足 i=i+2，所以 1=2=1， 3=4，故A+2E=114=4。【知识模块】 线性代数12 【正确答案
16、】 【试题解析】 由 B+E=(E+A) -1(E-A)+E =(E+A)-1(E-A)+(E+A)-1(E+A) =(E+A)-1(E-A)+(E+A) =2(E+A)-1，可得(E+B) -1= (E+A)。已知 A= ，因此【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2【试题解析】 因为 所以矩阵 B 可逆，因此 r(AB)=r(A)=2。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 设 =(x1，x 2，x 3，x 4)T 与 1， 2， 3 均正交，则对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，有 得到基础解系是(-1，-1， 1，0) T，将这个向量单位化得 (1，1，-1
17、，0) T，即为所求向量。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 k 1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T，k 1，k 2 为任意常数【试题解析】 因为矩阵 A 的秩是 2，所以A=0，且 r(A*)=1。再由A*A=AAE=O 可知， A 的列向量为 A*x=0 的解，因此 A*x=0 的通解是k1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 4【试题解析】 因为 =12 是 A 的特征值，因此12E-A=0，即所以 a=4。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 因为 33， 1，2 2 分别为 A 的对应特征值 3，1，2
18、 的特征向量，所以【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 二次型的矩阵为 其各阶主子式为因为 f 为正定二次型，所以必有 1-a20 且-a(5a+4)0，因此 a0。故当 a0 时，A 正定，从而 f 正定。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 () 由 AA*=A*A=AE 及 A*=fAA -1 有()由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有=A 2(b-TA-1)。 因为矩阵 A 可逆，行列式A 0，故Q=A (b- TA-1)。 由此可知， Q 可逆的充分必要条件是 b-TA-10，即 TA-1b。【知识模块】
19、线性代数20 【正确答案】 考虑线性方程组 k 11+k22+k33=， (1) 记其系数矩阵A=(1， 2， 3)。对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换，即()当 a-10 时，r(A)=r(A ，)=3，此时方程组(1)有唯一解， 可由 1， 2， 3 唯一地线性表出。 () 当 a=-10，且 c3b-1 时，可知 r(A)r(A，)，此时方程组(1)无解， 不可由 1， 2， 3 线性表出。 ()当 a=-10，且 c=3b-1 时，可知 r(A)=r(A， )=2，此时方程组(1)有无穷多解，其全部解为 k1= ，k 2=l，k 3=b-l，其中 l 为任意常数。 可由 1， 2，
20、3线性表出，但表示不唯一，其一般表达式为 = 1+l2+(b-l)3，其中 l 为任意常数。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 ()()对方程组系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得要使原线性方程组有无穷多解，则有 1-a4=0 且-a-a 2=0，即 a=-1。 当 a=-1 时，可知导出组的基础解系为(1，1， 1，1) T，非齐次方程的特解为(0，-1，0，0) T，故其通解为 (0，-1，0，0)T+k(1，1，1，1) T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 () 求方程组(1) 的基础解系： 对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换 分别取 ，其基础解系可
21、取为 求方程(2)的基础解系：对方程组(2)的系数矩阵作初等行变换 分别取 ，其基础解系可取为 ()设 x=(x1， x2，x 3，x 4)T 为(1)与(2) 的公共解，用两种方法求 x 的一般表达式： 将(1)的通解 x=(c1，-c 1，c 2，-c 1)T 代入(2)得 c2=-2c1，这表明(1)的解中所有形如(c 1，-c 1，-2c 2，-c 1)T 的解也是(2) 的解，从而是(1)与(2)的公共解。因此(1) 与(2)的公共解为 x=k(-1，1，2，1) T，k R。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 () 设 是特征向量 p 所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A
22、-E)p=0，即 从而有方程组解得 a=-3，b=0，且 p 所对应的特征值 =-1。()A 的特征多项式A-E = =-(+1)3，得 A 的特征值为 =-1(三重)。若 A 能相似对角化，则特征值 =-1 有三个线性无关的特征向量，而故 r(A+E)=2，所以齐次线性方程组(A+E)x=0 的基础解系只有一个解向量，A 不能相似对角化。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是 1，那么 又因 E-A= =(-2)(-5)(+4)，知矩阵 A 的特征值是 2，5，-4。 对=5，由(5E-A)x=0 得基础解系 2=(1，-
23、1 ，1) T。 对 =-4，由(-4E-A)x=0 得基础解系 3=(-1，0，1) T。因为 A 是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化 2， 3，即【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 ()f(x 1， x2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2所以二次型 f 对应的矩阵为 2T+T。 ()设 A=2T+T，由于 =1， T=T=0，则 A=(2T+T)=2 2+T=2， 所以 为矩阵对应特征值 1=2 的特征向量；A=(2T+T)=2T+ 2=， 所以 为矩阵对应特征值 2=1 的特征向量。 而矩阵 A 的秩 r(A)=r(2 TT+T)r(2T)+r(T)=2， 所以 3=0 也是矩阵的一个特征值。故 f 在正交变换下的标准形为 。【知识模块】 线性代数
