1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 8（无答案）一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）合同且相似（B）相似但不合同（C）合同但不相似（D）既不相似又不合同2 设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 XTAX0，则( )（A）A0（B） A0（C） A0（D）以上都不对二、填空题3 f(x1，x 2，x 3，x 4)X TAX 的正惯性指数是 2，且 A2 一 2A0，该二次型的规范形为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 5 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)r(B) n证明： A，B 有公共的特征向量5 设 A 是 n
2、阶矩阵， 1， 2， n 是 n 维列向量，且 an0，若 A1 2，A 2 3， An1 n，A n06 证明： 1， 2， n 线性无关；7 求 A 的特征值与特征向量8 设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 的通解为 ，设 ，求 A9 10 设 ，求 A 的特征值与特征向量，判断矩阵 A 是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵 P 及对角阵11 设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)n证明：A TA 的特征值全大于零12 设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P TAP 为正定矩阵13 设 P 为可逆矩阵， AP TP证明：A 是正定矩阵14 设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：AB 为正定矩阵15 三元二次型 fX TAX 经过正交变换化为标准形 fy 12y 22 一 2y32，且 A*2E的非零特征值对应的特征向量为 ，求此二次型16 设二次型 f2x 122x 22ax 322x 1x22bx 1x3 2x2x3 经过正交变换 XQY 化为标准形 fy 12y 224y 32，求参数 a，b 及正交矩阵 Q17 18 设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵19 设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明： BTAB 正定的充分必要条件是 r(B)n
