1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 F(x)=g(x)(x)，(x)在 x=a 连续但不可导，又 g(a)存在，则 g(a)=0 是 F(x)在x=a 可导的( )条件（A）充分必要（B）充分非必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要2 函数 f(x)=(x2-x-2)x 3-x的不可导点有（A）3 个（B） 2 个（C） 1 个（D）0 个3 设 f(x+1)=af(x)总成立，f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则 f(x)在点 x=1 处（A）不可导（B）可导且 f(1)=a（C）可导且 f(
2、1)=b（D）可导且 f(1)=ab二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设 f(0)=1，且 f(0)=0，求极限5 已知函数 f(x)在(0，+)内可导且 f(x)0 ，又满足求 f(x)6 求下列函数的导数与微分：7 设 y= ，求它的反函数 x=(y)的二阶导数 及 (1)8 求下列隐函数的微分或导数：()设 ysinx-cos(x-y)=0，求 dy；()设由方程确定 y=y(x)，求 y与 y9 设 f(x)= ()求 f(x)；()f(x)在点 x=0 处是否可导?10 设 g(x)= 且 f(x)处处可导，求 fg(x)的导数11 设 f(x)在(-，+) 有一
3、阶连续导数，且 f(0)=0 并存在 f(0)若求 F(x)，并证明 F(x)在(-，+)上连续12 设 y=xcosx，求 y(n)13 设 y=ln(3+7x-6x2)，求 y(n)14 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且f(x)1，又 f(0)=f(1)，证明：对于 ，x 20，1，有 15 设 ae，0xy ，求证 ay-ax(cosx-cosy)a xlna16 证明：当 x1 时，0lnx+17 求证：当 x0 时，不等式(1+x)ln 2(1+x)x 2 成立18 当 x(0，1)时19 设 f(x)在0，1连续，在 (0，1)可导，f(0)=0，0f(x)1(
4、x (0，1)，求证：20 设 p，q 是大于 1 的常数，且21 设 0x1，求证：x n(1-x) ，其中 n 为自然数22 设 f(x)在(a，b)内二阶可导，且 ax 1x 2b (I)若 x(a，b)时 f(x)0，则对任何 x(x1，x 2)成立；()若 x(a，b)时 f(x)0，则对任何 x(x2，x 2)成立 23 证明：当 0x24 设函数 f(x)在区间0， a上单调增加并有连续的导数，且 f(0)=0，f(a)=b，求证：其中 g(x)是 f(x)的反函数25 设 g(x)在a，b 连续，f(x)在a ，b二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 (axb)满足 f(x)
5、+g(x)f(x)-f(x)=0求证：当 xa，b时 f(x)0考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 29 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 (a)不存在，所以不能对 g(x)(x)用乘积的求导法则；当g(a)0 时，若 F(x)在 x=a 可导，可对 用商的求导法则()若 g(a)=0，按定义考察即 F(a)=g(a)(a) ( )再用反证法证明：若 F(a)存在，则必有 g(a)=0若 g(a)0，则由商的求导法则即知 (x)= 在 x=a 可导，与假设条件 (x)在 x=a 不可导矛盾因此应选(A) 【知识模块
6、】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 函数x，x-1，x+1分别仅在 x=0，x=1，x=-1 不可导且它们处处连续因此只需在这些点考察 f(x)是否可导 方法 1 f(x)=(x2-x-2)x x-1x+1 ，只需考察 x=0，1，-1 是否可导 考察 x=0，令 g(x)=(x2-x-2)x 2-1，则 f(x)=g(x)x，g(0)存在，g(0)0，(x)= x在 x=0 连续但不可导，故 f(x)在 x=0 不可导 考察 x=1，令 g(x)=(x2-x-2)x 2+x，(x)=x-1，则 g(1)存在，g(1)0 ，(x)在 x=1 连续但不可导，故 f(x)=g(x)
7、(x)在 x=1 不可导 考察 x=-1，令 g(x)=(x2-x-2)x 2-x，(x)=x+1 ，则 g(-1)存在，g(-1)=0， (x)在 x=-1 连续但不可导，故 f(x)=g(x)(x)在 x=-1 可导因此选(B)方法 2 按定义考察在 x=0 处 故f+(0)f-(0)因此 f(x)在 x=0 不可导在 x=0 处故 f+(1)f-(1)因此 f(x)在x=1 不可导因此 f(x)在 x=-1 可导应选 (B)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 按定义考察因此，应选(D)【知识模块】 一元函数微分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8、4 【正确答案】 这是 型极限，因为在题目中没有假设当 x0 时 f(x)可导，故不能使用洛必达法则求极限由导数定义可得【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 设【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 ()这是求连乘积的导数，用对数求导法方便因函数可取负值，先取绝对值后再取对数得若只求y(1)，用定义最简单利用 y(1)=0 可得【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 由变限积分求导法先求得 ，最后由复合函数求导法得【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 () 方法 1 利用一阶微分形式不变性求得。 d(ysinx)-dcos(x-y)=0，即 sinxdy+ycosx
9、dx+sin(x-y)(dx-dy)=0，整理得 sin(x-y)-sinxdy=ycosx+sin(x-y)dx ，故 方法 2 先求 y，再写出 dy=ydx等式两端对 x 求导，注意 y=y(x)下略方法 3 记 F(x，y)=ysinx-cos(x-y)，代公式得()方法 1 将原方程两边取对数，得等价方程 于是方程两边对 x 求导并注意 y 是x 的函数，即得方法 2 将方程(*)两边求微分得 化简得xdx+ydy=xdy-ydx，即 (x-y)dy=(x+y)dx，由此解得 为求 y，将 y满足的方程(x-y)y=x+y 两边再对 x 求导，即得代入 y表达式即得【知识模块】 一元
10、函数微分学9 【正确答案】 () 这是分段函数，分界点 x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即 x0，于是可得当 x0 时，f(x)= +2cos2x，x=0 处是左导数：f-(0)=2；()f(x)也是分段函数，x=0 是分界点为讨论 f(x)在 x=0 处的可导性，要分别求f+(0)与 f-(0)同前可得 按定义求 f+(0)，则有因 f+(0)f-(0)，所以 f(0)不存在，即 f(x)在点 x=0 处不可导【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 若已求得 g(x)，则由复合函数求导法得 fg(x)=fg(x)g(x)故只需求 g(x)当 x0 时， g(x)=当 x=0
11、时，按定义有g(0)=【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 首先求 F(x)当 x0 时，由求导法则易求 F(x)，而 F(0)需按定义计算然后讨论 F(x)的连续性，当 x0 时由连续性的运算法则得到 F(x)连续，当 x=0 时可按定义证 型极限问题，可用洛必达法则即 F(x)在 x=0 也连续因此， F(x)在(-，+)上连续【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 逐一求导，得 y=cosx+x(cosx)， y=2(cosx)+x(cosx)， y=y (3)=3(cosx)+x(cosx)(3)，观察其规律得 y (n)=n(cosx)(n-1)+c(cosx)(n
12、) (*) 用归纳法证明：当 n=1 时(*) 显然成立，设 n=k 时(*)式成立，得 y(k+1)=k(coosx)(k)+(cosx)(k)+x(cosx)(k+1)=(k+1)(cosx)(k)+x(cosx)(k+1)，即 n=k+1 时成立，因此(*)式对任意自然数 n 成立 再用(cosx) (n)的公式得【试题解析】 逐一求导，求出 y，y，总结出规律，写出 y(n)表达式，然后用归纳法证明【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 先分解 y=ln(3-2x)(1+3x)=ln(3-2x)+ln(1+3x) y(n)=ln(3-2x)(n)+ln(1+3x)(n)然后利用
13、ln(ax+b) (n)的公式得【试题解析】 利用对数函数性质将函数 y 分解为形如 ln(ax+b)的对数函数之和，再用ln(ax+b) (n)的公式即可得结果【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 联系 f(x1)-f(x2)与 f(x)的是拉格朗日中值定理不妨设0x1x21分两种情形：1)若 x2-x1 ，直接用拉格朗日中值定理得f(x 1)-f(x2)=f()(x 2-x1)=f()x 2-x1 2)若 x2-x1 ，当 0x 1x 21 时，利用条件 f(0)=f(1)分别在0，x 1与 2，1上用拉格朗日中值定理知存在 (0，x 1)，(x2，1) 使得 f(x 2)-f(
14、x2)= f(x 1)-f(0)-f(x2)-f(1) f(x 1)-f(0)+f(1)-f(x2) =f()x 1+ f()(1-x 2)x 1+(1-x2)=1-(x2-x1) 当 x1=0 且 x2 时，有f(x 1)-f(x2)=f(0)-f(x 2)=f(1)-f(x 2)=f()(1-x 2) 当 x1 且 x2=1时，同样有f(x 1)-f(x2)=f(x 1)-f(1)= f(x 1)-f(0)=f()(x 1-0) 因此对于任何 x1，x 20，1总有f(x 1)-f(x2)【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 令 f(t)=at，g(t)=cost，在区间x， y
15、上应用柯西中值定理，即存在满足 0xy 的 ，使得由于axa ， 0sin1，故由上式可得 ay-ax(cosx-cosy)a xlna【试题解析】 把不等式改写成 注意到(a x)=axlna，(cosx)=-sinx，而sinx1.对 f(t)=at，g(t)=cost，应用柯西中值定理即可【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 对 x1 引入函数 f(x)= ，则 f(x)在1，+ 可导，且当 x1 时 从而 f(x)在1，+)单调增加，又 f(1)=0，所以当 x1 时 f(x)f(1)=0，即 -20 令 g(x)=，则 g(x)在1，+)可导，且当 x1 时故 g(x)在区
16、间1 ，+) 上单调减少，又 g(1)=0，所以当 x1 时 g(x)g(1)=0 ，即当 x1 时成立【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 (1)令 f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，则有 f(0)=0，f(x)=2x-ln 2(1+x)-2ln(1+x)，f(0)=0，于是f(x)当 x0 时单调增加，又 f(0)=0，所以当 x0 时 f(x)f(0)=0从而 f(x)当x0 时单调增加，又 f(0)=0，故当 x0 时 f(x)f(0)=0 因此 f(x)当 x0 时单调增加，又 f(0)=0，所以当 x0 时 f(x)f(0)=0原不等式得证(2)由(1)求得 f
17、(x)后，因为当 x0 时 ，所以 f(x)与 x-In(1+x)同号由于 G(x)： x-ln(1+z)满足G(0)=0，G(x)= ，可见当 x0 时 G(x)0，于是 f(x)0由此可得 f(x)在 x0 单调增加，又 f(0)=0，于是 f(x)0( 0)所以 f(x)在 x0 单调增加，又 f(0)=0，故 f(x)0 当 x0 时成立，即戈 x2(1+x)ln2(1+x) (3)由(1)已求得 f(0)=0，f(0)=0，f(0)=0 ，f(x)0(x0) ，于是，将 f(x)在 x=0 处展开为带拉格朗 13 余项的二阶泰勒公式，有因此(1+x)ln 2(1+x)x 2 当 x0
18、 时成立【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 令 g(x)= ，当 x0 时有故 g(x)在(0，1)内单调下降又 g(x)在(0，1连续，且 g(1)= ，g(x)在 x=0 无定义，但若补充定义 g(0)= ，则 g(x)在0，1上连续又 g(x)0，0x1，因此 g(x)在0 ，1单调下降所以，当 0x1 时 g(1)g(x) g(0)，即成立【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 即证若能证明 F(x)0(x(0，1)即可这可用单调性方法由题设知 f(x)在0， 1单调上升，故 f(x)f(0)=0(x(0，1)，从而 F(x)与 g(x)= -f2(x)同号计算可得
19、 g(x)=2f(x)1-f(x)0(x(0，1)，结合 g(x)在0 ，1连续，于是g(x)在0，1单调上升，故 g(x)g(0)=0(x(0，1)，也就有 F(x)0(x(0，1)，即F(x)在0,1单调上升， F(x)F(0)=0(x(0，1) 因此即结论成立【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 f(x)= ，则 f(x)=xp-1-1令 f(x)=0，得唯一驻点x=1因为 f(x)=(p-1)xp-2，f(1)=p-10，所以当 x=1 时 f(x)取极小值，即最小值从而当 x0 时，有 f(x)f(1)=0，即【试题解析】 构造函数 f(x)= ，并证明 f(x)的驻点
20、 x=1 为 f(x)当 x0时的最小值点【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 f(x)=nxn(1-x)，则 f(x)=nnxn-1(1-x)-xn=nxn-1n(1-x)-x=nxn-1n-(n+1)x 所以 f(x)在 x=xn 取到(0，1)上的最大值：【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 因( )与()的证法类似，下面只证()把(217)式改写成下面的等价不等式，有 (x 2-x)f(x)-f(x1)(x-x 1)f(x2)-f(x)，由拉格朗日中值定理知(x2-x)f(x)-f(x1)=(x2-x)(x-x1)f(1)，x 1 1 1，(x-x 1)f(x2
21、)-f(x)=(x-x1)(x2-x)f(2)，x 2x 2由 f(x)0 知 f(x)单调增加，故 f(1)f( 2)，由此即知等价不等式成立，从而()成立 引进辅助函数故 F(x)的图形在x 1，x 2 (a，b)上为凹的由 F(x1)=F(x2)=0 可知 F(x)0，从而不等式成立【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令 F(a)= ，对 a 求导得 F(a)=f(a)+gf(a)f(a)-af(a)-f(a)，由题设 g(x)是 f(x)的反函数知 gf(a)=a，故 F(a)=0，从而 F(a)，为常数又 F(0)=0，故 F(a=0，即原等式成立 【试题解析】 即证对 a 有函数恒等式 成立【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 若 f(x)在a ，b不恒为零，则 f(x)在a，b取正的最大值或负的最小值 无妨设 f(x0)= ，则 x0(a，b)且 f(x0)=0，f(x 0)0，从而 f(x0)+g(x0)f(x0)-f(x0)0，与已知条件矛盾类似可得若 f(x1)= ，同样与已知条件矛盾因此当 xa，b时 f(x)0【知识模块】 一元函数微分学
