1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 31 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=x0 的某邻域内有定义，在 x=x0 的某去心邻域内可导，则下列说法正确的是2 在命题 若 f(x)在 x=a 处连续，且f(x) 在 x=a 处奇导，则 f(x)在 x=a 处必可导， 若 (x)在 x=a 处连续，则 f(x)=(x-a)(x)在 x=a 处必可导， 若 (x)在 x=a处连续，则 f(x)=(x-a)(x)在 x=a 处必不可导， 若 f(x)在 x=a 处连续，且存在，则 f(x)在 x=a 处必可导 中正确的是（A） （B） （
2、C） （D） 3 设 f(x)在任意点 x0(-2，+)有定义，且 f(-1)=1， a 为常数，若对任意 x，x 0(-2，+)满足 f(x)-f(x0)= +a(x-x0)2，则函数 f(x)在(-2，+)内4 若极限 ，则函数 f(x)在 x=a 处（A）不一定可导（B）不一定可导，但 f+(a)=A（C）不一定可导，但 f-(a)=A（D）可导，且 f(a)=A5 设有多项式 P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又设 x=x0 是它的最大实根，则 P(x0)满足（A）P(x 0)0（B） P(x0)0（C） P(x0)0（D）P(x 0)06 设 f(x)=3x2+x2x
3、，则使 f(m)(0)存在的最高阶数 n=（A）0（B） 1（C） 2（D）37 设 f(x)在 x=0 的某邻域连续且 f(0)=0， ，则 f(x)在 x=0 处（A）不可导（B）可导且 f(0)0（C）有极大值（D）有极小值8 若 xf(x)+3xf(x)2=1-e-x 且 f(x0)=0(x00)，则（A）(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(x0)是 f(x)的极小值（C） f(x0)不是 f(x)的极值， (x0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(x 0)是 f(x)的极大值9 曲线 y= 渐近线的条数是（A）1（B） 2（C） 3（D）41
4、0 曲线的拐点有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题11 设 f(x) ，则 f(1)=_12 设 f(x)=esinx，则 =_13 若函数 f(x)在 x=1 处的导数存在，则极限=_14 设函数 f(x)= 的导函数在 x=0 处连续，则参数 的取值范围为_15 设 f(t)= ，则 f(t)=_16 设 y=y(x)由方程 y=1+xexy，确定，则 dy x=0=_，y x=0=_17 设 y=sinx2则 =_18 设 =_19 设 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： (I)f(x)=
5、tanx(x 3)； ()f(x)=sin(sinx)(x3)21 求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式： () ；()f(x)=e xsinx22 用泰勒公式求下列极限：23 设x1，由拉格朗日中值定理，存在 (0，1)，使24 用泰勒公式确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的无穷小阶数：25 设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 x(0，+) 时 f(x)M 0， f(x)M 3，其中 M0，M 3 为非负常数，求证 f(x)在(0，+)上有界26 设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在(0， 1)使
6、f()4考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 31 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 解答本题的关键是将 f(x0)的定义式与 联系来考虑对于(A)：取 f(x)= ，但 f(x)在 x=x0 处不连续，从而 f(x0)不存在故(A) 不对，同时也说明 (D)不对对于(B)：取 f(x)=显然 f(0)存在，但不存在故(B)也不对由排除法可知，应选(C)或直接证明(C) 正确反证法：假设 f(x0)存在，则 f(x)在 x=x0 处连续，那么在 条件下，由洛必达法则有 矛盾，所以 f(x0)不存在【知识模块】 一元函数微分
7、学2 【正确答案】 A【试题解析】 是正确的设 f(a)O，不妨设 f(a)0，由于 f(x)在 x=a 处连续，故存在 0，当 x(a-，a+)时 f(x)0，于是在此区间上 f(x)f(x) ，故 f(a)=f(x) x=a 存在若 f(a)0 可类似证明若 f(a)=0，则是正确的因为 是错误的由正确即知 是错误的无妨取反例： (x)=x2，则也不正确可取反例：f(x)= x，显然 f(x)在 x=0 处不可导，但综上分析，应选(A)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由题设增量等式应得到 f(x)在 x=x0 处可导，而 x0 又是(-2，+)内任意一点，于是
8、 f(x)在(-2 ， +)内处处可导，且 f(x)= ，积分得 f(x)=-ln(2+x)+lnC= ，再由 f(-1)=1，即得 lnC=l，解得 C=e所以在(-2，+)内有表达式f(x)= 故应选 (D)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 只有极限 存在并不能保证极限都存在，因此两个单侧导数都不一定存在应选(A) 【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 反证法设 x0 是 P(x)=0 的最大实根，且 P(x0) 使 0x-x0 时 P(x)0，又 =+，由此可见 P(x)在区间 必由取负值变为取正值，于是 ，使 P(x1)=0，与 x=
9、x0 是 P(x)=0 的最大实根矛盾故应选(D) 另外，该题也可以通过 P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 的图形来进行判定4 次函数与 x 轴的交点有如下四种情况，由此可知 P(x0)0【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 因 3x2 在(-，+)具有任意阶导数，所以 f(x)与函数 g(x)=x2x具有相同最高阶数的导数因综合即得 g(0)存在且等于 0，于是 由于 g(x)在 x=0 不可导，从而 g(x)存在的最高阶导数的阶数 n=2，即 f(x)存在的最高阶导数的阶数也是n=2故应选(C)【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解
10、析】 因 =2，由极限的保号性质知， ，使当0x 时 由于 1-cosx0 当 0x 时 f(x)0，又 f(0)=0，故 f(x)在 x=0 取得极小值故应选(D)可以举反例来说明 (A)，(B)不正确取f(x)=xsinx，满足 f(0)=0， =2 的条件，但 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，这与(A)，(B) 矛盾【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知 f(x)= ，又由 f(x)存在可知 f(x)连续，再由 在 x=x00 附近连续可知 f(x)在 x=x0 附近连续，于是由 f(x0)=0 及 f(x0)0 可知 f(x0)是 f(x)
11、的极小值故应选(B)【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)= ，f(x) 的定义域是(-，-2)(-2，1)(1，+)，因f(x) ，从而 x=1 与 x=-2 不是曲线 y=f(x)的渐近线又因故 y= 是曲线 y=f(x)的水平渐近线综合知曲线 y=f(x)有且只有一条渐近线选(A) 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)的定义域为(-，-1) (-1，1) (1，+) ，且在定义域内处处连续由 令 f(x)=0，解得x1=0， x2=2； f(x)不存在的点是 x3=-1，x 4=1(也是 f(x)的不连续点).现列下
12、表：由上表可知，y 在 x1=0 与 x2=2 的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线y=f(x)的拐点，故选 (B)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 f(x)是 2014 个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦其实，当把 x=1 代入每个因式后，只有第一项 ，而其余所有项都不等于 0记 g(x)=【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 根据导数定义所以，所求极限为-(esinx) x=1=-(cosx)esinx x=1=【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 9f(1)【试题解析】 按导数定
13、义，将原式改写成原式=f(1)+2f(1)+6f(1)=9f(1)【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 (3，+)【试题解析】 由导数定义可求得 上述根限只在 1 时存在，且此时 f(0)=0，于是 f(x)的导函数为欲使 f(x)在 x=0 处连续，必须有而这一极限为零应满足 3 因此，参数 的取值范围为 (3， +)【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 (1+2t)e 2t【试题解析】 先求出 f(t)，再求 f(t)由于所以 f(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 e xydx+xexy(ydx+xdy)，2【试
14、题解析】 根据隐函数微分法有 dy=e xydx+xd(exy)=exydx+xexy(ydx+xdy) 由y(0)=1，在上述等式中令 x=0，得到 dy=dx 另外，由隐函数求导法则得到 y=exy+xexy(x+xy) 两边再次关于 x 求导一次，得到 y=e xy(x2y+2xy+xy+y)+exy(x2y+xy+1)(xy+y)， 再次令 x=0，y(0)=1，由式得到 y(0)=1，由式得到 y(0)=2【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 用微分之商来求【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 复合函数求导数，关键在于正确了解复合结构，
15、设y=u3，u=cosv ，v= ，利用复合函数求导法则即得【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 () 方法 1f(0)=0，f(x)=方法 2 设 tanx=A0+A1x+A2x2+A3x3+o(x3)=A1x+A3x3+o(x3)(tanx 为奇函数，A0=0，A 2=0)，又【试题解析】 由已知的泰勒公式，通过适当运算即可求得【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 () 由 f(x)= ，可得对m=1， 2，3， 有()用归纳法求出 f(n)(x)的统一公式【
16、试题解析】 通过求 f(0)，f(0) ，f (n)(0)及 f(n+1)(x)而得【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 () 用 et，ln(1+t)，cost，sint 的泰勒公式，将分子、分母中的函数在 x=0 展开由于再求分子的泰勒公式由 x2e2x=x21+(2x)+o(x)=x2+2x3+o(x3)，ln(1-x 2)=-x2+o(x3)，可得 x 2e2x+ln(1-x2)=2x3+o(x3) 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由麦克劳林公式，有 【试题解析】 先利用带皮亚诺余项的泰勒公式解出 (x)，然后再求极限【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答
17、案】 【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 分别讨论 x1 与 0x1 两种情形 1)当 x1 时考察二阶泰勒公式两式相加并移项即得 f(x)=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)+ f()-f()，故当 x1 时有f(x)4M 0+ 2)当 0x1 时对 f(x)用拉格朗 51 中值定理，有 f(x)=f(x)-f(1)+f(1)=f()(x-1)+f(1)，其中 (x，1) 从而 f(x)f()x-1+ f(1)M 3+f(1)(x(0 ，1)综合即知 f(x)在(0，+)上有界【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 把函数 f(x)在 x=0 与 x=1 分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(1)x2 (0x)，f(x)=f(1)+f(1)(x-1)+ f(2)(x-1)2(x 21) ，在公式中取 x= 并利用题设可得两式相减消去未知的函数值f( 1)+f( 2)8故在 1 与 2 中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于 4，把该点取为 ，就有(0， 1)使f()4【知识模块】 一元函数微分学
