1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列广义积分收敛的是（A）（B）（C）（D）2 在下列等式中，正确的结果是（A）（B）（C）（D）3 设 其中 f(x)为连续函数，则 等于（A）a 2（B） a2f(a)（C） 0（D）不存在4 设 f(x)为连续函数，且 则 F(x)等于（A）（B）（C）（D）5 下列广义积分发散的是（A）（B）（C）（D）6 设 ，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小二、填空题7 曲线 y=x2 与直线 y=
2、x+2 所围成的平面图形面积为 _8 =_.9 设 f(lnx)=1+x，则 f(x)=_10 若 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 求13 设 y=sinx， 问 t 为何值时，图 24 中阴影部分的面积 S1 与 S2 之和 S最小?最大?14 对任意实数 a，等式 总成立15 设 -x+，则(1)f(x)=_(2)f(x)的单调性是_(3)f(x)的奇偶性是_ (4) 其图形的拐点是_(5)凹凸区间是_(6) 水平渐近线是_16 求17 假设函数 f(x)在a，b上连续在(a，b) 内可导，且 f(x)0记证明在(a，b) 内 F(x)018 求函数 在
3、区间e，e 2上的最大值19 假设曲线 L1：y=1 一 x2(0x1)与 x 轴和 y 轴所围区域被曲线 L2：y=ax 2 分为面积相等的两部分其中 a 是大于零的常数，试确定 a 的值20 计算21 设曲线 y=e-x(x0)(1)把曲线 y=e-x，x 轴，y 轴和直线 x=(0)所围成平面图形绕 x 轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积 V()；求满足(2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积22 已知 求常数 a 的值23 设函数 f(x)可导，且24 已知曲线 与曲线 在点(x 0，y 0)处有公共切线求(1)常数 a 及切点(x 0
4、，y 0)；(2)两曲线与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体体积Vx25 设 试讨论 f(x)在 x=0 处的连续性和可导性26 设 f(x)、g(x) 在区间 一 a，a(a0) 上连续g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(一 x)=A(A 为常数)(1)证明(2)利用(1)的结论计算定积分27 设28 计算29 设 f(x)在区间0，1上可微，且满足条件 试证：存在(0， 1)，使 f()+f()=0考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 则收敛，
5、所以应选 C【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 只要求极限 就能判定选项则 f(x)是 g(x)的高阶无穷小【知识模块】 一元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 令 x=x2+2 解得 x=一 1 和 x=2，则所求面积为【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 一元函数
6、积分学9 【正确答案】 x+e x+C【试题解析】 在 f(lnx)=1+x 中令 Inx=t，则 f(t)=1+ex 从而 f(t)=(1+e x)dt=t+ex+C【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 是【试题解析】 被积函数 x4sinx 为奇函数积分区间关于原点对称，则原积分为零【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 非【试题解析】 取 f(x)1，则则原式并不一
7、定成立【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 在(一，+) 上单调增，奇函数， (0，0)，在(一，0)上凹，在(0， +)下凹，【试题解析】 (1) (2)因为 则 f(x)在(一 ，+) 上单调增；(3)因为则 f(x)是奇函数(4)因为 且在 x=0 两侧 f(x)变号，则(0，0)为拐点；(5)因为当 x 0 时，f(x)0曲线 y=f(x)上凹，当 x0 时，f(x)0，曲线 y=f(x)下凹；(6) 则曲线 y=f(x)有两条水平渐近线【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案
8、】 则 I(x)在e，e 2上单调增则最大值为 I(e2)【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 得【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学
